第五讲 平面图形的相关计算

第五讲    平面图形的相关计算（一） 内容提要 我们曾经学过三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。它们的面积都有相应的公式直接计算。如下： 名称 图形 面积公式 长方形 S＝ab 正方形 S＝a2 三角形 S＝ ah 平行四边形 S＝ah 梯形 S＝ （a＋b）h 圆 S＝πr2 扇形 S＝ πr2       实际问中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积无法应用公式直接计算。那么，这些图形的面积怎样去计算呢？我们可以针对这些图形综合运用各种方法处理具有相当难度的平面图形问题。掌握平面图形变换的初步技巧，例如平移、翻转、旋转等，必要时可利用辅助线进行，也可采用割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 例题精讲 例1、如图四边形ABCD是一个长方形，AB=8厘米，BC=15厘米，四边形EHGF的面积是9平方厘米，求阴影部分的面积。 思路点拨：梯形蝴蝶定理的实际应用。由图可知，梯形中S2＝S4，同理可得梯形ABFD中S△ABE＝S△DEF，所以S阴＝S△AHD＋S△DGC＋S△ABE＝S△AHD＋S△DGC＋S△DEF＝S△ADC＋S四边形EFGH。 同步练习 如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。 例2、如图，BCEF是平行四边形，△ABC是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米，阴影部分面积比△ADH的面积大12平方厘米。求HC的长。 思路点拨：两个数的差是定值，两个数同时加上相同的数，差还是原来的定值。如图中S阴比S△ADH大12平方厘米。则S四边形BCEF比S△ABC大12平方厘米，由△ABC的底和高可得S△ABC，进而可算出S四边形BCEF，由BC的长，即可求出HC的长。 同步练习 如图，ABCD是一个长方形，△ADE比△CEF的面积小10平方厘米，问CF的长多少厘米？ 例3、如图所示，△ABC的面积是25平方厘米，CF＝FD，AD＝2DB，求阴影部分面积之和。 思路点拨：三角形面积中的比例关系，如果高相等，面积之比等于底边之比；如果底边相等，面积之比等于高之比。连接DE，可知S△CFE＝S△EFD，且S△EAD∶S△EDB＝2∶1，则S△CAE∶S△EAD∶S△EDB＝2∶2∶1，所以S阴＝ S△ABC。 同步练习 如图所示，AE=ED,BC=3BD,S =30平方厘米，求阴影部分的面积。 例4、两块等腰直角三角形形状的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重叠。求重叠部分（阴影部分）的面积。 思路点拨：重叠部分的面积，可以用整体减空白的思想求阴影部分的面积。由题意可知AB＝10cm，AF＝6cm，则BF＝4cm，所以S阴＝S△ABC－S△BEF－S△ACG。 同步练习 如图1，有一三角形纸片沿虚线折叠，如图2，它的面积与原三角形面积之比为2∶3，已阴影部分的面积为5平方厘米，求原三角形的面积。 例5、一块长方形钢板，长截下4分米，宽截下1分米后，成了一块正方形钢板，如图所示，面积比原来减少了49平方分米。原来长方形钢板的面积是多少平方分米？ 思路点拨：特殊方法解决面积问题。先根据所给条件找到一个长方形，即长为4分米，宽为1分米的长方形，这样一来，就把剪掉的部分分成了三个长方形，剩余两个长方形有一条边是相等的，就可根据减少的面积计算出正方形的边长。进而求出正方形的面积。 法二：用方程试一试。 同步练习 如图，两个一样的直角梯形叠在一起，按图上标出的数，计算出阴影部分的面积。 自我检测 1、如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，四边形EFHG的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是多少平方厘米？ 2、如图所示，并排放着两个正方形，大正方形的边长是5，小正方形的边长是3，求△BEF的面积？ 3、如图，正方形ABCD的边长是6厘米，△AFD是正方形的一部分，△FCE的面积比△AFD大6平方厘米，求CE长是多少厘米？ 4、图中甲比乙的面积多3cm2，求m的长。 3、 如图所示，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（图中单位：厘米） 6、如右图，已知：S△ABC=1，AE＝ED，BD＝ BC，求阴影部分的面积。 