第十章习题课-武汉大学数学物理方法

WuhanUniversity武汉大学物理科学与技术学院MethodsinMathematicalPhysics第十章格林函数法MethodofGreen’sFunctionWuhanUniversity一、函数及其在物理上的应用δ二、用电像法求格林函数三、用格林函数法求泊松方程的狄氏问题第十章习题课WuhanUniversity一、函数及其在物理上的应用δ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−⎩⎨⎧=∞≠=−∫∞∞−1)(0)(.10000dxxxxxxxxxδδ)()()(.200xfdxxxxf=−∫∞∞−δ)()1()()(.30)(0)(xfdxxxxfnnn−=−∫∞∞−δ∑==′−=niiiixxxxx10)(,)()()]([.4ϕϕδϕδ其中第十章习题课WuhanUniversity一、函数及其在物理上的应用δxdxHdxxxxH)()(0,10,0)(.1=⎩⎨⎧><=δ证明：数，则在无穷区域等于零的函为任意一无穷次可微且设)(xϕ∫∫∞∞−∞∞−∞∞−′−=dxxxHxHxdxxdxdH)()()()()(ϕϕϕ∫∞=′−=0)0()(ϕϕdxx∫∞∞−=)0()()(ϕϕδdxxxxdxHdx)()(=δ第十章习题课WuhanUniversity一、函数及其在物理上的应用δ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+−=−xxxaxaxaax)()()]()([21)(2222δδδδδ、证：∑=′−=nkkkxxxx1)()()]([)1(ϕδϕδQnkxk,,2,1,0)(L==ϕ其中22)(axx−=ϕ令,2)(xx=′ϕ则axaxax−===−2122,0有且由∑=−==−21222)()]([)(kkkxxxxaxδϕδδ故有)(22ax−δ)]()([21axaxa++−=δδ第十章习题课WuhanUniversity[][])()(21)()(21)()2(afafadxaxaxaxf−+=++−∫∞∞−δδQ[]dxaxaxxxf∫∞∞−++−)()(21)(δδaafaaf−⋅−+=21)(21)([])()(21afafa−+=[][])()(21)()(21)(22axaxxaxaxaax++−=++−=−∴δδδδδ0=a在上式中取xxx)()(2δδ=一、函数及其在物理上的应用δ第十章习题课WuhanUniversity一、函数及其在物理上的应用δ[]?][sin?,][cos)(?,)(.3===axFaxFxxF的积分式？δδ∫∫∞∞−∞∞−−−→−===)(2][)(ωπδωωadxedxeeeFxaixiiaxiax→−=+)(2][sin][cosωπδaxiFxF0][sin),(2][cos=−=xFaxFωπδ∫∞∞−−−+=dxeeeaxFxiiaxiaxω2][cos∫∫∞∞−+−∞∞−−+=][21)()(dxedxexaixaiωω∫∫∞∞−∞∞−+−−+=−=→),(2),(2)()(ωπδωπδωωadxeadxexaixai)]()([][cosωδωδπ++−=∴aaaxF)]()([][sinωδωδπ−−+=aaiaxF思考：[]1)(=xFδωπδωdexxi∫∞∞−=∴21)()(2xdexiπδωω=→∫∞∞−是否正确？第十章习题课WuhanUniversityM0Mσ0εrgrMMG+=π41),(0⎪⎩⎪⎨⎧−=∈=Δσσπτ|41|,0rgMg二、用电像法求狄氏格林函数→G求点电位求M求感应电荷产生的电位→⎪⎩⎪⎨⎧−=∈=Δ+=llrgMggrG|1ln21|,01ln21πσπ用电像法求：在像点放一虚构的点电荷，来等效的代替边界面上的感应电荷所产生的电位。第十章习题课WuhanUniversity二、用电像法求格林函数G求上半球域的.1⎪⎩⎪⎨⎧−=∈=Δ+=σσπτπ|41|,041rgMggrG),,(:)1(0000ϕθρM设确定象点),,,(),,,(),,,(00023000200021ϕθρϕθρϕθρ−−aMMaM则00MM2M1M0εr1r3M•第十章习题课WuhanUniversity§5.3格林函数的求法二、用电像法求格林函数00MM2M1M0εr1r3M110rraa==ρρ:)2(iqg及确定则q点放置在Mii−∑∑===∈=Δ31031041,0))41((iiiiiirqgMrqπετπεσσππε|41|410rrqii−=而由aaarraqrq===−==ρρρπρπεπε|41|4|41:001110有001ρεaq−=∴):(|41|412220rrrrq=−=σππεσσQ00302,ρεεaqq=−=∴显然⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=)1()1(4130210rarrarGρρπ第十章习题课WuhanUniversity二、用电像法求格林函数2、求四分之一平面的狄氏格林函数：:ig，则有点置有电荷设0000),(εyxM),(),,(),,(:003002001yxMyxMyxM−−−−象点000:εεε−−电象3211ln21,1ln21,1ln21rrrπππ−−3211ln211ln211ln211ln21rrrrGππππ+−−=故321ln21rrrrGπ=3M2Mx3r←n1M1ry2r0ε()000,yxMrM⎪⎩⎪⎨⎧−=∈=Δ+=llrgMggrG|1ln21|,01ln21πσπ第十章习题课WuhanUniversity三、求泊松方程的狄氏问题1、求上半空间的狄氏问题⎩⎨⎧=>=Δ=),(0,00yxfuzuz∫∫∂∂−=→σ0000)()(dydxnGMfMu⎩⎨⎧=−−=Δ=0|)(00zGMMGδ00|41|==−=zzrgπ{grG+=π410,0>=Δzg0,0)4(,),,(M)1(101>=−Δ−−zrqqzyx　　