两个数列的公共项问题例解

两个数列的公共项问1)求两个数列的公共项，求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方法(2)求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理．例1．已知两个等差数列：5,8,11,……；①3,7,11,……；②它们的项数均为100项,试问他们有多少个彼此具有相同数值的项。解析：方法一、设两数列共同项组成的新数列为：｝，易知c1=11，又数列5,8,11,……的通n1项公式为a二3n+2，公差为3,而数列3,7,11,……的通项公式为b二4n-1，公差nn为4,所以数列：｝仍为等差数列，且公差为d=12,故数列：｝的通项公式为nnc=11+(n一1)-12=12n一1，又a=302,b=399,ac=12n一1<302,得n<25,n100100n所以已知两数列有25个共同的项。方法二、整除性设a二b,2+3n二4m一1nm3(n+1)m=一-一,n+1只能取4,8,12,…，100,共25个43例2.设A为数列｛a｝的前n项和，A=—(a—1),数列｛b｝的通项公式为b=4n+3;nnn2nnn(1)求数列｛an｝的通项公式；⑵把数列｛an｝与｛bn｝的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列｛dn｝,证明：数列｛d”｝的通项公式为dn=32n+1;⑶设数列｛d｝的第n项是数列｛bn｝中的第r项，Br为数列｛b“｝的前r项的和；Dn为数列｛d“｝的前n项和，TfB—D”,求limnsn—(a)4n分析：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻｛an｝与｛bn｝的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.易错分析：待证通项dn=32n+1与a的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使T中既含有n,又含有r,nn会使所求的极限模糊不清.33解：(1)由An=2(an—1)，可知An+1=2(an+1—(a1—1)，得a1=3，所以数列是以3•••an+1—an=2(an+1—an)，即分=3，而a1=A1=2为首项，公比为3的等比数列，数列｛an｝的通项公式an=3n.(2)32n+l=3•32n=3•(4—1)2n=3•[42n+C】•42n-1(—1)+…+C2nT•4•(—1)+(—l)2n]2n2n=4n+3，,*.32n+1G｛b｝.而数32n=(4—1)2n=42n+C1・42nT•(—1)+…+C2n_1*4•(—1)+(—1)2n=(4k+1),n2n2n••・32"电｛bn｝，而数列｛an｝=｛a2n+1｝U｛a2n｝，Adn=32n+1.32n+1—3(3)由32n+1=4•r+3，可知r=4r(7+4r+3)2=r(2r+5)=32n+1—3432n+1+72271—927-(1—9n)=(9n—1)8TOC\o"1-5"\h\z92n+1+4-32n+1—2127:.T=B—D=——-—(9n—1)nrn889113=_.34n—-32n+,(a)4=34n,884/limnsn—(a)4n点评：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)n问中挖掘出n与r的关系，正确表示纹，问题便可迎刃而解.例3．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？解：不妨设a=3n,b=4m+1(m,neN+),nm(lOOOWcW2000)p则｛:｝为｛a｝与｛b｝的公共项构成的等差数列pnma=b，即：3n=4m+l令n=3,则m=2/.c=9且有上式可知：d=12TOC\o"1-5"\h\znm1•c=9+12(p—1)(peN*)p711由lOOOWcW2000解得：830且p丰1)，数nnnn列｛b｝满足b二3+8loga.nnpn(I)分别求｛a｝和｛b｝的通项公式;nn(II)当p=込时，设｛a｝和｛b｝的公共项按原顺序组成的数列为｛c｝，求数列｛c｝的nnnn通项公式以及前n项和T.n20.（本小题满分12分）TOC\o"1-5"\h\z解：（［）在（\-p）Sn~p-pan中，令”=］得％二p,I分由（1一P）S”=P-pan‘得（1-p）S”.严"-/?%（沦2）两式相减得（1〜p）（S”-S”=-pa”+叫［n>2）（1_P）%二_W”+P爲t仿X2）,・・・an=pg（n22）,3分乂％h0,-^-=p（w>2）,・・・｛a”｝是等比数列，an-\an=a\Pn｛=pn>4=3+8"6分n（II）解法一：当p=V3时，若77=2加+1（mwN・）时，％二JL3"为无理数，・・・绻不经数列0”｝的项；若n=2加（mwN）加=2R（£gN・）时，a”=3m=32*=9*・・・an=9k=（8+1/=（8*+C；0+C；8八$+…+8）+1=8（8*7+C；8心+C；8卜、+…+CT8+弟1）十1・・・a“不是数列｛®｝的项；8分若g2m（加wN）m=2R+1（RwN・）时，an=3”=32U,=3x9*Aan=3x9*=3x（8+1）*=3x（8*+C*8*_,+C/8*-2+•••+C*_18）+3=3x8（0+C；8八2+c；8"+・・・+CT8+C；t）+3■・・,=4«+2（£wN・）时，％是数列｛%｝的项.9分综上所述，当且仅当n=4k+2（kwN・）时，a”是｛%｝的第3（8*_,+C；8*"2+Cj8*~3+•••+Cf28+）项Cn=伽”+2•'*Cn=（巧）=3~"利]]分=33+35+•••+32/,+,=3*1_9”）27（労_1）:=12分1-98解法二：当p="时，n6=3亍・•・｛an｝前10项为V3,3,39,9>/3,27,2781,81243,站想当且仅当乃=4斤+2（kwN・）吋，勺是数列｛»｝的项，即c”=a%+2分下面先用

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归纳法证明命题：亞”+2-3能被8整除.当刃=1时，％一3=24能被8整除，命题成立.假设当n=kgNj时，命题成立，即口鉄+2一3能彼8整除.则当A7=&+】（£EN*）时，%2一3=%+6_3=9%+2-3=9（。北+2-3）+24能被8整除.即当x=&+l（RwN・）吋，命题成立成.根摇①②命题:“％2_3能被8整除”成立.9分从而可设04“十2-3=8加（加wnJ则勺心一3=¥%门—3=写3+3）—3为无理数，・•.色小不是数列仇｝的项;仏+3-3=屈4”+2—3=巧（8血+3）-3为无理数，«4„+3不是数列｛你｝的项；偽心一3=3印”+2一3=3（8〃7+3）-3=8（3刃）+6,・..。4卄4不是数列｛◎｝的项；故5=Qg苗）=32'小11分1-987；"+3“・・+32讥4L空口】2分