椭圆离心率求法[整理版]

椭圆离心率求法[整理版] 离心率的五种求法 0,e,1e,1e,1椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率( ace一、直接求出、，求解 c已知圆锥曲线的方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。 e,aca 2x22a,0例:已知双曲线()的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心y,,6x1,y,12a 率为( ) 36233A. B. C. D. 2322 22313ac,22x,解:抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，y,,6xx,,,2c,3c,2,022cc c23c,2解得，，，故选D e,,a,3a3 ，，，，F1,0F3,0变式练习:若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为( ) 112 3211A. B. C. D. 4324 ，，，，F1,0F3,02c,3,1c,1a,c,1a，c,3a,2解:由、知 ，?，又?椭圆过原点，?，，?，12 c1e,,c,1，所以离心率.故选C. a2 变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) 6332A. B. C. D 222 c3a,22c,6c,3e,,解:由题设，，则，，因此选C a2 22xya,b,0P变式练习:点P(-3，1)在椭圆()的左准线上，过点且方向为的，,13，，a,2,,522ab y,,2光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为( ) 1123A B C D 3322 5，，y,1,,x，3解:由题意知，入射光线为，关于的反射光线(对称关系)为，y,,25x,2y，5,02 2,ac3,3,c,1a,3e,,则解得，，则，故选A c,a3,c,5，5,0, ace二、构造、的齐次式，解出 acaceb根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系(特别是齐二次式)，进而得到关于的 e一元方程，从而解得离心率。 22xya,0,b,0FFFFMFF例:已知、是双曲线()的两焦点，以线段为边作正三角形，2,,121212122ab MF若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) 1 3，1A. B. C. D. 3,13，14，232 c,MF解:如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式PP12 PF,,ex,a， 1p 2cc,,cc,,,,c,,，,,a即,,，得，解得,2,2,0,,,,a2,,aa,,,, ce,,1，3(舍去)，故选D 1,3a 22xy0,a,b变式练习1:设双曲线()的半焦距为，直线L过，两点.已知原点到,,1，，，，ca,00,b22ab 3直线的距离为，则双曲线的离心率为( ) c4 2332 B. C. D. A. 23 ab3L,c解:由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，bx，ay,ab,0224a，b 22224222244ab,3cc,a，b3e,16e，16,0又, ?,两边平方，得，整理得，，，16ac,a,3c 2222ca，bb422220,a,be,2e,e,,,1，,2e,4e,4得或，又 ，?，?，?，故选A2223aaa 0M变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为F、F，，则双曲线的离心率，FMF,1202112 为( ) 6633A B C D 233 ，，，，，，M0,bF,c,0Fc,0解:如图所示，不妨设，，，则 12 22 MF,MF,c，bFF,2c，又， 1212 222MF，MF,FF1212cos，FMF,在中， 由余弦定理，得, ,FMF12122MF,MF12 22222221c，b，c，b,4cb,c1，，，，即，?， ,,,,22222b，c2，，2c，b 216,a3222222?，?，?，?，?，故选Be,b,c,a,,3a,2ce,222222c,a 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例3:设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角PFFF,FPF22121 三角形，则椭圆的离心率是________。 c2c2c2c1e,,,,,,2,1解:a2aPF，PF22c，2c2，112 四、根据圆锥曲线的统一定义求解 22xy例4:设椭圆,,1()的右焦点为，右准线为，若过FlFa,0,b,011122ab 且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .xFl11 ABDAD解:如图所示，是过且垂直于轴的弦，?于，?为到准线的距离，根据椭FxAD,lFl1111 1ABAF112e,,,圆的第二定义， 2ADAD 1变式练习:在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的2离心率为( ) 122A B C D 2224 AF2222e,,,解: AD12 ee五、构建关于的不等式，求的取值范围 ,,,22,0,,,,例:设，则二次曲线的离心率的取值范围为( )xcot,,ytan,,154,, ,,,,1221,,,,,,2，，2,，,A. B. C. D. ,,,,2222,,,, ,,,2222另:由，，得，,a,tan,b,cot,xcot,,ytan,,1,0,,,,4,, 2,,ctan，cot22222?,?c,a，b,tan,，cot,e,,,1，cot,2tana, ,,,22?，?,?，?，故选D cot,,1e,2e,2,0,,,,4,, ABCD,C例6:如图，已知梯形中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过、D、AB,2CDAC 23E三点，且以A、B为焦点(当,,,时，求双曲线离心率的取值范围。