2011-2012北邮北邮概率论与随机过程研究生-答案

2011-2012北邮北邮概率论与随机过程研究生-答案 北京邮电大学2011——2012学年第1学期 《概率论与随机过程试》期末考试试题答案 考试注意事项:学生必须将答题(包括填空题)做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一、 填空题:(每小题3分，共30分) 1(设集合，则定义在,上的包含{1}的最小,-代数是 . ,,{1,2,3} {,,{1},{2,3}},, 1PAn,？,2(设随机事件两两不相容且满足. 记(),,1,2AA,,？n12n3 , ,则概率 . PA(),AA,:nn,1 1/2 ,G3(若集为定义在代数上的测度，则当 时，为定义在,,, G代数上的概率测度. ,()1,, ,AA,A(1,2)i,4(若是,上的两个非空集合类，是上的测度，若满足:ii12 ,,A(1) ;(2) ，则称是在上的扩张。 212 AA,,,,AAAA,()()有,, 12112; ,到R,,,F,BR5((1)设为二可测空间，是从上的映射。若对f，，，， ,,,FB到R,B,B，有 ，则称f是从上的可测映射;(2)设，，，， ,,F,P,,F,PR,B为一概率空间，X是从到上的取有限值的实函，，，，，， ,,F,Px数，若对任意实数，有 ，则称X是上的随机变量。 ，， 1 ,1 ,,:()Xx,,FfB(),F,,; 6( 设为定义在概率空间上的随机变量，则数学期望用可测,,F,PXEX，， 函数的积分示形式为 ;若的分布函数为，则数学期望XFx() 的L-S积分形式为 . EX ，, xdFx(),dP,,,,; 7(设随机过程,其中随机变量独立同分布XtYtZtt()cossin,0,，,YZ, 于正态分布,则的一维概率密度函数 . N(0,1)Xt()fxt(;), 2x,12 e ,2 8(设随机过程均方可导，导过程为，相关函数{()}XtXt'() 12Rstst,,(,)(21)，则 . Rst(,),XX'6 2s 3 19(设为参数为的泊松过程,,则条件概率 Nt()N(0)0, . PNN((2)2|(1)1),,, 1/e 2, 10. 设为参数为的维纳过程,,则二维随机变量 Wt()W(0)0, WW(1),(2) 的协方差矩阵为 . ，， 22,,,, ,,222,,,, 二.(4分)设A是集代数，也是单调类，证明A是,-代数. 证明:由A是集代数，要证A是,-代数，只需证A对可列并运算封闭。 A, 若A，n=1，2，…， n 2 n 令，由A是集代数知，A。 ……2分 BA,:B,nnnk,1 ，,，,，,，, 显然，且，而A是单调类，故A，从而A。 ::BA,:B,:A,B,nnnnn,,,,nn11n1n1 ……2分 ,,三.(10分)设随机变量R和相互独立，且~U(0,2,)，R具有概率密度 2r,, r22,,er,02fr(), ,R, ,00r,, ,,令X=Rcos，Y=Rsin，求的概率密度. (,)XY 22,,，rxyxr,cos,,,解:令，则 ……2分 ,,yyr,sin,,,arctan,,x, cossin,,,r,(,)xy ……2分 Jr'0,,,,sincosr,(,)r,,, ,)的联合概率密度为 又(R， 2r,,r22,,er,,0,(0,2),,2fr(,),, ,2,, ,0其他, ……2分于是(X，Y)的联合概率密度为 2222xyxy，，,,r112222,,,,,,,,,,，,(,),,xyeexy2,,,22r ……4分 四.(10分)设X与Y均服从参数为1的指数分布，且相互独立，求条件数学期望. EXYXY[()|()]，, UXY,，uxyxuv,，,，()/2,,,解:令，则。 ,解得,,,VXY,,vxyyuv,,,,()/2,,, 0.50.5,(,)uv J,,,,0.50.50.5,,(,)xy 3 又(X，Y)的联合概率密度为 ,，()xy,exy,0,0,, fxy(,),,0其他, 于是(U，V)的联合概率密度为 1,,ueuuvuv,，,,,,0,0,0, (3分) ,uv(,),2, ,0,其他, 1,vev,0,,,2则()v, ,,V1,v,ev,0,,,2 ,，()uv,euuv,0,0,，,v,0于是当时，,(|)uv, ,UV|0,其他, ,,()uv,euuv,0,0,,,v,0,(|)uv,当时， (3分) ,UV|0,其他, ，,()uv,,v,0EUVvueduv[|]1,,,，于是当时，， ,v ，,()uv,，v,0EUVvueduv[|]1,,,,于是当时，， (3分) ,v,EXYXYXY，,,，，|||1，， (1分) ，，，，，， X五. (10分)设随机变量的分布列为 k,,,PXk{,,？