理论力学(范钦珊、刘燕清华大学出版社)第2章力系的等效与简化习题解
第2章 力系的等效与简化
2,1试求图示中力F对O点的矩。
习题2-1图
M(F),M(F),M(F),M(F),Fsin,,l解:(a) OOxOyOy
M(F),Fsin,,l (b) O
M(F),M(F),M(F),,Fcos,Fl,sin,(l,l) (c) OOxOy213
22M(F),M(F),M(F),M(F),Fsin,l,l (d) OOxOyOy12
2,2 图示正方体的边长a =0.5m,其上作用的力F=100N,求力F对O点的矩及对x轴的力矩。
F 解: M(F),r,F,a(i,k),(,i,j)OA2
Fa,(,i,j,k)A 2rA
,35.36(,i,j,k)kN,m
M(F),,35.36kN,m (a) x习题2-2图
2,3 曲拐手柄如图所示,已知作用于手柄上的力F=100N,AB=100mm,BC=400mm,CD=200mm,, = 30?。试求力F对x、y、z轴之矩。
解:
2 M(F),r,F,(0.3j,0.4k),F(sin,i,sin,cos,j,cos,k)AD22 ,,100cos,(0.3,0.4sin,)i,40sin,j,30sin,k
力F对x、y、z轴之矩为:
(M),,F100cos(,0.3,0.4sin),,,503(0.3,0.2),,43.3N,mx
2 M()F,,40sin,,,10N,my
2 M()F,,30sin,,,7.5N,mz习题2-3图
2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形,已知OA=OB=a,在平面ABED内沿对角线AE有一个力F, 图中θ =30?,试求此力对各坐标轴之矩。
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解:
M(F),r,F,ai,F(,cos,cos45:i,cos,sin45:j,sin,k)OA
,aF(,sin,j,cos,sin45:k)
力F对x、y、z轴之矩为:
M(F),0x
aF F,,,:,,M()aFsin30y2
6习题2,4图 MaFFa(F),cos30:sin45:,z4
2,5 如图所示,试求力F对A点之矩及对x、y、z轴之矩。
解:M(F),r,F AAB
rijkAB
,-ddd43FF055
1 = Fd(,3i,4j,7k)5 F习题2,5图 M(F),dj,(4i,3j)(a) O5
4力F对x、y、z轴之矩为:;; M(F),0M(F),0MFd(F),,xyz5
2—6 在图示工件上同时钻四个孔,每孔所受的切削力偶矩均为8N?m,每孔的轴线垂直于相应的平
面。求这四个力偶的合力偶。
M,M,M,M,M 解: M3 1234
43 ,,(M,M)i,Mj,(M,M)kM4 14234553 4 ,,14.4i,8j,12.8kN,m
M2
M1
习题2,6图 (a)
2,7 已知一平面力系对A(3,0),B(0,4)和C(–4.5,2)三点的主矩分别为:M = 20kN?m,M = AB
0,M =–10kN?m。试求该力系合力的大小、方向和作用线。 C
解:由已知M = 0知合力F过B点; 由M = 20kN?m,M = -10kN?m知F位于BRACR
A、C间,且
AG,2CD (图a)
在图(a)中,设 OF = d,则
d,4cot,
(d,3sin,),AG,2CD (1)
dCD,CEsin,,(4.5,)sin, (2) 2
d(d,3)sin,,2(4.5,)sin,即 习题2,7图 2
d,3,9,dd,3 ,
F点的坐标为(-3, 0)
合力方向如图(a),作用线如图过B、F点;
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4 , tan,y3EG44AG,6sin,,6,,4.8 5C M,F,AG,F,4.8,ARRD22025F,,kN R,3d4.86,4.5AOxF510F,(,)kN 即 R23FR 4y,x,4 作用线方程: 3(a)
讨论:本题由于已知数值的特殊性,实际G点与E点重合。
,F 2,8 已知F = 150N,F = 200N,F = 300N,F == 200N。求力系向点O的简化结果,并求力123
系合力的大小及其与原点O的距d。
Fy80,F1yy3F2MFo3dxxxooo110011F,FR2.7R21F2001 习题2,8图
12解: ,F,,Fcos45:,F,F,,437.6 Nx123105
31 ,F,,Fsin45:,F,F,,161.6 Ny123105
1 ,M(F),Fsin45:,0.1,F,0.2,0.08F,21.44 N,mO135
向O点简化的结果如图(b);合力如图(c),图中
'22F,(,F),(,F),466.5 NM,21.44 N,m , xyOR
M'OF,F,466.5 N合力, d,,45.96 mmRRFR
2 2,9 图示平面任意力系中F = 40N,F = 80N,F = 40N,F = 110M,M = 2000 N?mm。各力1234作用位置如图所示,图中
的单位为mm。求(1)力系向O点简化的结果;(2)力系的合力的大小、方
向及合力作用线方程。
yyy
F1F(0,30)245:MM(20,20)o,Fxxx(-50,0)Rooo
FR(0,-6)F3(20,-30)F4