7、如图，已知△ABC的面积为1，延长AB至D，使BD＝2AB，延长BC至E，使CE＝2BC，延长CA至F，使AF＝2AC，求△DEF的面积。 8、如图所示，已知边长为8的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，求△BDP的面积。 9、一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，如图所示，问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？ 10、如图，已知直角三角形ABC中，AC＝6厘米，BC＝8厘米，AB＝10厘米，将AC对折到斜边AB上去，与斜边AB重合于AE，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 11、如图，已知△ABC的面积为1，BE＝2AB，BC＝CD，求△BDE的面积。 12、如图，BC＝CE，AD＝CD，已知△ABC的面积是1，求△CDE的面积。 13、如图，BE= BC,CA= CF, △ABC的面积是10平方厘米，则△ECF的面积是多少？ 14、如图，直角梯形ABCD中，AE＝ED，BC＝3FC＝18厘米，AD＝8厘米，CD＝6厘米，且△EGD的面积与△CGF的面积相等，求阴影部分的面积。 15、四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米，求四边形ABCD的面积。 16、如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是△DEC的面积的 ，求正方形ABCD的面积。 第六讲    平面图形的相关计算（二） 例1、如图，四边形ABCG,CDEF都是正方形，边长AB＝8厘米，DE＝10厘米。以C为圆心画一段弧DF, 求阴影部分的面积。 思路点拨：蝴蝶定理的实际应用。连结AC、FD两条辅助线，四边形ACDF即为梯形，所以S△AOF＝S△COD，所以S阴＝ S圆。 法二：可采用“总体－空白”的方法。即S ＋ S圆－S 同步练习 如图，两个正方形边长分别是10厘米和,6厘米，求阴影部分的面积。 例2、如图所示，△ABC中，∠C是直角，AB=12cm，BC=BD=6cm，∠ABC=60°，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的点D处，求AC边扫过的图形（阴影部分）的面积。 思路点拨：图形的旋转，旋转过后阴影部分面积的计算方法。可以用割补法，将△BDE剪下，补在△ABC所在的位置上，即可很容易看出解题方法。也可用整体减空白的思想来解决。 同步练习 如图，长方形ABCD绕点C顺时旋转90°，求AD边扫过部分（阴影部）的面积。（ 取3.14 单位：cm） 例3、如图正方形边长为10厘米，求阴影部分的面积。 思路点拨：重叠法求阴影部分的面积。半圆的面积和扇形CDE的面积有重叠的部分，所以在计算的时候就可以用半圆的面积与扇形的面积和，减去重叠的部分，再减去两个空白部分，也就是减去整个△ACD的面积。也可用整体减空白的思想来转化解决。 同步练习 长方形的长为10厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积。 例4、求下图阴影部分的面积。（单位：cm） 思路点拨：整体减空白的方法求阴影部分的面积。整体图形是两个半圆和一个直角三角形组成，再减去一个空白的半圆就可求出阴影部分的面积。 同步练习 如下图，AD＝12cm，AB＝BC＝CD＝4cm，求阴影部分的面积。 例5、如图，两个 圆弧的半径分别为2厘米和4厘米，求两个阴影部分A与B的面积差。 思路点拨：可以用大扇形的面积减去小扇形的面积，再减去正方形面积的一半（长方形的面积）。 同步练习 The length of the square’s(正方形) side is 2cm,what is the difference of the area(面积) of these two shadows’(阴影)？ 自我检测 1、求阴影部分的面积。（单位：厘米） 2、求阴影部分的面积。（单位：厘米） 3、如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，已知AB＝BC＝10，那么阴影部分的面积是多少？ 4、如图，由正方形和半圆组成的图形。其中P点为半圆周的中点，Q为正方形一边的中点。那么阴影部分的面积是多少？ 5、求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 继续阅读