e34 ABAB解:以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系yx CDAB，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线xoyCD,y c,,CD的对称性知、关于轴对称(依题意，记，，，y，，Ex,y，，A,c,0C,h,,00 2,,1hc,AB其中为双曲线的半焦距，是梯形的高( 2 c,c,，,22,,，，c,2xyh2x,,,y,,1由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离0022，，1，,1，,21，,ab 22chcCCe,E,,1心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得?22a4ab 2222,,ch,2,,,,E将点的坐标代入双曲线方程得? ,,1,,,,22,,ab1，1，4,,,, 2222ehhece,,,1,,1再将?、?得，?? 22a44bb 2222,,eh,2,,,,? ,,1,,,,2,,b41，1，,,,, 2e323,,1,,，，4,4,1，2,,,,将?式代入?式，整理得，?，由题设得:234e，24 2331，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为7,e,10,,,,,7,102342e， 配套练习 22xy231. 设双曲线,,1()的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，a,0,b,0y,4x22ab 则此双曲线的方程为( ) 22222222xyxyx2yxy,,1,,1,,1,,1A. B. C. D. 122448963633 2(已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( ) 1133A( B( C( D( 3232 22xy4y,x,,13(已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )223ab 5453A B C D 3342 24(在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 2212A B C D 224 125(在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心2率为( ) 22222A B C D 2 22xyO6(如图，和分别是双曲线()的两个焦点，和是以为圆心，以 AB,,1OFFFa,0,b,012122ab 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为( ),FAB2 5A B C D 353，12 22xya,b,07. 设、分别是椭圆()的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为(为P3c，,1FFc2122ab 半焦距)的点，且，则椭圆的离心率是( ) FF,FP122 23,15,11A B C D 2222 22xy0A,,18(设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且FF，FAF,90211222ab AF,3AF，则双曲线离心率为( ) 12 105155A B C D 222 22xy0FF,,1609(已知双曲线()的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的a,0,b,022ab 右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ,, B ，， C ,， D ，， 1,21,22,，,2,，, 22xya,b,0NM，,110(椭圆()的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若FFx2122ab MN,2FF，则该椭圆离心率的取值范围是( ) 12 ，,,，1122,，，,,,A( B(0, C( D(,1 0,,1,,,,,,,,2222,，，,,，，, 2caabc,,,3,6,3.,1答案:1.由可得故选D ,3,ca c3ab,22.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，? ，椭圆的离心率，选D。e,,a2 22bc4345，3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A ,,,,,可得eaa333 2222xy2ba2，,14.不妨设椭圆方程为(a,b,0)，则有,,,21且c，据此求出e,22ab2ac 2222xy21ba,,12,,,2且c5.不妨设双曲线方程为(a,0，b,0)，则有，据此解得e,，选C22abac2 22xrOAB,,1(a,0,b,0)6.解析:如图，F和F分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以2122ab OFFAB为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且?是等边三角形，连接AF，?AFF=30?，|AF|=c，121112 31，3|AF|=c，? ，双曲线的离心率为，选D。 2(31)ac,,2 22a2ac22222c,(,c)，(3c)20,3ca,c,,e,,7.由已知P()，所以化简得c2ca( 22xy8.设F，F分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使?FAF=90º，且|AF|=3|AF|，,,112121222ab 222||||10cAFAF,，,设|AF|=1，|AF|=3，双曲线中，，? 离心率2||||2aAFAF,,,211212 10，选B。 e,2 22xyo9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只,,,,1(0,0)ab6022ab bb有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，? ?3，离心率aa222cab，2e=，? e?2，选C ,?422aa 222xyaMN，10.