小升初数学真题分析

PAGE71/NUMPAGES711讲倒推法真示例（2009中大附中）两桶油，第一桶的重量是第二桶QUOTE，如果从第二桶取6千克倒入第一桶，那么两桶油就一样重。第二桶原有多少千克？（2012广州外国语）两个桶里共盛水40斤，若把第一桶里的水倒7斤到第2个桶里，两个桶里的水就一样多，则第一桶有______斤水3、一批零件，先加工120个，又加工余下的，这是已加工的零件个数与未加工的零件个数相等，这批零件共多少个？（2009大联盟应用题第六题）二、真题解答1、48千克27斤3、720知识点延伸在应用题过程中有顺推法和倒推法。一般地说，从应用题的条件出发，一步一步向后推，直到解决问题，这种思考途径就是顺推法。反过来，从应用题的问题出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题，这种思考途径就是倒推法。倒推法是一种很重要的数学思考，也是分析应用题时常用的方法。四、举一反三例1小明爸爸的年龄加上8，再除以8，再减去2后，扩大10倍是30岁，小明的爸爸今年有多少岁？【解析】本题通过一系列的变化后，最后得到爸爸３０岁，我们从最后的结果往前推，爸爸的岁数扩大１０倍是３０岁，那么，爸爸的岁数缩小１０倍得３０１０＝３（岁），再往前一步３+２＝５（岁），再往前一步就是５８＝４０（岁），最后一步４０-８＝３２（岁），这就是爸爸的年龄。解：（3010＋２）８-８＝32（岁）答：小明的爸爸今年有32岁。例2一瓶油吃去千克千克，又吃去余下的，瓶中还有0.2千克,这瓶油原来是多少千克？【解析】解答这类问题，在弄懂题意的前提下，从问题出发，用倒推法进行分析，这个逆向分析的顺序，可以用下面的线段图来表示：由上图我们很容易得到下面结果：(1)最后还剩下余下千克数的几分之几？(2)余下的是多少千克？（千克）(3)这瓶油原来是多少千克？+０．８＝1（千克）解：＋－）＝１（千克）答：这瓶油原来是1千克。例3王玲有一批书。他给第一个同学1本，又给余下的一半；接着给第二个同学1本，又给余下的一半；再给第三个同学1本，又给余下的一半；最后又给第四个同学1本，再加15本，手中还剩8本。问王玲原来有书多少本？【解析】这道题如果用顺推法来分析解答，比较麻烦，甚至无从下手，但从结果出发，采用倒推的方法，就比较巧妙了。解：(1)先求没有给第四个同学时，手中有书：8+15+1=24（本）(2)再求没有给第三个同学时，手中有书：2449（本）(3)然后求没有给第二个同学时，手中有书：4999（本）(4)最后求没有给第一个同学时，手中有书：99199（本）答：王玲原有书199本。例4一只猴子在山上摘桃子吃。第一天吃了一棵树上桃子数的，以后两天分别吃了当天这棵树上剩下桃子数的、。这样，这棵树上还留下48个桃子。这棵树原有多少个桃子？【解析】从已知条件的最后结果出发，倒推过去思考。由猴子在第三天吃剩下桃子数的后，树上还有48个桃子这个条件出发，可以知道，猴子吃了2天后树上的桃子数为：48÷（1-）＝72（个），同理推出，猴子第一天吃了以后树上的桃子数为：72÷（1-）＝90（个），树上原有的桃子数为：90÷（1-）＝100（个）解：48÷（1-）÷（1-）÷（1-）＝４８＝１００（个）     答：这棵树上原有桃子100个。例5：白兔、黑兔各采蘑菇若干千克，白兔拿出给黑兔，黑兔再拿出现有蘑菇的给白兔，这时它们都有蘑菇18千克。它们原来各采蘑菇多少千克？【解析】从题目中的最后一个条件去想，黑兔拿出现有蘑菇的后还剩18千克，那么它在未拿出之前应有蘑菇是：18÷（1-）＝24（千克）。这也就是说，黑兔拿出了24-18＝6（千克）蘑菇给白兔，白兔在得到黑兔的蘑菇之前应有蘑菇是：18-6＝12（千克）。而这12千克实际上是白兔拿出它原有蘑菇的给黑兔后剩下的蘑菇，这样白兔原有的蘑菇就是：12÷（1-）＝15（千克）。这时我们可以求黑兔原有的蘑菇应是24-15＝21（千克）．解：（１）黑兔现有蘑菇：18÷（1-）=24（千克）（２）白兔原有蘑菇：［18-（24-18）÷（1-）＝15（千克）（３）黑兔原有蘑菇：24-15＝21（千克）答：白兔原有蘑菇15千克，黑兔原有蘑菇21千克2讲鸡兔同笼解析一、真题示例1、（2013年大联盟填空第三题）停车场有四轮车和两轮摩托车共13辆，轮子共有36个，摩托车有（）辆。