函数的幂级数展开
函 数 的 幂 级 数 展 开
复 旦 大 学 陈纪修 金路
1( 教学
函数的幂级数(Taylor级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一,也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法,比较它们的优缺点,使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上,掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数,提高学生的计算与运算能力。
2(指导思想
(1)函数的幂级数(Taylor级数)展开作为一个强有力的数学工具,在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论,而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法,这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论,但在实际计算中,即使对于一个很简单的函数,在求它的幂级数展开时也会感到很困难,这种状况必须加以改变。
(2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题,虽然我们有函数的幂级数展开公式(见下面的(*)式),但一般来说,直接利用(*)式来求函数的幂级数展开往往很不方便,因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法,提高学生的实际计算能力,这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。
3. 教学安排
首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容:设函数f (x)在 x 的某个邻域0O(x, r)中能展开幂级数,则它的幂级数展开就是f (x) 在x 的Taylor级数: 00n(),f(x)n0(*) f(x),(x,x),x,O(x,r).,00n!n0,
另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式:
n,xx (1) f (x) = e= ,n!,0n
23nxxx1x,,,,,?? + „, x ?(-?, +?)。 2!3!n!
n,(,1)2n1,(2) f (x) = sin x = x,(2,1)!nn0,
352n,1xxxn,x,,,??,(,1) + „, x?(-?, + ?)。 3!5!(2n,1)!
1
n,(1),2n(3) f (x) = cos x = x,(2)!nn0,
242nxxxn,1,,,??,(,1) + „, x?(-?, + ?)。 2!4!(2n)!
n1,,(,1)2n1,x(4) f (x) = arctan x = ,2,1nn1,
352n,1xxxn,x,,,,(,1)?? + „, x?[-1, 1]。 352n,1
,n1,(,1)nx(5) f (x) = ln (1 + x) = ,n,n1
234nxxxx,n1x,,,,,??,(,1) + „, x?(-1, 1]。 n234
,(6) ,α?0是任意实数。 fxx()(),,1
当是正整数m时, ,
m(m,1)m m,1m 2mxxf (x) = (1 + x)= 1 + mx + + „ + + x,x?(-?, +?) 2
即它的幂级数展开就是二项式展开,只有有限项。
当不为0和正整数时, ,
,x当,(,1,1),,,1,,,,,,,n,,x当,,, ,(,1,1],,1,,0, ,,(1x)x,,,,nn0,,,,x当,,[,1,1],,0.,
,,,,,,,(,,1)??(,,n,1),,其中 = , (n = 1,2,„) 和,,。 ,1,,,,n!n0,,,,
设函数f (x)在 x 的某个邻域O(x, r)中任意阶可导,要求它在O(x, r)中的幂级000数展开,一开始就考虑利用公式(*)往往不是明智之举。下面我们通过具体实
例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法:
1( 通过各种运算与变换,将函数化成已知幂级数展开的函数的和。
1f(x),x,0例1 求 在 的幂级数展开。 23,5x,2x
解 利用部分分式得到
,,,,1121,,,, , f(x),,,,,,x2171,2x,,,,1,,,3,,
,,,1再利用(6)式(),得到
,1111,,1,nn,,f(x),,,2x, x,(,,).,n1,,,7322,,0n,
,3例2 求 在 的幂级数展开。 f(x),sinxx,6
3131,,,,,3f(x),sinx,sinx,sin3x,sin,(x,),cos3(x,)解 ,,4446646,,
2
33,3,1,,sin(x,),cos(x,),cos3(x,), 868646利用(2)式与(3)式,即得到
nn,,33(,1)3(,1),,2n,12n,12n f(x),(x,),(2,3,1)(x,),x,(,,,,,).,,8(2n,1)!68(2n)!6n,0n,0
x,1f(x),lnx,(x,0)例3 求 关于变量的幂级数展开。 x,1
1,tx,1解 令 则。利用(5)式,即得到 t,,x,,(0,t,1)x,11,t
n,1,,(1)11,t,nn,t,t lnx,ln,ln(1,t),ln(1,t),,nn1,t,,n1n1
,,11x,12n12n1,,,2,t,2,(),x,0. ,,2n,12n,1x,1n1n1,,
2(对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。
1x,1例4 求 在 的幂级数展开。 f(x),2x,11ng(x),,,(x,1)解 由于,利用逐项求导,即可得到 ,x1,(x,1)n0,
,,n1n,f(x),,g'(x),n(x,1),(n,1)(x,1),x,(0,2). ,,nn10,,
x,0求 f (x)= arcsin x 在例 5 的幂级数展开。
1解 利用(6)式 ,可知当x(-1,1)时, (,,,),2
11,,,,,12n222,,(1,x) = = (,x) ,,,2nn01,x,,,
3(2,1)!!n12n42 = 1 + + x+ „ + x+ „, x(2)!!n28
对等式两边从0到x积分,利用幂级数的逐项可积性与
xdt = arcsin x, ,021,t
即得到
,2n1,(2n,1)!!xarcsin x = x + , x?[-1, 1]。 ,(2n)!!2n,1,n1
其中关于幂级数在区间端点x = ?1的收敛性,可用Raabe判别法得到。
特别,取x = 1,我们得到关于π的一个级数
示:
,(2n,1)!!1,, = 1 + 。 ,(2n)!!2n,12n0,
f(x)f(x)g(x)3(对形如,的函数,可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法”。 g(x)
,,nnaxbx设 f (x) 的幂级数展开为,收敛半径为R,g(x) 的幂级数展开为, 1,,nnn,0n,0
3
收敛半径为R,则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积: 2,,,nnnf (x)g(x) = (ax)(bx) = cx , ,,,nnnn,0n,0n,0
n,nabcx其中c = , 的收敛半径 min,R,R,。 R,n12,,nkn,kn,0k,0
f(x)当b? 0时,我们可以通过待定系数法求的幂级数展开:设 0 g(x)
,f(x)n = cx , ,ng(x)n,0则
,,,nnn(bx) (cx)= ax , ,,,nnnn,0n,0n,0分离x的各次幂的系数,可依次得到
a0 bc = a c = , ,0 000b0
a,bc110 bc + bc = a c = , ,0 11 01 1b0
a,bc,bc21120 bc + bc + bc = a c = , ,0 21 12 02 2b0
„„
一直继续下去,可求得所有的c 。 nx 5 例6 求esin x的幂级数展开( 到x)。
23435xxxxxx 1,,,?解 esin x = ( + „)() ,x,,,x2!3!4!3!5!
