高初中衔接--分解因式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法
:
22(1)平方差公式 ()()ababab,,,,;
222(2)完全平方公式 ()2abaabb,,,,(
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
2233()()abaabbab,,,,,(1)立方和公式 ;
2233()()abaabbab,,,,,(2)立方差公式 ;
2222()2()abcabcabbcac,,,,,,,,(3)三数和平方公式 ;
33223()33abaababb,,,,,(4)两数和立方公式 ;
33223()33abaababb,,,,,(5)两数差立方公式 (
1(2 分解因式
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法(
1(十字相乘法
例1 分解因式:
22 (1)x,3x,2; (2)x,4x,12;
22xabxyaby,,,() (3); (4)( xyxy,,,1
2 解:(1)如图1(2,1,将二次项x分解成图中的两个x的积,再将常数项2分解成,1与,2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为,3x,就是2x,3x,2中的一次项,所以,有
2x,3x,2,(x,1)(x,2)(
x 1 x 1 ,2 ,1 ,ay ,1
x 1 x 1 6 ,2 ,by ,2
图1(2,3 图1(2,1 图1(2,4 图1(2,2
说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1(2,1中的两个x用1来
示(如图1(2,2所示)(
(2)由图1(2,3,得
2x,4x,12,(x,2)(x,6)(
(3)由图1(2,4,得
22x ,1 xabxyaby,,,() ,()()xayxby,,
y 1 (4)xyxy,,,1,xy,(x,y),1 图1(2,5
,(x,1) (y+1) (如图1(2,5所示)(
2(提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式:
22322456xxyyxy,,,,,xxx,,,933 (1); (2)(
23232(3)(39)xxx,,,xxx(3)3(3),,,xxx,,,933解: (1)==
2(3)(3)xx,, =(
或
3232333xxx,,,933,(331)8xxx,,,,,(1)8x,,,(1)2x,,
22 ,[(1)2][(1)(1)22]xxx,,,,,,,
2(3)(3)xx,, ,(
22222456xxyyxy,,,,,2(4)56xyxyy,,,,, (2)=
22(4)(2)(3)xyxyy,,,,, ==( (22)(3)xyxy,,,,
或
22222456xxyyxy,,,,,(2)(45)6xxyyxy,,,,,=
= (2)()(45)6xyxyxy,,,,,
=( (22)(3)xyxy,,,,
23(关于x的二次三项式ax+bx+c(a?0)的因式分解(
2若关于x的方程的两个实数根是、,则二次三项式xxaxbxca,,,,0(0)122axbxca,,,(0)axxxx()(),,就可分解为. 12
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式:
222xxyy,,44xx,,21(1); (2)(
2xx,,21解: (1)令=0,则解得,, x,,,12x,,,1212
2,,,,xx,,21xx,,,,,,(12)(12) ?= ,,,,
(12)(12)xx,,,, =(
22xxyy,,44(2)令=0,则解得,, xy,,,(222)xy,,,(222)11
22[2(12)][2(12)]xyxy,,,,xxyy,,44 ?=( 练 习
1(选择
:
22215xxyy,,多项式的一个因式为 ( )
xy,3xy,3xy,5(A)25xy, (B) (C) (D) 2(分解因式:
233(1)x,6x,8; (2)8a,b;
2(3)x,2x,1; (4)4(1)(2)xyyyx,,,,(
习题1(2
1(分解因式:
342a,14139xx,, (1) ; (2);
222235294xxyyxy,,,,,bcabacbc,,,,222(3); (4)(
2(在实数范围内因式分解:
22xx,,223xx,,53 ; (2); (1)
2222234xxyy,,(2)7(2)12xxxx,,,,(3); (4)(
222acabcabbcca,,,,,3(三边,,满足,试判定的形状( ,ABC,ABCb
224(分解因式:x,x,(a,a)(