2、（2006年大联盟应用题第五题）六一儿童节，张老师带领43名同学去划船。如果大船每只坐6人，小船每只坐4人，一共租了9条船，大、小船各租了多少条?考点解析“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多算术应用题都可以转化成这类问题，通常用它的典型解法----“假设法”或者“方程法”来求解.因此“鸡兔同笼”问题是小升初的热点问题。三、真题解答1、8辆大船4条，小船5条知识点延伸在考虑此类问题的时候，应该试着发现一些题目中隐含的条件，比如说：鸡和兔各有一个头，但是，鸡有2只脚，兔有4只脚，这样的话，每增加一只鸡，脚的总数就会减少2只，通过这样的考虑，我们就可以使问题简单化。对于特定问题，可以利用假设的方法来计算，比如将所有的动物假设为兔，然后通过“每只兔脚数-每一只鸡的脚数”这个差额来计算鸡或兔的数量同样地，我们可以这样来处理得失问题（合格产品与不合格产品）、考试问题（做对得失与做错扣分）等等推广的鸡兔同笼问题。鸡兔同笼的变化也是很多的，无论如何，有一个式子始终是成立的：鸡数＋兔数＝总数或者合格产品数＋不合格产品数＝产品总数做对的题目+做错的题目（有时还要+没有做的题目）＝题目总数这是我们能够处理这种问题的根本。举一反三例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？解：方法一：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是：244÷2＝122（只）在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数：122－88＝34（只）答：有兔子34只，鸡54只.方法二：解：设有鸡x只，则兔有88-x只，可得方程：2x＋4×(88－x)＝2442x＋352－4x＝2442x＝108x＝5488－54＝34（只）答：有兔子34只，鸡54只.例2鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问：鸡、兔各有多少只？解：兔135÷（2+1）=45（只）鸡135－45－28=62（只）答：鸡有62只，兔有45只。例3 甲、乙两人进行数学比赛，规定答对一题，甲得5分，乙得6分，；答错一题， 甲扣2分，乙扣3分。两人各算了10道题，共对了15道题，且 甲比乙多得19分。问 甲、乙各做对几道题？解：乙答对的题数5+16÷16=6（道）甲答对的题数15－6=9（道）答：甲做对9道题，乙做对6道题。3讲利润问题解析一、真题示例1.小李把10万元存入某银行，定期2年，年利率为2.79%，到期要交纳20%的利息税。请你帮他计算存款到期时可得到多少利息。(2010大联盟应用题第5题)(2010大联盟填空第3题)2.一件衣服降价50元后，售200元，降幅（）%。（2009大联盟填空第7题）3、一双鞋子如卖140元，可赚40%，如卖120元可赚（）。（2010中大附中选择题7题）①20%②22%③25%④30%二、考点解析商店出售商品，总是期望获得利润。例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）。通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得40％的利润。因此利润的百分数＝（卖价-成本）÷成本×100％卖价＝成本×（1＋利润的百分数）成本＝卖价÷（1＋利润的百分数）商品的定价按照期望的利润来确定定价＝成本×（1＋期望利润的百分数）定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售，减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣。减价25％，就是按定价的（1－25％）＝75％出售，通常就称为七五折。因此：卖价＝定价×折扣的百分数三、真题解答1、4464元2、203.①四、举一反三例1某商品按定价的75％（七五折）出售，仍能获得25％的利润，定价时期望的利润百分数是多少？