矢量代数_线性空间_并矢分析_Dirac符号_钱伟长

当／＝≡卢ｂ 碱啼卡！‘≤筛郴｜枷聊耍衍缔一而三｝〔言｀癌宦′可嘶｜降算壬洲织■＝□ •屋 0 厂Ｄ 比 膨 §酗疾锤雕√ ]32.2[ 删…．〃』厂ˉ／』撕，＝一浓0e…´M它— 愉录三；并贿析 标积为ˉ ˉ，α，ｂ＝αｂｃＯＳ０．ｂ｜′渊 箕中６ｄｂ为α、ｂ两矢量间的夹角（图红１）。 ．｀α２·山 附录一｀附矛凹川″ｃ骑掐渺矢量代数和矢量分析 ■习 ≥>稠、凡仰平询 ＼ˉ§Ａ！矢量加法｛ 矢量是按平行四边形定律进行加减运算的，任一个三度空 间的矢量丁可以唯一地用三个不同平面的已知矢量α、ｂ、ｃ的 线』性组合来示．即 萨＝Ａ“＋Ｂｂ＋Ｏｃ （丑１·１） 其中Ａ’Ｂ，Ｏ为常数，式右方三项分别代表旷在α、ｂ、Ｃ方向的 三个分量°在特殊情况下’这三个矢量“、ｂ、Ｃ可以表示三个相 互垂交的单位矢量，设用乞、ｊ、胀来表示这三个按右手定则相互 垂交的一套单位矢量°于是有 ＼广＝喊＋ｇｊ＋砒 α１．２） 其中勿，０’男为丁在ｉ、ｊ、胀三个单位矢量方向的分量，而７的量 值为 扩＝｜了｜＝｀／ｉ；］玩叮瓦丽α１．３） ■可 •• §Ａ２矢量乘法 矢量乘法有两种，一种称为内乘，其积称为内积；另一种称 为外乘’其积称为外积°内积是标量，亦称标积，用．表示，有时 也称点积。外积是另≡矢量’亦称矢积，用∧表示’有时也称叉 积？ •` ≡－－≡＠ }阳•< 因为 ｏｏＳ６ｂ°＝ｃｏＳ（２冗ˉ０°ｂ）＝ｃＯＳ０°ｂ．．α２．２） 》ｈ．比所以…‘ ｂ，α＝“．ｂ（Ａ２．３） 这里应该指出，如果α·ｂ＝０，则α＝０，或ｂ＝０，或ＣｏＳ０ｄｏ＝０’ 后者表示“和ｂ相互垂直．＼ 峪α·· 《．设 α＝α１ｉ＋α２ｊ＋α３Ｒ６＝６１ｉ＋６２ｊ＋雕α２．４） 则 α．ｂ＝αＬｂＬ十α２ｂ２＋α３ｂ３．似２．５） 这是因为 i.i=j·j=k·k=1’i·j=j.k=k.i=0(A2·6).•` 于是有 ．α６ｃＯＳ０°ｏ＝α１６１十ｑ２ｂ２＋α３ｂ３．，α２７）!U´ 其中 』α＝√αｆ＋αｉ＋α；ｂ＝｀／ｂｆ＋ｂ段＋ｂ；α２．８）；．、．·． 乍ｆ失积是另一失量，这个矢量垂直于“ｂ两矢量所共有的平 面，其正的方向按．α到ｂ的右手螺旋决定（在图ｎ１上’．该 Ｊˉ 图Ａ〗 .! ∧（ｂ１ｉ士６２ｊ十６；雁）ｋ｀『′；；『．！芍 ，．．…；』．了．．！｀．会． （嘿．１３） 附录～矢量代致和矢量分析 [226]［２叫］ §Ａ坠，·四矢乘积帧}! 或 ‖●Ⅱ■■！ 矢量应该垂直纸面，指向读者）·设扛为在该矢量方向的单位 矢量，所以咙、ｂ、〃组成一γ↑！§｀右手系统６矢积为 α∧ｂ＝（“６ｓｉｎ０°ｂ）厕．．…『；’人．似２：助 由于 Ｓｊｕ０。°＝Ｓｉｎ（２汀≡０°。）＝－Ｓｉｎ０。ｂ α２。１０） 所以有 ｂ∧α＝ˉα∧ｂ．ˉ．α２·１Ｄ 应该指出’如果α∧ｂ＝０’则α＝０’或ｂ＝０，或Ｓｍ０°ｂ＝０’后 者指出α和ｂ相互平行·．』．．· 也应指出 ｉ∧ｊ＝ˉｊ∧ｉ＝ｋｊ∧ｋ＝一胀∧ｊ＝缸．瓣 』ˉ．置坠．ｋ∧ｉ＝厅ｉ∧ｋ＝ｊ‰…ｉ∧ｉ＝ｊ∧ｊ＝ｋ∧ｋ＝０． α２寸硼 •0•••·Q °｀″飞′如曰§Ａ８三矢乘积 ｀．上０ 三个矢量α、ｂ、ｃ的乘积，也有两种ｊ卜′其一为三矢标珊｝α：｜ （ｂ／〈＼＼罕）’另一为三矢矢积αＡ（ｂ∧ｃ）。．莉者代表α、ｂ、ｃ三个矢 量组成的平行六面体的体积。很易证明，瞥》飞 』．六面体体积＝α·（ｂ∧ｃ）＝（ｈ∧ｃ）§α＝｀一α．（ｃ∧ｂ） …．蜡．＝司仁∧ｂ）．α＝ｂ『（ｃ∧姚＝（ｃ∧α）。ｂ＝…＼ ＝◎（α∧ｂ）＝（乙ｚ∧ｂ）．ｃ＝…；』＾』’（Ａ８．Ｄ 组成的平行四边形的面积；其方向刷单位鬃量平壶致ｉ．ｉ…；；，∧茹永〉〈乘作 飞佃 变°当所以，α．（ｂ∧ｃ）按α’ｂ，ｃ·的＂．｜｛｜｛萨」「｜ α．（ｂ∧Ｃ）＝０时，α、ｂ、ｃ必为同一平面上的矢量° • 』』：我们也很易证明下列清关三矢矢积的关系式＼｛！｜ˉ／仰 ．．厂～哗 •••• （Ａ２．皿） ｀兰．ｃ〉／＼（越∧ｂ）＝…‰Ⅲ：（△ａ２）＂ ｂ）Ｃ＝（ｃ，α）ｂ－（ｃ·ｂ）α±．帐：．但夕→ 所′ 从上式两边求标积’得 …硼尸弹） §Ａ４四矢乘积…．铲？．｀．』．．恐｜』 ■■◆０■■』 四个矢量α’ｂ’ｃ，ｄ的乘积！也有两种｝：即标积（“∧ｂ）· （ｃ∧α）和失积（αＡｐ）∧（ｃ∧ｄ）·』很易证明下列结果』…》 〔ｉ）（α∧ｂ）．（ｃ∧α）＝α．｛Ｂ∧（ｃ∧ａ）｝．．『闰． ≡ｑ．｛（ｂ．ｄ）ｃ－（ｂ．ｃ）ｄ）鸣）戳……↑｜＝ｂｃ）（ｂ；ａ）ˉ（血）（６Ｃ）…••••• ｑ０‖ｐ·０′ （坐．Ｕ●】Ｄ８◆ｆ·乌矿■ ８·勺□Ｆ°飞恤）（α∧ｂ）入（ｂ八α〉崖（α∧６．α）ｃˉ（α∧ｂ：亡）ｄ： ．』尸；０° Ｆ｀．．：！．．．·ｌ蛊《：０ ．（丛ｌ４．２）;00 …′αｂ）（“∧ｂ）∧（ｃ∧α）≡≡（ｃ＾‘））′！＼但∧ｂ入｀｜』． 『：扩（ｊ…：ˉⅧ｛｛砚｀｝＝考＿（ｃ∧α·ｂ）α＋（ｃ∧“．＠）ｂ．．（｜ｈ ；：蚀·』罗｀ｉ《』．．．〉．ｉ，０；雕：患．．．‘．！。ｖ《‘№｀（丛ｌ４．９）， 根据αＡ．２）、（坐．８）式’我们有 • ‖□ ˉ一－～≡丝廷 刀 这里还应该指出ｇ△ｌ１这个矢积的大处签于‘２！租囱二个矢量」五 ～一 瓣伯』 ｀（αｂＳｉｎ０°ｂ）冗＝（α２６３－门３６２）ｉ叶 ＋（α３６１一α１６３）ｊ＋（叼１ｂ２－α２ｂ１）Ｒ °；＾°，．鸟 （α２６３～峨２）２．斗（α§ｂ１ˉｄ１６３）ｚ斗（吼ｂ２－α２〗１）２啦ｎ２０°ｂ＝ （＾≡ˉ ••• （αｉ＋αｉ＋α；）（ｂ；＋ｂ舅＋６；） 甲 ＝■飞０ ::;{; ＿（兰１２。