数理经济学第6章课后题答案要点

第六章 习题 1．考虑如下最优化问题 用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足（1）约束；（2）库恩—塔克极大化条件 解：  可行域为OAB          利用图解法求的均衡点为 ， 对于 来说，有 ，因此该约束规格是紧的。 构建拉格朗日函数 符合 条件 2．考虑如下最优化问题 用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：利用图解法求的均衡点为 ， 求法同上，可知约束规范是紧的 构建拉格朗日函数 符合 条件 3. 考虑如下最优化问题 检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解： 利用图解法求的均衡点为 ， 求法同上，可知约束规范是紧的 构建拉格朗日函数 不符合 条件 4．写出下面优化问题的一阶必要条件 解： 一阶必要条件为： 5．求解下面最优化问题 （1）           （2）           （3） （4）   （5） 解：（1） 一阶必要条件为： 解得 （2）图解法 可行域为 ，均衡解点 (3) 一阶必要条件为： (4) 一阶必要条件为： 解得 (5) 一阶必要条件为： 解得 6．考虑如下最优化模型 证明：（1）均衡解 不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数 ，把拉格朗日函数修改成如下形式 ， 则在点 处满足库恩-塔克条件。 解：（1） 一阶必要条件为： 不符合K-T条件。 （2）此时， 一阶必要条件为： 当 时，符合K-T条件 7．消费者对两种商品的偏好用效用函数示为 假设消费者的收入为12元，两种商品价格分别为 。试求最优的商品组合。 解：由题意知， 一阶必要条件为： 解得 8．求解消费者问题 效用极大值点，并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点。 解： 一阶必要条件为： 解得 验证其为负定。 9．一个消费者生活在小岛上，那里只生产两种产品， 和 ，生产可能前沿是 ，他消费所有的产品，她的效用函数是 ，这个消费者同时面临环境对于她所能生产的两种产品总额上的约束，约束条件是 （1）写出库恩—塔克一阶条件 （2）求消费者最优的 和 ，确定约束条件是否发挥限制作用。 解：（1） K-T一阶条件为： （2）假设第二个约束条件（定量配额）没有发挥作用，由互补松弛性得 ，故有 解得 ，因 故为K-T条件最终解。 反之 解得 ，因 故被拒绝。 10．一家电子公司在外国设立一个发电站。现在需要规划其产能。电力需求的高峰时段的需求函数是 ,非高峰时段的需求函数是 。变动成本是20（两个市场都要支付），产能成本是每单位10，只要一次支付并且可以在两个时期中使用。 （1）写出这个问题的拉格朗日条件和库恩—塔克条件。 （2）求出这个问题中的最优产量和产能。 （3）每个市场分别能支付多少（即 和 的值是多少） （4）现在假设产能成本是每单位30（只需要支付一次）。求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的费用（即 和 ）。 11．给定最优化问题 （1） 为了得到可应用的极大化的充分条件，哪些凹—凸条件需要追加在 和 上？ （2） 论述极小化问题的库恩—塔克条件。 解：（1）对于极大化问题，存在下列充分条件： 如果满足： a.目标函数 为凹函数且可微； b.每个约束函数 为凸函数且可微； c.点 满足库恩—塔克极大化条件。 则点 为目标函数 的整体极大值点。 对于极小化问题，存在下列充分条件： 如果满足： a.目标函数 为凸函数且可微； b.每个约束函数 为凹函数且可微； C.点 满足库恩—塔克极小化条件。 （2）构造拉格朗日函数 ，如果若 为该问题的均衡解，则存在拉格朗日乘数 使得 满足库恩—塔克必要条件： 12．对于下面问题，库恩—塔克充分性定理是否适用 （1） ，（2）   13．考虑如下模型                        （a）库恩—塔克充分性定理可以应用这个问题吗？库恩—塔克极小值条件是充分必要条件吗？ （b）写出库恩—塔克条件，并求解最优值（ ）。 由库恩·塔克充分性定理知：要满足： a.目标函数 为凸函数且可微； b.每个约束函数 为凹函数且可微； （1）中， 为两个凸函数之和，故为连续可微凸函数； 为线性函数，连续可微凹函数。 （2）（2）中， 为线性函数； 为凸函数与线性函数之和，不为凹函数，故，不满足充分性条件。 （1）满足上题a.b条件，即可适用充分性定理：题中 为两个凸函数之和，为连续可微凸函数； 为线性函数，故，满足充分性定理； 又，为满足必要性定理，则需满足约束规格：任意x，存在 ，梯度矩阵秩为1，故，满足约束规格。 （2）极小化问题的带非负约束的库恩—塔克一阶必要条件为： 构造拉格朗日函数 ，如果若 为该问题的均衡解，则存在拉格朗日乘数 使得 满足库恩—塔克必要条件： 解：构造拉格朗日函数 库恩—塔克一阶必要条件为 解之得，a.若 ，则可得 ，与（2）式矛盾。 b.若 ，则 ，或者 ，则 ，均与（1）矛盾； C.若 ，则可得 ， 综上，（1,1）为其极值点。 14．给定非线性规划问题 试确定满足该问题的库恩—塔克条件的点，并且 （1）在这些点处，检验约束规格是否成立； （2）在这些点处，检验库恩—塔克充分性定理是否成立。 解：构造拉格朗日函数： ， 则均衡解 满足如下的一阶必要条件： （1） （2） （3） 解之得，满足上面式子的解为 。 （1）检验约束规格， ，带入（-1,0）得矩阵（-2,0），秩为1，满足线性独立约束规格； （2）下面验证二阶充分条件，由于 ，所以 。构造如下海塞加边矩阵 验证后一个 加边主子式 的符号即可。在 点处， ，与 同号，所以 是目标函数 的一个极大值点。 15．假定两种投入要素的生产函数 ，其中， 分别为两种要素的投入量。假设两种要素投入的价格向量 ，每月费用支出不超过10000，为使每个月的产出极大化，该厂商应该如何安排每月的要素投入量（检验二阶充分条件）。 解：有题目得极大化模型为：  首先验证约束规格，梯度矩阵秩为1，满足约束规格； 构造拉格朗日函数 库恩—塔克一阶必要条件为 解之得，满足上式的极大值解为 。 检验二阶充分条件，由于 ，所以 。构造如下海塞加边矩阵 验证后一个 加边主子式 的符号即可。在 点处， ，与 同号，所以 是目标函数 的一个极大值点。 16．考虑下面最优化问题 写出与其对应的拉格朗日函数以及一阶必要条件，并求出该函数的鞍点。 解：对应的库恩塔克条件为: 分四种情况讨论： （1） ，解矛盾，舍去 （2） 则 ，解得（ ）是可能的极值点 （3） ，则 ，解得（ ），（ ）是可能的极值点 （4） ，解得（ ）是可能的极值点。 17．考虑下面最优化问题 （1） 证明该问题得拉格朗日函数在可行域内没有鞍点； （2） 考虑该问题的等价形式 其中 为参数。该问题得拉格朗日函数是否也不存在鞍点？是说明理由。 解：（1）拉格朗日函数为 库恩—塔克一阶必要条件为 解得 该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点。 （2）拉格朗日函数为 库恩—塔克一阶必要条件为 时， ，该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点。 18．考虑极大化问题 （1） 求目标函数的最优值在 处的导数。 （2） 根据（1），估计出当 由1变为1.02时，目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值。 解：拉格朗日函数为 库恩—塔克一阶必要条件为 可得， 当 时， ， 时 ； 时， ； 时， ；故（0,0）是极值点。 同理， 时，函数最优解为 ， 。 19．考虑极大化问题 利用包络定理解决下面的问题： （1） 求目标函数的均衡解在 处分别关于 和 的偏导数。 （2） 根据（1），估计当 、 由16变为16.03时，目标函数的均衡解的改变量为多少？估计新问题目标函数的均衡解？ （3） 根据（1），估计当 、 由4变为3.98时，目标函数的均衡解的改变量为多少？估计新问题目标函数的均衡解？ （4） 根据（1），估计 由16变为16.03、 由4变为3.98时，目标函数的均衡解的改变量为多少？估计新问题目标函数的均衡解？ 解：（1） 拉格朗日条件为： ，将（a,b）=(16,4)代入得， ，故（8,2，2）是均衡解， （2）目标函数均衡解的改变量为： ， 新目标函数的均衡解为16.06。 （3）目标函数均衡解的改变量为： ， 新问题目标函数的均衡解为16.08。 （4）目标函数均衡解的改变量为：0.06+0.08=0.14 新问题目标函数的均衡解为16.14。 20．考虑极大化问题 利用包络定理解决以下问题： （1）求目标函数的均衡解在 处分别关于 和 的偏导数。 （2）根据（1），估计当 、 由1变为1.01时，目标函数的均衡解的改变量为多少？ （3）根据（1），估计当 、 由1变为0.98时，目标函数的均衡解的改变量为多少？ （4）根据（1），估计当 由1变为1.01且 由1变为0.98时，目标函数的均衡解的改变量为多少？ 解：（1） 拉格朗日条件为： 将（a,b）=(1,1)代入，解得（ ）， （2）均衡解的改变量为： （3）均衡解的改变量为： （4）均衡解的改变量为： +