则放在πε000010|4|4==−=−zzrrqπεεπε使104rqgπε−=则0ε−=−q14141rrGππ−=∴•M0ε第十章习题课WuhanUniversity三、求泊松方程的狄氏问题]11[41)()2(1rzrzzGnG∂∂−∂∂−=−∂∂=∂∂π2320202000])()[(21zyyxxznGz+−+−−=∂∂=π232020200])()()[()(41)(zzyyxxzzzGnG−+−+−−=−∂∂=∂∂π232020200])()()[()(41zzyyxxzz++−+−+−π00232202000])()[(1),(2)(dydxzyyxxyxfzMu+−+−=∫∫∞∞−π有无差别？有无差别？下半空间狄氏问题？问nGG∂∂:第十章习题课WuhanUniversity三、求泊松方程的狄氏问题2、求上半平面的狄氏问题：⎪⎩⎪⎨⎧=>=Δ=)(0,00xfuyuy∫∞∞−∂∂−=000)(),(dxnGxfyxurrrrG11ln211ln211ln21πππ=−=202012020)()(,)()(yyxxryyxxr++−=−+−=•0ε0MM第十章习题课WuhanUniversity三、求泊松方程的狄氏问题rrG1ln21π={[][]}20202020)()(ln)()(ln41yyxxyyxx−+−−++−=π020200202000])()()(2)()()(2[41|==−+−−−++−+=∂∂∴yyyyxxyyyyxxyyyGπ02200)()(),(dxyxxxfyyxu∫∞∞−+−=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=20200)(1yxxyπyGyGnG∂∂−=−∂∂=∂∂)(∫∞∞−∂∂−=000)(),(dxnGxfyxu第十章习题课WuhanUniversity三、求泊松方程的狄氏问题3、用格林函数法重新求解I⎩⎨⎧=<=Δ=ϕρρcos|,02Auaua有由圆域的狄氏积分公式解:020022220)cos(2)(cos21),(ϕϕϕρρρϕπϕρπdaaaAu∫−−+−=aaaρε=并记分母分子将,220202002)cos(21cos2)1(),(:ϕεϕϕεϕπεϕρπdAu∫+−−−=于是有第十章习题课WuhanUniversity三、求泊松方程的狄氏问题)(zfzzzzezi21)1(21cos,200+=+==ϕϕ则令[])()(00021)cos(ϕϕϕϕϕϕ−−−+=−iiee[]0021ϕϕϕϕiiiieeee−−+=,121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=−zezeiiϕϕizdzd=0ϕ∫∫=−++−+−=+−−=∴1222020200])1([121)cos(21cosziidzezzezzidIϕϕπεεεϕεϕϕεϕ第十章习题课WuhanUniversity⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>=⎪⎩⎪⎨⎧−+±+=−1011024)1()1(222ϕϕϕεεεεεεiiieeez奇点)()0()(21ϕεikkeresfresfzresf+=∴∑=)1(11222−++=−εεεεϕϕϕiiieeeϕεεcos122−=ϕεπεϕεεπcos12cos1222122−=−⋅⋅−=∴iiI[]ϕρρππρϕρcos)(122)(1),(22aaAau−−=ϕρcosaA=三、求泊松方程的狄氏问题第十章习题课WuhanUniversity三、求泊松方程的狄氏问题2、求四分之一平面的狄氏问题：3M2Mx3r←n1M1ry2r0ε()000,yxMrM⎪⎩⎪⎨⎧=∞<≤=∞<≤∞<≤=+0)0,()0()(),0(0,0,0xuyyfyuyxuuyyxx∫∂∂−=ldlnGMfyxu000)(),(∫∫∞∞−∂∂−−∂∂⋅−=0000000)()()(0dyxGyfdxyG∫∞∂∂=0000)(),(dyxGyfyxu321ln21rrrrGπ=第十章习题课WuhanUniversity三、求泊松方程的狄氏问题321ln21rrrrGπ=[]{[][][]}2020202020202020)()()()(ln)()()()(ln41yyxxyyxxyyxxyyxx+++−−+−−++−+−++=π20200202000)()()(2)()()(2[41|yyxxxxyyxxxxxGx++−−+−+++=∂∂∴=π02020020200])()()(2)()()(2=++++−−+−−−xyyxxxxyyxxxx000202202)(])(1)(1[),(dyyfyyxyyxxyxu∫∞++−−+=π⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−−+=202020200)(1)(1yyxyyxxπ第十章习题课WuhanUniversity10.3-10.4格林函数Good-by!