１勋 川｀＝Ⅶ辆脚婆聋臀嚼…（州 其中′．乡。』．鱼Ｆ＝Ｆ彭ｉ＋刀，ｊ＋万氨及｜＾ ｀所以；矢量Ｆ在某点篮的散度是该点耐一个标量． ：「；廊霉剪旋霍它是由下式在Ｐ点上定义的』□｀凸■ｏｏ·●°ｍ↓厩ˉ鹊肌圃ｄ｝／ｓ（删 樊敝是抹绕Ｐ点的某→简单闭合曲线，这个闭合曲线环有一 个平面面积Ｓ，而ｄ〖为一矢量，其长度为ｄ【，其方向和ｒ上的 ′切线一致。ｒ上的积分以逆！时针方向为正矿根据这个定义，我 们可以证明 ￡里坚二窒ｚ△奥ˉ．．α６．５） 梯度、散度、旋度的恒等式．现将常用的梯度、散度、旋度的 恒等式列出如下：．』 卜 了（∏ｖ）＝Ｕｖ厂＋ｖｖＵ （Ａ５．６α）！上／·；ｏ·Ｊ ｖ．（ＵＦ）＝Ｕｖ．Ｆ＋（Ｆ．ｖ）Ｕ．（趾５。６ｂ） ｖ∧（ＵＦ）＝ＵＶ？∧Ｆ＋（ｖＵ）∧Ｆ似５·６ｃ）’‘，．′！·、． ｖ．（Ｆ∧Ｇ）＝Ｇ．（ｖ∧Ｆ）－Ｆ．（ｖ∧Ｇ）（Ａ５·６Ｚ） ；７∧（Ｆ∧Ｇ）＝Ｆ（ｖｐ〉ˉ（ｖ．Ｆ）α 0>>q·0>1o•r＋（Ｇ．ｖ：）Ｆ一（Ｆ．Ｖ／Ｇ：．γα５．６６） 砰旷，ｖ∧（ｖ∧Ｆ）＝ｖ（ｖ，Ｆ）－ｖ２Ｆ（ｖ２＝ｖ．Ⅵ（Ａ５，６ｆ） Ｖ（Ｆ．Ｇ）＝（Ｆ．Ｖ）Ｇ＋（Ｇ｛Ｖ）Ｆ．憨：，卜｀． 』．ˉ』』飞＋Ｆ∧（ｖ〈∧Ｇ）＋Ｇ∧（ｖ∧Ｆ）！』（Ａ５．６ｇ（） {! 守尸■ ．§４６嗡务种积分定理 『〔 [226] 附录一矢矗代般和矣叠分↓柠′ ]722[ α６．１） 0> •• ‘§．Ａ６各种积分定理 高斯散度定理它可以写成．｀． ｜］（Ⅷ霄ˉ卜ｄｓ′》：ˉ ０哼日００ （“∧ｂＣ）α＝（ｋｚ∧叫ｃ＋（ｃ∧必ｂ）“ˉ（？鳃罗）ｂ娜 ;° （么４４°４） 但是ｊ从（Ａ３．１）式，箩我们求！得驴＼肯』．！飞员：′｀． （ｔ〗』／＼ｈｃ）＝（“』ｂ∧匀．…锡幽ｒ５叮.`>6 （α∧ｂ．α）＝（α．泣∧ｂ）…′｀｀．．：侧．』钝）••• <.· （ｃ∧α·ｂ）兰（α．ｂ∧◎）…；．Ｙ（咀。５ｃ） ．．｀．′（ｃ∧团；‖α）＝ˉ（α；℃∧α）（丑４·５〔〗） ｀＄口 • 々这就证明了；只要江·Ｄ∧ｃ：≠０，．或只要卓｛ｂ、ｃ不在同董平面土’ 则任一矢量α可以分解为在α’ｂ’°方向内；的三分量护而且这旗赋凹｝Ⅱ』》鞘翰｜〔啡（川‖；。′｀↓′ 标：篮函数ｖ的梯度ｖＶ ！｝鼠；；广｀靴』４′ ＼′标，逊函数γ在空间某点Ｐ上的梯度为｝：｀』｝ｘ、′／（．｀： …≡ｖ′兰（《釜↑ｊ最Ⅷ景）７＝爱嗡斤… (A5.1)′°·２钒．其中抛为在空间Ｐ点上垂交于厂≡清数这个曲面的法线单位矢 量．』 矢凰的散度它是由下式在Ｐ点上定义的：．＝．·／臣飞ｎ０ｂ．．°．．ˉｌｄｉｖＦ＝婴肌Ｅｄ斗／，α叫 古其中Ｓ为Ｐ点附近环绕Ｐ：点的某一单联瞳闭合曲面，：浮Ｔ为廷个 曲面所包围的体积·ｄＳ为Ｓ上的某－微分曲面单元）其大小为 ｄＳ；其方向为曲面上该点的外法线方向·从巴５。２）式可以证｜ ｀明．．ˉｔ；．，．｀．，）户．『，总ｉ）掣／′｀’《 于是（丑４，４）式给出｀ 三（α，α∧ｂ）Ｃ＋（口．ｃ∧α）ｂ＋（α ■≈『··ｂ∧Ｃ）“ˉ』α （α．ｂ∧Ｃ） •q …—＿叫一 •• §Ａ６各种积分定翟｀｀．；•• 「２２９］附录一矢温代数和矢最分析[228] （丑Ｏ垄） 同：样〉用 ·γ』．厂‖ˉｌ铲！占·＆· ˉ．』Ｆ≡ｖｖＵ．＼＼：．》 α６．５） 有：．′，《！．Ｐ＂｀．，｀·．．；．：．ｌ…《：·｀．．．啼′． 巍‖′ｖ卿兰脓赫ｄ露Ⅶ淌ｄ针 ′《．』．．：γ娜。常．．．∑．ｖ谭爵『》．．ｐ巴６．６） 从（Ａ６．４）式中减去（“．６）式，得》｀…ｉ《．． …］｝（Ｕｖ′ⅦｖＵ）；ｄｓ＝们〈刀ｖ平＿ｖｖ斟Ｕ）ｄ７ ∏ 当Ｖ２Ｕ＝Ｖ２厂＝０时’α６°７）式给出 ⅡｐⅧｓ≡］｜矿ｖＵ｀ｄｓ 』α６。９） \0o 这就是擂铡撑霍理（９ｒｅｅ丹′§Ｒ咖９９翅ｍｏＱ…）。正规函数的柯西定理设′＠是ｚ『的正规函数，其中 ，：。，电ˉ噬》 ２＝必＋〃′＝｀／刁α６．１０） 于是′·》．．· 其…则斤翻戴塞勘割〕胸一价墓崖 是存崔的，并满足柯西关系式｀』 …厂黑亏务外器＝ˉ器仙１纱 翅酉室翼可以写成：对正规函数帅）而言 」疑ｆ＠ｄ徽≡０山１ｓ） 其ｒ为任一闭合环线ｅ 证明如下：在斯托克斯定理α６．２）式中’我们把Ｆ写成 Ｆ＝万露ｉ＋Ｆ，ｊ巴６．均 于是’有 ｄＳ＝ｄ勿ｄ０ｋ (A6.15) 所以，Ｆ的旋度可以写成 Ⅷ≡（誓＿糊隐＋警愈＿警ｊ侧１６） 而 （Ⅷ）ｄｓˉ等＿静［（ｉ∧腋）≡（′∧腮）≡０］ ．（Ａ６．叮） 最后，从ｄ〖＝ｉｄ勿＋ｊｄ０，我们求得 ｐ僧＿静）…儿侧…，）…） 共中日为体积霄的表面’ｄＳ为以外法线为方向的微元矢遗· α６．１）式可以从Ｆ的散度的定义证明．｜ >:·0´.斯托克斯定理它可以写成．，》：｝（舔超＼ｄ靴盂ｄ‖训侧 5其中曲面ｓ的外包雄随线玉式；输卵ｃ瞄；』雕义证 ｀｀‘．γ｝‖’々，薛『．′·０′明．；．』｜』｀≤ 愚格林定理，设Ｕ；厦是丽个漂值的位函数，它们挪是标箕 把高斯散度定理用在丁列舞量上…：』．ˉ穗懂！肿丫肖！斗：｀ 』．；．．．』…∏＝ＵⅦ‰·喂』．…＝＝α６』３） 即得！·；：≡↓ｉ｀《．ｆ． 〃｜［（ＵⅧｄｓ＝ｌ′〔Ｗ狮）ｄｚ．．｀萨：蛹！．】…．·．．ｆˉ棚蕊磁＝ⅢｖαＶｍ源＋ⅢＵｖ帅＾ｍ√ • 阑 吐‖ 由 ｖ２ｍＴα６．８） —= `•• 同样〉用 •1•p0 ｄ能］｜〕↑侧）粮〕｜〕Ｕ P α６。４）或α６．７） 当Ｕ＝厂时， √｝｀′｜Ｕｖ〔『 ′斗萝ｕ蔫镶ｌ·“６』昌７） ′』热搬嫂滤巍 T=• ７）式都称为格林定理导寸’（Ａ６．４）式的特蓟苛赡成 l …—雕 附录一失逊代数和失键分析 Q!