习题2,9图
F,,F,Fcos45:,F,F,,150 N解: Rxx124
F,,F,Fsin45:,F,0 Ryy13
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'22F,(,F),(,F),150 N xyR
M,,M(F),30F,50F,30F,M,,900 N,mm OO234
向O点简化结果如图(b);合力如图(c),其大小与方向为
'F,F,,150i N RR
设合力作用线上一点坐标为(),则 x,y
M(F),M,xF,yF ORORyRx
''FMFy,,6 mm将、和值代入此式,即得合力作用线方程为: RyRxO
2,10 图示等边三角形板ABC,边长a,今沿其边缘作用大小均为F的力,方向如图(a)所示,求P三力的合成结果。若三力的方向改变成如图(b)所示,其合成结果如何,
FP FFFC,AR d PP FM PA,FFFFRAPF BFA PP P P
习题2,10图 'F,,F,0解(a) iR
33 ,,,(逆) MFaFaAPP22
3合成结果为一合力偶(逆) ,MFaP2'F,,2Fi (b)向A点简化(?) RP
3M,Fa (逆) AP2
M3AA'再向点简化, d,,a'4FR
F,,2Fi 合力(?) RAP
2,11 图示力系F = 25kN,F = 35kN,F = 20kN,力偶矩m = 50kN?m。各力作用点坐标如图。试123
计算(1)力系向O点简化的结果;(2)力系的合力。
解(1)向O点简化
'F,,F,10k kN iR
M,,M(F) OO
i j ki j ki j k
,50j,3 -2 0,2 2 0,-3 2 0 习题2,11图 z0 0 250 0 -350 0 20
,F,(,80i,105j) kN,mR
M0F,10k kN(2)合力 RFR(x,y,0)设合力作用线过点,则 yoMa(a,0,0)A
x
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i j k
x y 0,M,,80i,105jO
0 0 10
y,,8.0 ,, x,,10.5z,0合力作用线过点(-10.5,-8.0,0)。
2,12 图示载荷F=1002N, F=2002N,分别作用在正方形的顶点A和B处。试将此力系向OPQ点简化,并求其简化的最后结果。
F,100(,i,k) N解: P
F,200(,i,j,k) N Q
i j ki j k
M(F),1 0 0,1 1 0O ,100 0 100,200 -200 200
,(200i,300j) N,m 习题2,12图 'F,,F,(,300i,200j,300k) N iR
M,r,F,F,FOAPBQ
'F,F,(,300i,200j,300k) N合力 RR
x,y,0设合力过点(),则
i j k
x y 0,M,200i,300jO
,300 -200 300
2y,得 x,1,,z,0 3
21,,0即合力作用线过点()。 3
2,13 图示三力F、 F和 F的大小均等于F,作用在正方体的棱边上,边长为a。求力系简化的123最后结果。
解:先向O点简化,得
'M,Faj,FakF,Fk , OR
'F,M,0因,故最后简化结果为一力螺旋。 OR
'F,FkM,Fak该力螺旋, R
,O(x,y,0)设力螺旋中心轴过,则 习题2,13图 r,F,M,Faj ,OR1
i j k
即 x y 0,Faj
0 0 F
y,0z,0x,,a得 ,,
,a,0,0即合成最后结果的力螺旋中心轴上一点坐标为()。
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=F=F=F= F,问力系向点A和B简化的结果是什麽,二者是否2,14 某平面力系如图所示,且F1234
等效,
解:(1)先向A点简化,得
,F,2F(i,j)M,2Fa ; RA
(2)再向B点简化,得
,F,2F(i,j)M,0 ; RB
二者等效,若将点B处的主矢向点A平移,其结果与(1)通。 习题2,14图
2,15 某平面力系向两点简化的主矩皆为零,此力系简化的最终结果可能是一个力吗,可能是一个力偶吗,可能平衡吗,
解:可能是一个力,也可能平衡,但不可能是一个力偶。
因为(1),平面力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩,而由已知是:向两点简化
,,F,M,0F,M,0的主矩皆为零,即简化结果可能为(),()(主矢与简化中心无RARB',F,0F,F关),若,此时已是简化的最后结果:一合力经过A点,又过B点。 RRR
,F,0(2)若该主矢,则此力系平衡,这显然也是可能的;最后结果不可能是一力R
偶,因为此时主矩不可能为零,与(1)矛盾。
2,16 平面汇交力系向汇交点以外一点简化,其结果可能是一个力吗,可能是一个力和一个力偶吗,
解:平面汇交力系向汇交点(设为A点)简化的结果要么是一个力,要么是平衡,若不平衡,则为过汇交点A的一个合力,这个力再向汇交点外某点(设为B点)简化,如果过汇交点A的合力方向与AB连线重合,同该汇交力系向汇交点A以外的B点简化,则可能是一个力;如果过汇交点A的合力方向与AB连线不重合,则该汇交力系向汇交点以外的B点简化(由力平衡定理知)结果可能是一个力和一个力偶。
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