椭圆，,,,1(0)ab的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若||2MN,，FFx1222cab 2a2，MNFF?,，则,2c，该椭圆离心率e?，选D ||2FFc,1212c2 ce,椭圆离心率的求法 a 22xylCl，，FFC:，,1a,b,01.椭圆方程的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾A,B22ab 斜角为60?，,求椭圆的离心率,(焦半径公式，的应用左加右减，PF,a，exPF,a,exAF,2FB1122 2d,1，kx,x,k为直线的斜率弦长公式) 12 22xy，，FAPC:，,1a,b,02.椭圆方程的右焦点为,其右准线与x轴的交点为,在椭圆上存在点满足22ab 2bAPF线段的垂直平分线过点,则椭圆的离心率的范围,(焦准距的应用) c a,c3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是,(关于的二元二次 22ma，nac，pc,0方程解法) CCCFBBFD4.已知是椭圆的一个焦点，是短轴上的一个端点，线段的延长线交于,且BF,2FD,则 的离心率为,(相似三角形性质:对应边成比例 的应用) 22xyBF,xFABABC:，,1，，a,b,0y5.过椭圆的左焦点,右顶点为,点在椭圆上，且轴，直线交22ab 轴于点，若，则椭圆的离心率为,(相似三角形性质的应用) PAP,2PB 22xy6.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点，若P，，C:，,1a,b,0xFF1222ab ,2，则椭圆的离心率为,(椭圆焦三角形面积)S,btan(,,，FPF)，FPF,60:12122 2227.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率,(椭圆基本性质的应用)a,b，c 222228.椭圆的离心率为?(椭圆基本性质的应用) a,b，cx，4y,1 22xy9.椭圆，，的焦点为，两条准线与轴的交点为，若，C:，,1a,b,0MN,2FFxF,FM,N121222ab 222则该椭圆的离心率的取值范围是,(椭圆基本性质的应用) a,b，c 22xyP，，10.设分别是椭圆C:，,1a,b,0的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的F,FPF12122ab 2b中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是,(焦准距;垂直平分线性质:垂直平分线上的点到线F2c 段两端距离相等;三角形性质:两边之和大于第三边 应用) 211.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为, 222ba(通径，焦准距) ac 22xy，，C:，,1a,b,012.已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点P使F,F1222ab acabc,,,2R,，则该椭圆的离心率的取值范围是,(正弦定理，第sinAsinBsinCsinPFFsinPFF1221 PF，PF,2a一定义) 12 FA,A,B,BABBF13.在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于1212121 OTOTTM点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为, (直线方程交点坐标) 7,ABCCAB,BC,cosB,,14.在A,B中，.若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率为,(余18 222a,b，c,2bccosA弦定理，第一定义) 22bABCD15.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为,(通径)A,BC,Da 2,,a,,2cO16.已知椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆。若过点P作圆的两条切线相互垂,0MMa,,c,,直，则该椭圆的离心率为,(基本性质) 17.已知分别是椭圆的左、右焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取MF,FMF,MF,01212 值范围是,(圆周角:圆直径所对的圆周角等于90?) 360:18.过椭圆左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为?(焦FFA,FBA,B2 21，kx,x半径公式，弦长公式) 12 19.已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为, 20.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为, A21.已知椭圆的短轴的上下端点分别为，左右焦点分别为，长轴右端点为，若B,BF,F1212 ，则椭圆的离心率为?(向量坐标加减) FA，FB，FB,02222 22xy，，FC:，,1a,b,022.若以椭圆的右焦点为圆心，为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两a22ab 2a点，则该椭圆的离心率的取值范围是,(焦准距) c 22xyCB，，C:，,1a,b,023.已知点，为椭圆的左准线与轴的交点，若线段的中点在椭圆，，xA0,b22ab 上，则该椭圆的离心率为, 22xy2l，，C:，,1a,b,024.若斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的222ab 22b射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为,(通径) a CCFAB,BF,025.已知A,B两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而是椭圆的右焦点，若，则椭圆的 k,k,,1离心率为,(两直线垂直，有) 12