•0 ０』｀ 0 `·b·℃ ｀■℃０ •0■』 ∩儿川雌Ｌ俩川侧测 Ｔ丁≡Ｌ（Ｕ耻ˉ响令驱硒乾吨入 （凶６·１０） 在利用了α６．１８）式后’即得 儿／／Ｌ′懒～腮≡盗十警〉…′／（√ ＋Ⅱ喂了哥）…′＂删棚属椰酉关系式’我们立刻就证明了柯西定理α６．１８）式。 —－＿ˉ－－—＿－—－－～附录 ＝■色·．••＝≡· 矢量空间飞｀线性算子℃ 他删和刨＝…（动量）这两个量寨表添篱揩掘动系统的棚怎毖 0 0 60 {0 §Ｂ１矢Ｈ空间 ÷>.+ P ••00 ·0 [282] • 附录二矢量空间、线性算乎 §ｎ〖矢世空阀． ＿－·≡一』ｌ ．．上面的例子是一种两维的矢量空间’我们将在下面引进＂ 维的矢量空间· ｀最常见的是通常三维空间的矢量空间．例如，在卡氏坐标 ＯＸ】厂Ｚ系中一点的位置可以用矢量丁表示； ７＝…聊十砒Ｌ侧７） ．Ⅵ’ｊ’胀是Ｏｘ、Ｏｒ、ｏｚ轴向的单位矢量，它们被称为疆 矢．它们定义了以此为基的坐标系’其中鳞，、阎是这岂点的坐 标α基矢§、ｊ、胀是线性无关的’假如丁＝０’则勿＝ｇ＝ｚ＝０’基 矢的数目就是空间的维数· （′几失量了的长度定义为＼ ７２＝“２＋９２岂谬 (B1.8) 为了说明（Ｂ１．８）式响运算，我们可以采用矢量的标积或内积， 我们有 ′＾′…ｉ·ｊ＝ｊ·ｉ＝ｊ。胀＝ｋ·ｊ＝ｋ·ｉ＝ｊ‘ｋ＝０『 ？八ｉ·§＝ｊ·ｊ＝ｋ．ｋ＝１ ``…(B1·9) 于是寸咐＼掣．…讣∩ 旷ｚ＝丁·了＝倔＋ｇｊ＋ｚ胀）＠ｉ＋９ｊ＋毗）、／ ＝ｍ２＋９ｚ＼＋簇…！／代（Ｂ１·Ⅲ） （Ｂ１．９）式挪第一行诸式’代表ｊ’ｊ？ｋ正交性′其第二行诸式 镶｛燃黑孽ｌ墨嚣慧窒葛叠季董撼雪蛋＝ 所以，有时称ｉ，ｊ，ｋ组成一个正交正则系，或正交归＝寒创 上述分析可以推广≡厕维系统，哺限但是任意整数，！ｂｊ．ｂγＰ 喻＝鱼匹‘“『 (B1·u) ∩设凹０（‘＝１’２’…『〗）是舱维矢量空间中的一组基矢’四０为 矢魁躬在该基础上的分量· 创矢量印的长度定义为 {铝〃叭≈■●己≡■乙的叮勺吼出‖０Ｐ■．］ｄ ｜翘３５］．胃熙２．．．线住算子附录二矢量空间｀线性算子［２３组 并矢将在下面另节讨论。 • 歹Ｑ 下面证明展开定理 在（Ｂ１．ｕ叼）上前乘畸，｀得 叫翻＝∑哗秘“↓＝∑山《勿‘＝ｍ』｀．。．（Ｂ工．工９） ·＝Ｊ；…』． 把田１．１９）式的结果叼代入田１．１１），得钟 ″＝茎…＝言啊鳃＝售喇）“ｕ２０） 这就猎出在任一矢量鳃上乘∑距』哩ｊ后并不改变“．所以 』■儿 ∑哟鸿＝１．田１．２Ｄ ’=>———一／＾×〃｜二′这就是展开定理所要求的基础· 矢量卯上乘一常量，和两个矢量”’刨相加的运算如下． “鳃＝鱼趣‘（α缅《）（Ｂ１．２２） """ 鳃＋刨＝∑哩↓勿：＋∑〃；叭＝∑泌′α‘＋叭）（Ｂ１．２３）０曰』宇≈』『■上 §Ｂ２线性算子 ｀在矢量空间中，把某一矢量翻转换为另一矢量旦」堕复王望半称为丝陛墓矛 ．〃＝ˉ２′印 (B2.D 在“和忽已给的条件下’２是可以决定的· ２的线性是由下列关系表达的 ２α＋〃）＝２她＋２″仍２．２） 蟹（…）＝α蟹”（刀２．８） 其α为任意标量． 设２和〃为两种线性算子’而且｀ 矢量的乘法次序不能交逃坐望ˉ卫］ˉ鲤塑胚三』必须指出，『０“２兰∑｜蝇｜２．．…（Ｂ１．１２） 为了说明（ＢＬ１２）式的运算过程’我们引进对偶空间（］Ｄｕａ１ ＳＰａｏｅ）的观念°对于哩↓基础中的任一矢量“，必在对偶莹间 00（用基矢鸿组成）中有一矢量卯＋和它对．偶·ˉ 7> ”＋子三呻们α．１３）0· 其中励是必‘的复共扼数，而且′．…：．．‖ ，狸加′＝ｄ‘Ｊ （Ｂ１．］么） ｄ‘′是狄喇克ｄ函数 ｄ‘ｊ＝１（当６＝ｊ）；ｄ！′＝０（当ｚ宁ｊ）（Ｂ１．１５） （Ｂ１．１３）式定义了在＂维矢量空间中，复矢量的标积·如果 （Ｂ１·１么）式成立，则哩ｔ，巫《组成双正交正则基础（ＢｉˉＯｒ迪ｏｎｏ刃＝ ｍａ１ｂａＳｊＳ），（Ｂ１．１垒）式也称双正交正则条件°：．．｀ 如果对于一切ｊ而言’呻＝〃《，则这个基础称为正交正则 的’而仍１．皿）式称为正交正则条件°这时（Ｂ１．１４）式表示（１） 诬↓是单位矢量，或凹↓亚＄＝工，』（２）〃《，，刨』对６＝ｊ时’互相正交， 即对６＝ｊ时’诬《哟＝０．ˉ 一般说来，矢量即的长度的平方是由下列乘积给出 " 川 " …＝∑…椰’＝黑』趴』必』＝∑｜叫盯『′Ｊ＝］０■上·， 仍１．１６） 皿；是独立的，其证明如下： 设 ?> •p0 “＝∑泌′勿《＝０ 仍１°１７）．…惠则．，｀ ｏＯ『》０７ｌ ″批≡∑哩沁叫≡∑ｄｊ′勿｛＝呐＝Ｏ．（Ｅ１．１８） ＄■且 ｐ■上 这就证明江；的独立』性· • • • 萨［２３６］ 附录二矢量空间＼戮性算子 ˉˉ』．ｇ印＝〃 ；↑．（Ｂ２．幻． ，〃〃＝ｚ ．〈Ｂ２泊） 把印直接转换为ｚ的合成算子叼也是线性的；它等于〃￡′… ｚ＝〃〃＝〃２施．』 ，ˉ，．〈Ｂ２．６） ．§Ｂ３煞｀特征矢迢和特征值．砧 ．．｀··≈》勺尸设有一线性算子２和一矢量如（不等于零）满足下述关系． 甄“＝∧即′．，（刀８．１） 其中入为一常数。我们说．』如果把线性算子２作用在矢量匆上， 给出常数儿乘这个矢量’则”称算子２的特征矢量，∧为算子 经的特征值·我们也可以说，某一特征矢遏对应着２的一个特 征值入。反之，２的某一特征′值入对．应着一个特征矢量“．＝ 『０ｂＱ· §Ｂ４对偶空间的线性算子．． 设．． ∏ 印＝∑哗｛“‘．｀．·（Ｂ４·１）０≈上 则在对偶空间的有关矢量为 γ】 ■■℃● ••• “＋＝∑显叫．（Ｂ尘２） 根据定义 〃＝２“田４·８） □广ｐ我们可以写成（用矩阵表示） ●■■·旨■ 9=m… 〈泌绚 0•或用张量表示’可以写成， ．