11235x,x,x = x + + „, 330
xesinx由于与的收敛半径都是,所以上述幂级数展开对一切x?(-?, + ?)R,,
都成立。
5 例7 求tan x的幂级数展开( 到x)。
解 由于tan x是奇函数,我们可以令
sinx35tan x = = cx + cx + cx + „, 1 3 5 cosx
于是
2435xxxx351,,,?,,,?(cx + cx + cx + „)() = , x1 3 5 2!4!3!5!35比较等式两端x, x与x 的系数,就可得到
12c= 1, c = , c=, 1 35 315因此
1235tan x = x +x + x + „。 3154( “代入法”
4
对于例7,我们还可采用如下的“代入法”求解:在
,12n= u = 1 + u + u + „ ,1,un,0
24xx,,?中,以u = 代入,可得到 2!4!
24241xxxx2,,?,,?= 1 + () + () + „ 2!4!2!4!cosx
524 = 1 + x + x + „, 24
1然后求sin x与的Cauchy乘积,同样得到上述关于tan x的幂级数展开。 cosx
需要向学生指出的是,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们目
的小邻域中,幂级数展开是成立前无法得到它的收敛范围,而只能知道在x =x0
,,的(事实上,tan x的幂级数展开的收敛范围是 (-, ),它的证明需要用到复22变函数的知识)。
f (x)“代入法”经常用于复合函数,例如形如e ,ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展
开问题。
4 sinxx,0例8 求 在的幂级数展开( 到x) f(x),e
n3,(1),xn,21,sin,,,,?uxxx解 以 代入 ,(21)!6,nn,0
n,sinx111sinx234f(x),e,,1,sinx,sinx,sinx,sinx,?, ,n!2624n0,
即可得到
11sinx24。 f(x),e,1,x,x,x,?,x,(,,,,,)28cosxx,0注 对于求函数在的幂级数展开问题,我们不能采用以f(x),e
n,11cosx24,f(x)ucosx1xx 代入的方法,请学生思考为什,,,,,?,n!224,n0么,并思考应该怎样正确使用“代入法”。
sinxsinx4 例9 求ln的幂级数展开( 到x),其中函数应理解为 xx
sinx,,,x,0,f (x) = ,x
,1,x,0.,
解 首先,利用sin x的幂级数展开,可以得到
24sinxxx1,,,? = 。 3!5!x
2324xxuu,,,?,,?令u = 代入ln (1 + u) = u - ,即得 3!5!23
5
2424sinxxxxx12,,,?,,,?ln = () - () + „ 3!5!3!5!x2
24xx,,,? = 。 6180
利用例9,我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式
2,sinxx(1), = , ,22n,x,n1
2x两边取对数,再分别将ln(1,)展开成幂级数, 22n,
242,,xxsinxx1ln(1)(,,?),ln = = - 。 ,,2244222n,nn,,x,n1n1,24将上式与本例中的结果相比较,它们的x系数,x系数都对应相等,于是就得到等式
2,1, = , ,26n,1n
4,1, = 。 ,490n,1n
sinx68如果我们在计算时更精细些,也就是将ln的幂级数展开计算到x,x,„,x
,,11还可以获得,,„的精确值。 ,,68nn,1,1nn
注意点
f(x)1( 如果 在邻域的幂级数展开存在,则幂级数必然是它在 x 的Taylorx00
级数(*);但反之则不然。事实上,我们举出过在 任意阶可导的函x,x0
f(x)f(x)数,它在的Taylor级数并不收敛于。但一般来说,对于有解析x0
f(x)表达式的初等函数,只要它在 任意阶可导,则它在的Taylorx,xx00
级数就是它在邻域的幂级数展开。 x0
2( 要让学生知道,遇到求函数的幂级数展开问题,不要首先想到用(*)式。
事实上,上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法,比起直接利用公式(*)
来都要方便,而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方
法。
3( 一般来说,利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开,我们往往只
能求出幂级数的初始几项,而不易求出幂级数的一般项,也不易求出幂级数
的收敛半径。但是对于许多具体问题,只要求出幂级数的初始几项就够了,
例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径,等学生学习了复变函数课程后
就很容易确定。
6