},ek,0,1,2, k! X,()t(1) 求随机变量的特征函数; X 2EX21，(2)求. ，， 解 (1) kikk,,it,,(e),,,(1)itXitke,,,,,,,. ……4分 ()tEeeeee,，，,,Xkk!!11kk,, 4 2YX,，21 (2) 记, ，， 2222. ……6分 EXYX,481EE，，,，，414,, 六. (10分)设是两个相互独立的平稳过程，均值函数分别为，mm,XtYt(),()XY谱密度函数分别为,相关函数分别为. RR(),(),,fg(),(),,XY (1)证明过程为平稳过程; ZtXtYt()()(),， (2)求平稳过程的功率谱函数. Zt()h(), (1)证明 (,,) EZtEXtYtEXtEYtmm(())[()()]()(),，,，,，XYRttEZtZt(,)[()()]，,，,,Z =[(()())(()())]EXtYtXtYt，，，，,, =()()2RRmm，，,,XYXY 所以是平稳过程。 ,,11ii,,,,,,hd,,,,,，，eRed,RRmm,,(2) ()()()2()()ZXXYY,,,,,,22,, (5) ,，，fgmm()()2(),,,,XY 七.(10分)3个人(分别称为第1,2,3人)相互传球, 每次传球时, 传球者等可能地把球传给其余2人中的任何一人(对, 表示经过次传递后Xnn,0,1,2,...n i球的状态(若经过次传递后，球在第人手中，则X,i( i,1,2,3)), 令X,1. nn0 {X,n,0}(1)证明为齐次马氏链，并写出一步转移概率矩阵; n PXX{},,1,1(2)求经过2次和4次传递后，球都回到第,人手中的概率. 24解:(1)证明:对于任意整数，及任意0,t,t,？,t,m,当n,0,m,012rP{X,i,X,i,？,X,i,X,i},0时，总有 t1t2trm12r P{X,j|X,i,X,i,？,X,i,X,i},P{X,j|X,i}m，nt1t2trmm，nm12r i,j,i,{1,2,3}且以上条件概率与m无关,其中， k 5 故为齐次马氏链( ……,分 {X,n,0}n 1,, ij,, 又 ， P{Xj|Xi},,,i,j,1,2,32,n，1n ,0, ij,,所以一步转移概率矩阵为 11,,0,,22,,11,, …… 5分 P,0,,22,,110,,22,, 111,, ,,244,,1112,,PP(2),,(,) ,,424,,111,,,,442,,(2)初始分布为 , 所以 P{X,1},1,P{X,i},0, i,2,300 31 ……5分 PXXPXipppp,,,,,,{1}{}(2)(2)1,(2)(2),i21111401114,i1 八. (10分)设马氏链{,0}Xn,的状态空间为，转移概率矩阵{1,2,3,4,5,6}n 为 6 11,,0000,,22,,11,,0000,,22,,001000,, P,,,111000,,333,, 11,,0000,,22,,11,,0000,,,,22 确定该链的空间分解，状态分类，各状态的周期，并求平稳分布. 解. (1)链可分, {3}{2,6}是不可分闭集, 状态空间 E,,{3}5{2,6}{1,4,}, (2) 周期 . ……4分 dddii(1)2,(5)2,()1,1,2,...,6,,,, (3) 设平稳分布为,则 ,,,,,？(,,,)126 ,,,P,, ,，，,？1 ,,,16 ,,,？1,1,2,,6.i,i, 解之得,其中. ,,(0,,,0,0,)pqppq,,，,0,0,21qp (4) 所以3,2,6正返态,1,4,5为非常返. ……6分 {,1,2,}Xn,？九. (6分)设是齐次有限马氏链, 证明 n (1)所有非常返态不构成闭集; (2)状态空间中无零常返态. A证明. (1) 记所用非常返态的集合为,并设之为闭集, 则 ()n piAn,,,,,？1,,1,2,,ij,jA ()()nnn由的任意性, 0limlim1,,,,,,,ppiA矛盾. …..3分 ,,ijij,,,,nn,,jAjA 7 (2) 设有零常返态, 并记为i, 则为闭集. 用代替(1)中的可 BABkj,,{:}k 证明结论. …..3分 8