叭＝∑Ｌ《′勿，． (B4.5) 于是，有转置张量 酚＝亭叭沪 (B4`6> •·0·`=Ｐ守？．、ｕ．４．： 『■● 遮２＋＝∑Ｌ′吨仍４．１０） , 把（理。１０）式代入（Ｂ４．８）式’化为 .{! 〃＋＝∑巫遮２＋仍４．１１） ·：ˉ＾《 利用（Ｂ４．９）式，我们有，〈． ．．２∑涎：堪＝∑罗皿｛遮＝∑囱，Ｌ」↓ｚ‘ｔ（Ｂ４．１２）ｌ■乙 『０ｊ 』但（Ｂ１．２１）式给出∑２‘｀鸿＝１，子是上式化为 工← ２＝∑２‘；Ｌ；ｊ呻（皿·１８）●二飞 《’ｊ·α 所以’从上式导得· ˉ野＋＝∑〃’Ｌ；’遮＝∑ｚ‘‘Ｌ／馏（Ｂ４．狸）习● 〃．０． 8· 如果称厄密转置矩阵Ｌ顾为′．ˉγ ．…＾，』迎１三匙ˉ…（Ｂ４．１５）最后得．．． ２＋＝∑哩』Ｌ加′ ..(B4.16) 廷里指出在对偶空同中；吴量矿和线性算子２＋的关系和在 矢量空间中ｊ矢量〃和线性算子２的关系是相同的总叫…．．．， 〃＋（＝『１’７２…Ｚ） 『沁川咖＝｛｝丽冈帅）帅′）…′ ；＝｝［｛示丽№′）ｄ“′］帅）ｄ“ ′所以’对于任意／＠）而言’有 ＂＠＝］帅，醚′）№′）ｄ鳃′ ｀＝｜）丽；“）帅′）ｄ“′ 、这就证明 `§ ［２β８］ |[239]§Ｂ５．连续系统啊线性弊子附录二矢量空间｀线性算茅 •••·q (B5.7) ｜∩ L• 侣 是矢盘〃．』．的单行矩阵符号’乙＋ｏ是线性算子野狼的矩阵符号’ 以（＝叭’２／２…队』）是矢量〃的单列矩阵’乙是线性算予２的矩阵 符号。 必须指出，我们还有关系 〃＋２“＝（２徊）＋“ （Ｂ４．１」７） 这个关系在·丑］中的一切“〃都适用°本式也可以看作为２＋ ，的定义，它也被称为伴随算子（自ｄｊｏｊ［卫↑ｊＯｐｅｒ诫ｏＤ． 从（Ｂ４．１５）式’我们再度换算’得 Ｌ《，＝耽（Ｂ４．１８） 它同样可以用来定义Ｌ贞的。 告切煮上并不一定有定值。． ′｀和．侧．Ⅳ）．武一隐在连续系统中也有伴随算子堕黔愈 ．徊４．Ⅳ）式相似的连续系统关系可以写成｀ 什（了″ｇ灿三｜萨了商帅）ｄ鹃｀ 如果必＋＝２’则毖被称为自伴算子或厄密算子古如 ２№）≡］№，篮′）№′）ｄ“′ 则 ‖了懒帅）血＝｜］炯№…′）帅′）… 它可以写成 ．〗＋α，刃′）＝〗α′，刃） 它和离散空间矢量的（Ｂ４ｊ１５）式相同· ．．．转墅线性算子 算子２的转置算子２ｒ是根据下式决定的 ｜·″州ｄ缠≡｜囚删］帅）血 转置算子２Ｔ是和２÷有简单关系的，因为 ２＋ｆ＠）＝币＋扩（〖ｌ，） （Ｂ５。４）谩瓣键•• (B5·6) §Ｂ５连续系统的线性算子 在前两节中’我们研究了矢量空间的线性算子’印，〃矢量的 分量都是离散的，即“《’ｇ↓的６在Ｅ门中取奶个离散值’２这个 线性算子也是离散的’它的分量乙‘，也是离散的’有Ⅶ×侧个值． 在连续系统中，我们有№）、帅）等都是仍的连续函数’和 田２．１）式相类似的线性转换也可以用线性算子表示 ｇ位）＝２／α）仍５．Ｄ 在矢量空间，２这个算子是带着对６求和的过程（见（Ｂ４．５） 式）’而在连续系统里’萝则是一个积分过魁例如仍５．Ｄ式可 ；诬伍５．４）和田６』１０）式，我们有 > 干』 Ｇ√●≡■ （Ｂ５·卫） P 仍５．８） (B5.9) 即满足 №）＝（帅，鲤′）帅′）ｄ″…倾ｓ） 的核ｄα’勿′），它是一个符号函数’有时称为狄喇霓函数（Ｄ唾ｃ ｆ血ｏｂｉｏ功°这里必须指出，ｄ函数不是一般常见的函数，它在 以写成 则＝｛№，“′）″）ｄ您＾ｒ：Ⅷ叫 ˉ。［． 田５．１０） 子２的核伍ｅｍｅ１）．其中 重视’ 有一种核特殊受人 • 尸 呛 气 尸 ［２佃］ 附录二矢趾空间、线性算子 ２＋＝萝饥讣∩…（Ｂ５．哟 所以，伴随算子是转置算子的共扼复数．假如野是实数’则两 者相等。所以，当２是厄密算子时’２ｒ＝歹·当算子２和它 的转换算子２ｒ相等时’即２ｒ≡２时’野一定是对称的． 特征函数的正交性 』．设野为厄密算子’其特征值是实数夕而相关的特征函数必 相互正交·设＼厂』、叼 ２＋＝巧〈Ｂ５．勒 设特征函数帅）和Ⅷ的特征值分别为凡和′’予是我们有』··．．‖０．，，＂闷＝″创，＼约（ｔｐ）＝叼胸『｜（Ｂ５．凶 从此’可以证明 ｀γ你汕＿√枷…广』‖网．１购 八」｀你冲≡｜野了洒＝」≡ｙ汕＝可枷 Ｅ〈祁＼Ｉ…川＼呼驴聊所以有〈厂′＼》… 引≡．＼心 ∧≡入（Ｂ５·川和同地咋：． ｛浊…＝叮秘／棚啊,?:,·, ］〃帅≡ｌ２丽′咖≡′刃恤＝州触｀■ …《（Ｂ５。Ⅲ６） 所以有 ″人（瓜－′）′触言０｀＼侧胆〉 但‖宇′’所以’证明了允９的正交条伴／八〈／｝…颐：｀… ］硒兰０丁Ⅲ＼…工了：…侧ｐ §攒嵌南摊敷…〔ｊ≥≥八十：Ｔ禽冲…°Ⅶ〗＼｀《』｝．（臼～；：二。１：′·户｀芒，七什′ˉ。 前面已经介绍过狄喇克函数，．现在辖丛旦攀二』！ｌ里樊族跳）ｔ在（α，ｂ）间］来说明这个函数·｀（ ｆ（勿）在（α，ｂ）间可以展开为典（！ｒ）的级数！〗＞户：ｈ ……｀》广炯ˉ／氢。帅）≥（…仰Ｄ：』．．教··山我们有正交正则条件′．；．羚眨铲…． 仙…仆｜：雕）啊…佛，嘶）…＂２）〈｀儿．．０ 而且 轮＝正帅）哪）血：．（Ｂ６．ｓ） 所以’有 炯＝氢｛；涧雕′）娜）血′＂４） 我们定义一个辅助函数鳃＠’÷缉）：呵让 Ⅷ／介‖＠，咖腑ˉ缮）≡禽哪′）帅）＂．５） 于是〈Ｂ６·４）式可以写成…飞：｀｀｀ 帅）＝靶瓤炯娜′）哪）血（＂β） 现在把和鲁和积分号的次序调换，上式写成ˉ… …｝饿冲）＝靶｜：炯°′（陋′ˉ仙′侧７） 其极限为． 叭：；＾｀；蔗，，Ⅳ｜〈；』」．『｀：…帅〉三！