一阶线性微分方程

第四节  一阶线性微分方程 学习目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法 学习重点：一阶线性微分方程的形式,及解的形式，利用变量代换解微分方程 学习难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程 学习内容： 一、 线性方程 1、定义  方程     （1）称为一阶线性微分方程。 特点 关于未知函数 及其导数 是一次的。 若 ，称（1）为齐次的； 若 ，称（1）为非齐次的。 如：（1）             （2） 2、解法 当 时，方程（1）为可分离变量的微分方程。 当 时，为求其解首先把 换为0，即 （2） 称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解 为求（1）的解，利用常数变易法，用 代替 ，即 于是， 代入（1），得 故                    。                  （3） 3、例  求方程 （4） 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。 ， ， ， （5） 用常数变易法。把 换成 ，即令      ， 则有                      ， 代入（1）式中得 ， 两端积分，得            。 再代入（4）式即得所求方程通解 。 另解  我们可以直接应用（3）式 得到方程的通解，其中， ，  代入积分同样可得方程通解 ， 此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3）式求解。 二、 贝努力方程 1、定义  称为贝努力方程。 当 时，为一阶线性微分方程。 2、解法  两边同除 令 ，则有          而                      为一阶线性微分方程，故 。 贝努力方程的解题步骤 （1） 两端同 （2） 代换 （3） 解关于 的线性微分方程 （4） 还原 例  解方程    解  过程略，通解为 。 三、 利用变量代换解微分方程 例 解方程    解  令 ，则 ，于是 解得    ，  即  例 解方程    解  过程略，通解为 。 小结：本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努力方程的解法，利用常数变易法，和变量代换法来解微分方程。