【解析】求利润百分数就是求获得利润占成本的百分之几，因此应使用利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100％，这个公式。要求利润的百分数是多少，必须知道商品原来的成本和实际卖价各是多少？解：设商品定价为“1”，商品的实际卖价：1×75％＝0.75商品的成本：0.75÷（1+25%）＝0.6定价时期的利润百分数：1-0.6）÷0.6＝66.7%答：定价时期的利润百分数是66.7%。例2某商店同时售出两件商品，每件各得3000元，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，问结果是盈利、亏损还是不盈不亏？【解析】一件商品盈利20%后是3000元，把这件商品的成本看作单位“1”量，先求出这件商品的成本价，再算盈利多少元？再算亏损多少元？最后比较盈利和亏损数额，再求出盈亏多少。解：第一件商品成本价：3000÷（1+20％）＝2500（元）第一件商品盈利：3000-2500＝500（元）第二件商品成本价：3000÷（1-20％）＝3750（元）第二件商品亏损：3750-3000＝750（元）750＞500答：亏损例3林先生向商店订购定价为120元的某种商品100件，林先生对商店经理说“如果你肯降价，那么每减价1元就多订购5件”，商店经理算了一下，若减价5%则由于林先生多订购获得的利润反而比原来多120元，问这种商品的成本是多少元？【解析】降价5%则每件减价120×5%＝6元林先生就多买5×6＝30件，由于每件减价6元，则100件就减价6×100＝600元，而最后所获得的利润反而比原来多120元，这600+120＝720元就是多购30件获取的利润，则每件所获利润为720÷30＝24元，成本就是120-6-24＝90（元）。解：120-120×5%-（120×5%×100＋120）÷（5×120×5%）＝120-6-720÷30＝114-24＝90（元）答：这种商品的成本是90元4讲浓度问题一、真题示例1、（2013年大联盟填空第四题）在101克水中放进4克盐，然后又加进20克浓度为5%的盐水，搅匀后盐水的浓度为（）%。2、（2012年大联盟附加题）一个容器正好装满10升纯酒精，倒出3升后用水加满，再倒出4.5升后，再用水加满，这时容器中溶液的浓度时多少？3、（2011大联盟附加题）实验室里有盐和水，（1）请你配置含盐率5%的盐水500克，你需要取盐和水各多少克进行配置？（2）如果要求你把（1）所配置的500克盐水变成15%的盐水，需加盐几克？（3）如果要求你配置含盐率12%的盐水5000克，你应该从含盐率5%和15%的两种盐水各取多少克才能配成？二、考点解析在溶液浓度计算中，最常见的一种叫质量百分比浓度，简称百分比浓度，有时叫浓度，属于近些年的热点内容，而且所占分值越来越大。三、真题解答1、4%38.5%3、（1）25克盐，475克水（2）（3）知识点延伸溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。基本公式：浓度：浓度＝×100%＝×100%溶质＝溶液×浓度溶液＝溶质÷浓度溶剂＝溶质÷浓度-溶质＝溶液×（1-浓度百分数）有时需要研究用多少盐和多少水才能配制成某一预先给定浓度盐水，或者两种同类不同浓度的溶液各取多少，才能配制成某一预定浓度的溶液，这就是溶液的配比问题。解答浓度问题，一般根据题意分数应用题抓不变量解决，或者通过列方程求解。举一反三例1浓度为15%的盐水溶液60克，加入多少水就能达到浓度为10%的盐水？【解析】根据题意溶质不变，先求溶质，再求出加水后的溶液，最后求加入多少水？解：①浓度为15%的盐水溶液60克中含盐多少克？60×15%=9（克）②含盐9克浓度为10%的盐水溶液有多少克？9÷10%=90（克）③需加水多少克？90-60=30克答：加入30克水就能达到浓度为10%的盐水。例2农民伯伯要配制浓度为20%的农药溶液6千克，需要浓度为50%的农药溶液多少千克？【解析】根据题意可知溶质不变，先求溶质，后求浓度为50%的农药溶液。解；①浓度为20%的农药溶液6千克中含农药多少千克？6×20%=1.2（千克）②需浓度为50%的农药溶液多少千克？1.2÷50%=2.4（千克）答：需要浓度为50%的农药溶液2.4千克例3在一桶含盐率为6%的盐水中，加入50克盐溶解后，桶中盐水的浓度增加到15.4%，桶中原有多少克盐水？