：′（嘲）地′－陶）巫′卜＂８〉 °l.Q° 其中 （‖川ｄ＠ˉ功＝靶咐剖胃惠鹏测▲侧〉 )´…(≈Ｏｌ００‖‖‖‖ ´ |` ［２‖３］｜腿〗腮｜ 附录二矢蹬望减缴｛：！龄 §Ｂ６狄喇克函数 ｚ～旨刃刃＋匡°ˉ ｜｜卜 №′ˉ勿）这个定义比前面的定义更一般’因为，根据这个定船即使．№）有间断时’也是适用的．帅′－“）也可以定义如下：ˉ ∩‘（…）≡｛二｀ˉ．．！：乏（：……倾１０） 更正确些，可以把０例ˉ锄看作为一个神量函数‘如詹跑 ‰…嚼｜皇∑巴翼具……≡…ｈ ｄα′ˉＤ＝ｌ椰′，缅）川’鳃）ｄ“ ＝轰｛．了训蔚′ˉ…（Ｂ训对于Ｅ３中的ｄ（丁′－丁），有』．｀；． ｄ（铲′ˉ′）≡（壶！］·ｘｐ眺（旷′厂旷）］ｄ账（Ｂａ１６） 对于球坐标而言，（Ｂ６．１６）可以写成 ≠‖了′一小（壶）勘阅Ⅳ刚帅′熏′）］ ．ｋ２Ｓｉｎαｄαｄ腿β ＾地．（丑β．咽 …Ｄˉ 卜 （Ｂ６．卫） •! •d ■』 •谱 •• ••• Ⅲ ••• • •• • • • ••• ■』 铡￡〔ｉ〉′獭卢′′胁嗡推』辱袭＠严 丫《）２）≡式尸喇它ˉ滩切三羞 Ｊ仪〕二介′≡／叫伙淄″ ∩川亥／β…州》〔 Ｌ凹 •= • 叫p ≡ 图ＥＴ狄｜喇克ｄ函』数．．．钡霍 ，ｄα≡必′）用三角函数表示时’可以用佃６；０）．特征函数为 嘶二命』…（‘韵（广》…》侧测 铡是正整数或负整数．采用（Ｅ６．９）式后，得 帅′ˉ小贵，真…［喻千佃ˉ咖｝叶 ≡÷叁ｓｍ手彻ˉ咖（Ｂａ１ｓ） 在连续系统中，我们可以有』 川叫ˉ渝′沁毗虚）当志… （Ｂ６．卫） 官们都已正则化，于是，根据定义．＝ ■出 ‖· p • b • 0 •• 巴ｂ口‖Ｑ· • 户 附录 • 蕊辨矢和失鼓的外积和内钒 搬ｊ•0•●■巴ｂ●■■勺■◆‖＝●■口≥■◆ ■‖ｐ叶０■■●‖ｄ■Ｑ●Ｇ０ ·00 矣霹分 ：ˉ·」 冤；ｑ°＼宁ｐ＄？． ｊ｀，、°：．』？·吉古ｆｂ·，．飞如ｊ设有并矢Ｂ ０，．少Ｇ＼．◎．°、ｂ ……．｀｀Ｂ＝血ｉ血１α＋匹１血２β午凹肛ａγ…≡ ．…凹泌Ｌα′＋吨皿２β′单『‘疵』γ′＾广（Ｏ１．４） g•0.°.··• ．′／８ｊ３８ｚ１α奴＋〃３皿２β〃＋泌溅γ〃 叶，…＾｀．ｖ川！！《．我们可以把它写成仆 舟…＝｀〗＝测斗腆梦蜒叮十／』（嘘蓟 其中躬’〃’ｚ为三个矢量．；？ 如＝凹１α＋凹泌′＋凹３α〃．．『．｀． 〃＝匹１β＋ˉ吗β′＋哟β〃′厂＼．（ｏ１·６） ｝ｉ≥．ˉ｀… ｚ＝〃ｉγ午蝇γ〖＋〃３γ〃、人肿 同样Ｂ也可以写成 ：；瓜……｀…Ｂ≡血』Ｄ抛２°＋血３庐白〉（α．７） 其中办’α，丁为三个矢量∩ｆ Ｄ＝凹１α＋ｍｚβ＋〃ａγ α＝ｍ１α′＋戊２β′＋血３γ′′广户巾１．８） ｏ丁＝诬１α〃＋〃２β〃＋哟γ′；小 其实Ｂ总能写成三个并矢之和；如…｀…弓｀低 ．炉ｏ·．．｀ ．：‰Ｅ三雌千鲍＋·ｆ唾．谜 (o1·9)｀．ˉ．．′ 茬一嵌的情况下’并失服删配摔＾？→； ＼（必＋〃＋ｚ＋…）（Ｄ＋ｑ＋嗡．β〉墨→《…ｉγ『滔； ＝如Ｄ＋ｄ■ｑ＋…＋〃Ｄ＋〃ｑ＋…＋ｚｎ＋ｚｑ＋… 『彝ｘ≮义ＡＦⅢ广≤／＞：｛刘…票′！（ｍ．皿） ．．．Ｑ凡·ｑｌ 馏２§．井矢和矢丘的外积和内积．＾…飞 设Ａ为并矢如（皿·８）式’血≡（ｐｉ，ｐ２，ｐｓ）为矢量，我们称 魁苗治方受夕的乘积为惑）／茹帅和Ａ∧蝴似；称Ａ的 左方受Ｄ的乘积为前乘，如Ｄ．Ａ或办∧Ａ。 獭｝…梭Ａ＝”〃，则我‖滑豫肆赠… Q 0 ( • •V• ••0 •• ℃ • • 0•· 0 ＱＤ‖０印■ pp • ．心｀．ｋ飞、••• ｑ■●飞》 Q> … 二 ＿—－≡－＿－≡－→－——兰二兰垒～－＿ （／‖押 析 ｂ．『· 7••• 。并矢是两个矢量的乘积ｊ它既非内积，或标积’又非外积，或矢积．内积是标量’外积是矢量’其方向垂直于相乘的两矢量所决定的平面·并矢是两个矢量并列存在量，其英文为Ｄｙａｄ·我国物理学家萨本栋曾用并矢分析电路闻名于三十年代’著有【并矢电路分析》’在美国出版· 设在空间玛中有两个矢量“和〃’其基矢为凹０ 8 8.躬＝∑…‘〃＝∑凹０趴（Ｏ１·Ｄ０■■』 0•l> 并矢的定义是Ａ≡″ Ａ≡″≡仙１勿１＋凹２ｑ，２＋蝇巧８）＠１叭＋〃泌＋皿３ｇ′ｓ） （Ｏ１·纫｀所以Ａ是一个两秩的张量’其分量为Ａ０』＝＠』劝 Ａ＝躬ｚ＝凹汹勿〗９１＋〃１〃罗吻咙＋〃』蝇勿１沈 ＋〃２凹胸鳃′１＋凹狸蜘２』／囱＋〃２凹８“２陇 ＋凹ｓ８８１勿８刨１＋〃８■獭纯＋凹８〃３蝇跳． 8 ＝』属…’鲤』劝 (•1°8) 很易看到Ａ■蛔并不等于〃“° 硼们在下面将指出’任何韩矢可以写成三个并矢之和·例 ‖●十◆▲ ••O ０■十 Ｃ〗并矢的定义 • ■卜 • Q • 尸 ［２０财 …附录三并矢分折 ′Ａｐ＝蹲（〃．Ｄ）……儿（ｑ绷 Ａ∧血＝蛔（Ｕ∧血）亨呵其中萨≡Ｚ′｛∧办（Ｏ２．２） 办。Ａ＝（Ｄ．如）″＝β〃． (O2.8) 办∧Ａ＝（血∧如）刨＝Ｓ秒其中ｓ＝Ｄ∧印（Ｏ２．４） 其中α＝（〃．血），β＝（Ｄ．鳃）都是标量，所以Ａ．ｎ和〃▲翻暴 绚蹿″＝（〃∧办）’ｓ＝（】！∧‖罗）都是矢量’Ａ∧血’办／＼Ａ都是并 矢·｀卜！ ˉ、●Ｊ０ 设凹ｌ，凹２，凹３为三个基矢阶 …凹ｌ／＼β‘』＝０，吨∧β‘ａ＝ｏＱ“ｓ∧凹ｓ＝０” 〃１／＼β〖２＝四’８ｐ．“２／＼凹３≡四Ｌ凹３∧皿１＝吵２．（Ｏ２．５） 我们有＾…｝川；∩…＾·ˉ｜．＝·←Ⅲ！…宏＝〃∧Ｄ≡（〃ｌ〃』＋凹潍十哟购）∧彻！ｐ！＋〃２ｐ２＋〃３ｐ３） ＝四１（９２ｐ３～刨３ｐ２）＋酗２（跳Ｄ；＝叭Ⅺ３）． ＋四ａ（叭ｐ２＝ｇ２ｐ』）（Ｏ２．６） 母｀≡办∧如＝（啤１ｐ皿汁哪２ｐ２＋ｍ０Ｐ３）／＼（〃』“』＋理泌ｇ＋〃疵３） ｏ′≡四１（鳃ｕａ～Ｄ３“２）＋Ｚｏ２（办３四↓－办１蝇） ＋”３（办』勿２＝Ｄ泌ｌ）』广＼（Ｏ２ｐＤ 〃。２＝劝Ⅺ』＋ｇ２ｐ２＋沈ｐ３＝α (C2.8) Ｄ．如＝ｐ哑１十Ｐ濒２十Ｐ３勿３＝β（ｏ２．９） ｜●■』０■司■Ｑ↑● Ｃ８两个井矢恒等的条件‖＼…／｀… ．ｏ小ˉ．ｉˉ．·．ˉ』』翻°．〃° 『设．“和〃为两个任意矢量’则两个并矢Ａ和Ｂ恒等的充 要条件为 Ｂ．印岂怨涎叫；｛…（／厂沁γ比《１蕊Ｏ８隐翅 或叫扒…！’＼｛〉／．．＼！…》 ．郎·Ｂ＝如·▲工｀ ≡（ｏ８·黔 ˉ．．贺 或′《…‘净广… 刃，Ｂ．″字印．△．〃＼仆厂《ｏ３·３） ●●由●‖●．！０§！β了：看关单位并矢的两个定理 中■△■■●ˉ●●七◇●中＝ˉ●■令●尸■●·● 削鞭〕 ｃ‘单位并矢▲／丫｀｀＼厂ｊ…《 （．贼单位并矢（Ｕｎ滥Ｄｙａｄ）亦称归本因寨或幂等矩阵（ｉｄ皿 ｆ白ｃｔＯｒ），有时也称单位张量或恒等并矢．…． 单位并矢的定义为：如果对任意矢量必’有…』… ．乃八；〔｝｛ｒ．宛‘＝豁：澎·Ｉ＝宛！ (“6D 则Ｉ称为单位并矢·． 苗〕南个井≡菌内蔚＼厂卫〕′ 喝〃两个并矢宛〃和血α的内积为另一并矢 （哪）．（血ｑ）≡如（〃。Ｄ）ｑ＝（以．夕）蛔…讣（Ｏ５·１） （加）．（鳃〃）＝夕（ｑ．“）〃＝（ｑ。印）侧…（Ｃ「５‘２） ：蜘《和”都楚引噪’（沙．血）和（ｑ·宛）都是标蛰６出／ T…[哪＼．有关单位井矢的两个定理…》 》（＼（凹单位并矢和某－并矢的内积’仍为该并矢」」！」／…＿矢量』根据帆…＼」」…二１ （Ｉ．Ｂ）．丁＝Ｉ．（Ｂ．Ｔ）≡Ｂ．丁｀′（Ｏ６９２） 单位并矢Ｉ的式子应该是 ……）》厂…沁！≡鱼血』血『」…√咖．β） 曲陨敷行列式为｜；恐十 工懈｜／／／／」／／｝／僻．／ 删蕊露撇绷蟹蔚蔑）≡；看厂／ • • γ ∩′ • 司９ 截ｊ 附录三＝：并矢分析 Ｔ伯．Ｂ）＝丁．Ｉ≡丁 弓膳是’在上式两侧后乘Ａ’得内积；总 ′『搬｀｀｀．；巴．｀川′７（ＡＥ）·△＝丁·Ａ『ｉ．广… 这是任意矢量丁都适用的。丫乍‰／…、 蕊但是’因为４｀。 ０■●■ˉ <•/` （△．Ｂ）：Ａ＝▲？（Ｂ写４） 所以’从（Ｏ６·５）式，得 丁（Ａ．Ｂ）．Ａ＝（７．Ａ）（Ｂ．Ａ）＝丁．Ａ 或即证明对任意Ｔ而言，舌仆 k••…B·A=I （Ｕ６·锄 （ｏ６·盯 q•pb （Ｏ６。６） …．｀了』！膳 （Ｏ６。７） ˉˉ℃｜少厂ｏｖ尸·≡ 00doo·0·· ;(O6·8) ℃了倒井矢或倒蜀舞矢！ｉ广 ０『巾｜·！．』』。』；．，｜，° 当两个并矢ｑ其内积为单位并矢时，称为倒并矢，飞或倒易并 矢·设． Ａ·Ｂ·＝ｒ叮≯′＾．｝丁广急们７·Ｄ 则∑ △．｀』Ｘ》Ⅷ八Ａ＝Ｂˉ』〖．．；入〔」（Ｏ７·２） 儿豁．．． 或Ｅ＝Ａ－１（Ｏ７·３） Ａˉ１为Ａ的倒并矢，ＢˉＬ为Ｂ的倒并矢·．Ⅷ／ˉ′庐叫… 翻蕊迈并矢…≡寸……·‘ˉ＼ｊ．ˉ人』ｉ！ｉ．Ⅱ『．〉～『；：′↑ｎ（→：羚梨 劣挪矢量的乘法次序相互转置时，得转置并矢，设原并矢ＡＱ｝．０ｂ？｀ˉＵｏ Ａ＝如〃＼》？之竹；（Ｏ８勤 则其转置并矢ＡＴ可以写成》↑｜门 ｛ＡＴ＝″岭｝ (o8·2) 根据上述定义，我们有≥飞｜〈！ 触｛日·（翱′）＝（ｓ《躬〉忽写（§ｃ，ｓ）旷＝Ⅳ（》ｃｑ＝触幼，ｓ罗｀ ＼丫《↑觅｀＼！…》了（：ｋ’知：≥）｝占《ｊ》《：：《’８．８》 0· ．Ｉ酌＼§ｖ算子对并矢的运算 手［２ｑ９］ 其中利用了矢量ｓ和如的内积和次序无关的性质，即（４２卜３Ｄ ！武°此在利用了（Ｏ８．１）和（（】８．２）式；即转置并矢的定义以后’得 』｀十；！／＼ｂ儿；ｊ〈．引…ｓ．Ａ≡ＡＴ．ｓ…〉乙．叫（ｏ８．４）■Ｑ●』●■●■■■■ 》同祥，我们有．，→ （业．《｀ｌｋＡ．ｓ＝ｓ．Ａｚ｀≥Ｌ’／〈．（Ｃ８．５） ‖ｊｎ．（Ｂ＝”＋〃α＋”的转置并矢为丫√．′‰． 〈Ｍ」｝ｉ．＼仙Ｂ尔≡Ｄ熊＋ｑ〃！＋７ｚ．】勘（ｏ８。６） （Ⅶ｀〈如果Ｂ＝ＢＴ，则称Ｂ为对称并矢ｄ←；『》′／讣 〔』＝』《缸．′．！＼．｝｀∩八； “ｖ算子对并矢的运算 （〔』：卢／ｖ的定义为′｀ （》，｜．．户·． ｖ镭鱼哩‘ˉ立■（ｏ９．Ｄ（｜（｝人．严＼低…枷０′ 网对并矢Ｂ的运算》有内积和外积两秒＾出■Ｑ p0《｀…ｖＢ≡＝吟惫…；／〈（ｏ趴２） 0>···´ ｖ／＼Ｂ＝∑凹‘∧旦＝ˉｊ＾：ˉ＼←（Ｏ９．３）3。‘ˉ＾枷０ （设Ｂ〈为；》广忙２ 飞之！．··＄〖「ˉ■·．··』· Ｂ＝…１＋〃凹２十ｚ凹３｀厂广．（！Ｏ９·４） 《测．《（！…｀．≥． 】０′／＼Ｂ＝（ｖ∧βｃ）皿１十（ｖ∧〃）凹２＋（ｖ）∧ｚ）肥３（ｏ９．５）々·′。□ｄ （＼？｛岛／ｖ．Ｂ＝（ｖ．躬）凹Ｌ＋（ｖ．〃）凹２士（ｖ．约凹ａ…＝：＠９．６） （如果我们用矢量恒等式．．厂γ川《．八．呛』≈０ˉＱ·ˉ ｖ∧ｖ／＼＝ｖｖ＝ｖ２ (O9.7) 其中 ｗ＝ｖｖˉ崇带惫等惫＂） 棍据（Ｏ９·６〉、（Ｏ９·６）式，我们有 Ｖ『∧ｖ′＼Ｂ＝ｖ〈ｖ《Ｂ〉ˉ（ｖ．ⅥＢ（Ｏ９．９》 丛０● 夕 品广‖０●■ˉ‖ 『［鳃０］ ＿附录三）钵灰份析 Ｄ１狄喇臆耙泻介绍．慌』≥个（…十 ｂ．』丙ｑ飞飞ｏ它凡 狄喇鬼记号（Ｄ血ａｃＮｏｔ日遍ｏｎ）是附录二中有关塞矢的简化定兽，它雕狄喇克在他的《量子力学原理》』（〕凸（ｉ吨ｌ甲喀Ｑ∏ａ画仑血Ｍｅ６ｈａｎｉ田’第三版’｜牛津大学出版社’１９４７）中引用 的°它以简捷闻名’为许多理论物理学者使用８它有两个墓本 记号表示两种基矢０ >0 （｜）基矢此 Ⅸ…用｜‘〉表示’称基开脱矢且（Ｂ醒·ｋ吮ｖｅｏｔＯ刺’或简称开脱 基矢（ｂ蹈ｅｋ率）’物理学名词把〈…恨贼刃ｂ圃哺人把潜译成 右态矢，或右矢６：我侗采用泽徽右者指基魁～般疑于线性算 子右侧之意ｄ＼／》≈！箩．…＼… （２）对偶空间中的羞矢毗《｀岿… ：》阀《ｉ｜表示’称基勃拉琴毋仙卵ｂｍｖｅｃ‖ｍ）’或简称勃拉 基矢（ｂａ日ｏｂｍｓ）’物理学名词把ｂｍ译成必刁圃’也有人把它译 ．．·、＾．０··；．ˉ＼成左态矢’或左矢°我们采用译音，左者指对恨基矢≡般置乎线 性彝子左侧之意． …勃拉（ｂ∑‘‘）开脱「（ｋ自ｔ）合在一起便是勃拉开脱（ｂ西ａｈ园ｓ跳郎 0·0括弧之意． 《３）用基矢喇和对偶羞矢凹ｔ ´ 其冲」〈仆…！／《』＼ ←；／‰卜／诗′啊忘ＷＢ尝Ⅵ『阐Ｂ∩℃ˉ＼丫』＼（碉·』０） Ｄ在下面’我们有许多并矢分析的公式’读者是不难证明的 （１）（；ｃ／＼〃）．Ｂ＝如．（〃∧Ｂ）｝；＝丫／姻靴刮↓） 』卿（Ｂ∧如）．〃≡Ｂ．（能∧吩√：．（ｏ９．１２） （８）（摊．Ｂ）。〃＝“·（Ｂ渺宅琴彦·沙｀心…（鳃．泅） 〈．…〈鹏）（如爵Ｂ）∧〃＝…偶／＼〃）寓卯·圈》∧〃 （◎９．哩） （５）（０ｃ／＼Ｂ）．〃＝βｕ八（Ｂ″吵＝甄／Ａｃ·砂广：℃川‖徊９。１６） ．（６）（如∧Ｂ）∧〃＝β咀∧（Ｂ∧〃）＝日日／＼Ｂ∧″ (O9.m)´ ，．°：．咱矿也．·．ˉ．．§．６·《｀．ˉ．ˉ·．』０··甘·仑·Ｐ◇．·ｑ０』． （７）Ｉ∧躬＝℃∧Ｉ〔《｀．丫片：（Ｕ９·叮） 『．（８）（Ｉ∧躬）·〃＝３ｃ／＼愚′飞（Ｏ９·１８） （９）卯．（Ｉ∧〃）＝如∧〃（Ｏ９．１９） （ｍ）Ｉ∧（叭〃）＝（叭〃）∧Ｉ＝〃如－蛔ˉ√｜磷《抛蜘） （卫）（Ｉ／＼′幢）Ｂ≡叭血＾（Ｃ′９．纽） （１２）Ｂ·（Ｉ∧如）尸Ｂ√＼βｃ（Ｏ９．２２） • • O 瀑蝎 （１８）（如。Ｂ）。Ｃ＝躬·（Ｂ．Ｃ）＝“·Ｂ·Ｃ （１４）（摊∧Ｂ）Ｃ＝βｂ∧（Ｂ息Ｃ）≡β‘／｀〈Ｄ．Ｃ （１６）（ＢＣ）．“≡Ｂ．（Ｃ．宛）＝Ｂ．Ｃ．卯 ｛（１６）．仙．◎）∧匆＝Ｂ．（ｏ／＼“）＝Ｂ‘Ｇ／＼βｃｊ 们）（Ｅ／＼“）忠Ｃ＝Ｂ·“／＼《℃″仆 （１８）（Ｂ．Ｄ）．Ｃ＝Ｂ．（Ｄ．Ｃ）＝Ｂ．Ｄ妇剑 0• • 『＼ 0• 狄喇…克记号 •Q • •••p •=••• O• • • • • ••• • 们Ｇ‖● 『１•• • q • ｖＵｇｈ６鳃） （Ｏ９·鲤） （Ｏ９ｄ腮） \<(o9.26) （Ｏ９．幻） 」！咐ｇ展腿） •p • ……… ••• 00• 0••芭≈） • ••0p 、■司■●■‖■凸 0• ••`飞■ˉ 0 ••[ 』● • · ´ • •• ■■◆０●▲■■．●巴 • • • .• 飞 Q •• ■飞 • ·` 飞 • ••• •• • 十■岁■ ■干－←■‘ • 丁 ••• • =8. •0• 0• • • 丫 厂＼ · 尸 [252] 附录四狄喇克记号 用基矢“‘和对偶基矢〃↑所表示的展开定理（Ｂ１．纽）式° １＝亭诬侧（Ｄ１．１） 前／邀围敦喇竟记号写成≠丫∩…—ˉ………… 1=|‘><0| (D1·2) 而鲤《、砌｛的双正交正则条伟（皿；哩）季∩ 凹加’≡ｄ０’ （皿．８） 可以用狄喇克记号写成 －ˉ＿～——一…—〈『『｜ｊ〉≡６↓厂ˉ…………＿（ｍ飞４） 在〈６｜和｜‘》相并时，原来应该有两条竖线，粗在连写时肿略去了 ｍ（上』１·２）毛 繁瓣：『撞露翱霉云『．，…』｀″３．有蛔伐表？≡↓’β’（麓重复相训即略声灭∑的求和号，或』 ０←且 3 Ｇ■■□｜８、＾＾●｜州≡∑｜，》《‘｜＝｜１》《１｜÷｜２》《蓟『悯蕾「∧｀Ｕ＝』 ！；＼ｙ．＼（ｉ侧｝／《…曙…′琳‖鼠？≥飞／？滩：；絮．≥；…．＼｀：；｀（Ｄ１．５） ．／厂｛（４）！丙｜卤〉和创的｀狄喇克记号》｝』′；；二…｝＼之ｈ，｛铲′‖×！嚼＼ｕ＼《；｀ ＼＼；？｜钞秘‘｛是基矢凹‘和对偶基矢蝴的狄喇克记号’伺样脚 和徊｜是任意矢量必和任意对偶矢量如＋的狄喇克记号６息…：十 ．于是’在基矢记号中’我们辙…§．警；！肿隘；…：；｀≥； 产÷（＼↑；娜；…γ…嘴＝∑獭蘸〉千γ）…髓恤．６）孝；．『贺＼琴ˉ斯…：：｀≥：化：．闽′沁γ‘√入：…了（义．＼『：．…证ˉ卵…《《肿！ 在狄喇克记号中，我们可以把（Ｄ１‘６）式写成…｀…′…Ｆ．《｀·官ｏ·ˉ·←·．４··◎．．｜■」ｏ０．ˉ口．沪°■··？．·．．．ｏ『，电·ˉ·ｏｏ ｜勿〉＝｜‘〉〈↓｜勿〉 ＾＝热》；！《；（Ｄ１〃） 它可以姚四↓．翔垂奥有剩印〉求微｀从＠翻）式副以露到’由 于基矢〃０＝｜‘〉’所以有（Ｂ１．１９）式’即………／．．』° 卯０＝〈‘｜“〉ｉ＼或即｀缴叫撤八鼓！；＼（ｐ１．８） ~ Ｄ２基矢的改变＝ [263] ■□●●●←■●■■●●≈■■古■守●＝■●●△●■□■←■●■■●≈ 雕在基矢记号≡警嚣靴）川！〈叫 可以在狄喇克记骨中表示嘶！］丽〗轧！｀；．｛…狐｛ ｆ川驴ｋ７；；…心｀丁·〈阎阮｜＝〈“↓‘〉《‘｜…」′川！‖（Ｄ１§汕） 从（Ｄ１。９）、（Ｄ１．１０）式中很易看到（利用（Ｄ１．８ｎ：≥．｀…．熊．．》 ：虱＝＠｜‘〉＝呵『５》（Ｄ１．ｕ） ｐａ雕的改变…∧＼＞＼；！↑＼〉＼／）＼！广『Ⅷ｝ 』ｊ肌用老的记号表示』基矢凹‘用变换矩阵０：（或蜘）变为新的基 矢ｏ』时’写成 ·’＝亭泌‘′叭息…γ溶挝聊｀卫 震蹦蕊瓣逗｝赣孽啊脱摹朱ｌ’橇示，把…：诬勿|j>=|‘><‘(j>《．：·↓．人飞》遗里很易看到｜感〉代表《Ｄ２．１）式的凹０？《‘｜ｊ〉代表变换矩阵如， （Ｄ２．２）式中右侧的‘是重复用记夸，它表示是由ｊ三１；．２’８求 獭罗帆２）式基咖助钱的戮喇克疤号表达式，这里应该指 出，不同斟罐笑拼朱用术同的字母表蔬）如ｉｉ，钞』；竭霉． ｀而用不同的角标‘，ｊ，膊记号’写成｜６〉ｂ｜ｊ〉，｜乃〉等来表示 瞬简些墓翻个不同基矢可以用‘６ｊ′；愈′等记号，写成｜‘》， ｜‘′〉，｜６〃》来表示． ′；｀．１对于对偶空侗的基矢呐用变换矩阵溺变为新的基矢◎ｊ’ 用老的记号表示时写成巳≥「；｛。贞！‖；／；（飞矿 炉沁｝广Ⅶ＼＂＝亭‘测八（Ｄ２．８） 但鹏喇克记号表示碱，可以写成／！丫…．／→．；（｀‖ˉ．。０。｛，·彤·ｌ．．．。仔。°′÷：↓′』≡｀』、代叫〈ｊ｜弓寅顶《６｜三〈ｊ｜哪｜…＼〕《γ｛ｉ１仰．４〉 • α殉 ˉ附录四狄喇克记号 它也可以把〈ｊ｜从左侧乘ｕ２）式而求霉；≥了喻… 把｜Ｊ〉〈ｊ｜从左侧乘在（Ｄ１。锄上’断得 ｜“〉＝｜ｊ〉〈ｊ｜“〉＝｛ｊ『〉《狮｜钧〈矿膨＼〉．（∩？（泌勋 •獭硼＄出，把任意开脱｜岭的喻基中咨汾量《‘｜“〉变为ｊ基中的 各分量时，用公式川飞：｀｀个：嘎〉 〈ｊ｛“〉～《ｊ｜瞅‘↑喻（Ｄ２．６）0•` 同样’（Ｄ２．６）式的复共扼给出了丽＝呵丽丽＝侧，》《‘扩铲／挞刃 这健跳勃拉伸｜的移蹿中的分量导出开脱｜她在ｊ基申复分量的 公式．什＾……墅 ｖ廓罐性算子的狄喇克记嗜八巴 产／／在羞的耀洲线性算子雪呻寅酶镶罐瞧重（Ｂ４Ｑ１３）’或 o0´°0 ‖｜′蔫严冯０′泣』儿 ‖！咽（Ｐ｀．０··ˉ０·．↑■°『．诅在２左右双方都使用了仰．勘岗０后，得≥让！《…！．酗》｀会·ˉ０· 』．７·Ｆ０ｏ…°．ｏ倒●●·，遮里若把α咖舔蛾；删蔚＝鳞罗ｉ；季 ｚ＂′＝〈‘｜′｜‘′〉＼厂枷！；侧翻同样，用老的记昆箕硼的共扼转置缚子事酶傍缔２＋可以写成≡贮≥．．〈｀ • 庐 ′≥厂″曰爵胸《）螺≡爵｀‘『蹦删了庐Ⅷ．４） 其狄喇克记号可以由下列表示／业．！了℃：；丫兽！ 野＋≡卿侧』２窿滞ｊ膨′〉〈‘′｜｛（Ｄ８．５） 把…似‘）霸瓣》ˉ沛插１…燕肌(D3.6)＾邀里应该指断懈２是≡个恒等算子′（Ｉｄｅ皿蜘Ｖ | 邱特征先盘积腾征值 ［２霸刨_Ｏｐｅｍｔｏｒ）’则利用（Ｄ１．２）式’得 ′≡｜‘〉〈６｜′｜‘′〉〈‘′｜＝｜６〉〈６｜‘′〉《‘′「憎 气｀｀″＝｜‘》ｄ‘０′〈〃｜＝｜‘〉“｜｀＠８·７） 这和（Ｄ１．２）式是一致的· ′燕老的记号中，算子２作用在任意矢量躬时’可以写成＼ 纱＝爵Ｍ‘马０′“‘′（腿８） 用獭克疽号，算子２作用在任意并脱ｋ鸵｜鲤〉上时，可以写成 堕｜勿〉≡｜‘〉〈感）堕｜‘′〉〈‘′｜勿〉（Ｄ３．９） （Ｄ８．８）式的厄密伴算子式为仆√…＞√ ·\q.;·0 〈《谚｜２牛三佐｜钞〈‘｜堕＋｜‘′〉《‘′｜ ≡蔬Ｊ丽盯ｚ可顶〈ｄ′｜（Ｄ３．１０） 这也可以直接从《鹏ｂ９）求嚼口广尸作 ０·ˉ｜‖ Ｄ０特征矢量和特征值 在老的记号中’．设有｀《． 』＼．｛『．〔｝′｝＼』ｔ山．札缴β饥≡蛔；＝′●≥《Ｚ》４·１） 则称算子巧的特征矢量凹『属于特征（值％用狄獭克｀记弓’； ６酗§１↓）式应写成＝／∧ 仆２｜Ｊ〉＝｜Ｊ〉〗／（鹏．锄 于是’对任意基‘而言旷Ｉｊｈ： ２｜‘′〉〈６′｜Ｊ〉＝｜感′〉〈‘′｜Ｊ〉Ｊ ！（囚４．８） 而且更进煮步：．＼．』／◎ ｜‘〉〈‘｜纠‘′〉〈〃｜Ｄ＝｜愈〉《‘｜｜〃〉〈〃｜『》叭：ｏ鲤纠 阮以有』：｀； “｜纫郁》〃｜〗》＝《Ⅷ〉｀馏删＝儡｜哪１啤ｐ） 这遇→个特征值〗的矩阵方程久从迫喻京凰我们求算特征值 >· ｍ…厄密算子的诸定理＝| 。挪，［２蝴； •·••[26?]附录四《．狄喇克记号 Ｄ５＝个算子的谱寨示．儿ｋ，』十． 应， 如果在基Ｊ中的一个线性算子卫′的基矢匹′都是算子２的 特征矢量’则用老的记号’有卜１｛从〉；；ｉ《 ０●■卜●● ••bQ? ）ｌ卜。旷°；．／∩叮逆兰∑江抛′…、（Ｄ６．１）′．《》．产《＼．．…．Ａ．↓〗… •••• 这是算子￡？的谱霹示拳？澜狄喇克记号，《（ｐ丘１）式则写感；！：Ⅷ…．２声｜『〉！《Ｊ（…≥…（加；２）＼０．·《·°镭ˉ； ０◇尸·：→，『·ｂˉＰ０·｜·°ｏ△．黑蝇瞬臻｝｛｛｛‖∩阳／／(D5·8)（Ｄ５。４） ｏ·ˉｑ『◇‖ｏ●·◎■０◇０·●ＯＪ·°■·一般讲来’在这个基中’２的任一函数ｆ（堕）都可以写成｝；ｊ• ／（箩）＝｜‘〉〈感｜Ｊ〉ｆ（Ｊ）〈Ｊ｜‘′〉〈‘‖…（ｐ６．β）√Ｙ：《√γ．绷．飞．｀愈义．／…毗｀≥ Ｄ６厄密算子的诸定理＼侣（尸飞＼卜γ〔！：γ１．． ：力』；为了说明使用狄喇克记号的运算优秀性，让我们用它来证 明≡些厄密算子的有失定理°丫；：９；札！入（了．＼；》：铡ˉ〗ｊ丫＞（：》！‘… 飞 当线性算子″满足条件″＝″＋时，这个算子称为厄密算产 子（Ｈ６ｈ□ｄｉ粒皿Ｏｐｅ…Ｏｒ）α（｀；厘丫； 定理＝厄密算子的特征值必为实数户Ａˉ″∩｀撒吉｝：｝＄·！ｂ：＞ 厂证明．ｊ｛０〉′．｀ 根据特征方程的定义’设厄密算子″的特征失谴为泌ｈｊ！存乌 关特征值为渺子是｀《｛〈γ｀《；：！…√＾｀《、ｉ『广！／；〉｛；！ ″｜腮〉＝｜ｈ〉ｈ （况．ｚ）庐 等；式两边都从‖左方乘勃粒啊’』得…：门；ｌ八ｉｆ｀１脚＼ ；丫；２ｊ／舜；川／Ⅷ『毖附驾训狮≡秘摊舶毗＠８勿 ｜．为”＝死。◆’我们有勾； ≈■丛■■ ••穴•••p一＿丘•- …＝．．ｂ深 〈川蹿｜几〉＝〈川浙令｜几〉＝刃５萨「丽ˉ＝万（Ｄ６．３） （Ｄ６．２）和（Ｄ６．３）式的左边相等，所以其右边也相等 ｈ＝瓜（Ｄ６·纷＼ １这就证明了定理·Ｈ熄理二窗个厄密算子都能硼晰正蛾（或辑粪 换ＵｎｊｔａⅢ？ｙＩｂ日ａ』α碰ｏｒｍａｔｉｏｎ）化为对角线的充要条件是它们都 能对易（Ｏｏｍｍｍｏ）睬′《把〖＼…≈＝ ／蕊｀》 （Ｄ设有