【解析】此题的溶剂不变，也就是水的质量没有变，把他作为等量关系式列出方程。解：设原来桶中有x克盐水。x×（1－6%）＝(x＋50)×(1－15.4%)0.94x＝(x+50)×0.846X＝450答：桶中原有450克盐水例4将浓度为10%的药水与浓度为40%的药水混合，配成浓度为30%的药水1200克，需要10%和40%的药水各多少克？【解析】根据题意可知，将浓度为10%的药水与浓度为40%的药水混合，配成浓度为30%的药水，说明混合前两种药水的溶质和与混合后药水中的溶质相等，根据这一数量关系列出方程。解；设浓度为10%的药水有x克，则浓度为40%的药水有（1200-x）克10%x＋（1200－x）×40%＝1200×30%30%x＝1200×40%－1200×30%x＝400浓度为40%的药水：1200－400＝800（克）答：需要10%的药水400克，需要140%的药水800克。5讲年龄问题真题示例1.小明妈妈比他大26岁，去年小明妈妈年龄是小明年龄的3倍，小明今年多少岁？。(2012小联盟应用题第2题)2.。汪伯伯今年a岁，小玲今天（a-18）岁，再过c年后，他们相差（）岁。（2008中大附中选择题第6题）A18BcCc-18Dc+183.爸爸今年a岁，洋洋比爸爸小b岁，爷爷比洋洋大c岁。爷爷今年()岁。(2008年大联盟填空题第4题)二、考点解析解年龄问题，一般要抓住以下三条规律：（1）不论在哪一年，两个人的年龄差总是确定不变的；（2）随着时间向前（过去）或向后（将来）推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；（3）随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。三、真题解答1、14岁2、A3.a-b+c四、举一反三例1妈妈今年43岁，女儿今年11岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几年前妈妈的年龄是女儿的5倍？【解析】无论在哪一年，妈妈和女儿的年龄总是相差43-11=32（岁）解：当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄为（43-11）÷（3-1）=16（岁）16-11=5（岁）说明那时是在5年后。　　同样道理，由11-（43-11）÷（5-1）=3（年）答：3年前妈妈年龄是女儿的5倍。例2今年父亲的年龄是女儿的4倍，3年前父亲和女儿年龄的和是49岁。父亲、女儿今年各是多少岁？【解析】从3年前到今年，父亲、女儿都长了3岁.解：今年父女的年龄之和为49+3×2=55（岁）55÷（4+1）＝11(岁)11×4＝44(岁)答：父亲今年各是44岁、女儿今年是11。例3陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”问王老师今年多少岁？【解析】我们先要明白：如果我比你大a岁，那么“当我像你这么大时”就是在a年前，“当你像我这么大时”就在a年后。这样便可根据题意画出下图：解:从图上可看出，a＝13，进一步推算得王老师今年29岁。6讲牛吃草问题真题示例(2010小联盟填空第7题)1、一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？（2009年小联盟填空第8题）2、小明从家到学校上课，开始时以每分钟50米的速度走了2分钟，这时他想：若根据以往上学的经验，再按这个速度走下去，肯定要迟到8分钟。于是他立即加快速度，每分钟多走10米，结果小明早到了5分钟。小明家到学校的路程是多少米？二、考点解析在牛顿编著的《普通算术》一书中有这样一道题：12头牛4周吃牧草3格尔，同样的牧草21头牛9周吃10格尔，问24格尔牧草多少头牛吃18周吃完？于是，人们又把这类问题称为牛顿问题，表面上看''牛吃草问题。似乎是一个归一问题，只要算出一个量就可以了。其实不然，跟其他的应用题有一个很大的不同，就是牧场上的草每天都在生长，时间越长，新长的草就越多，草的总量也就越多，而草的总量是由两部分组成，一部分是某个时间期限前牧场上原有的的草，一部分则是这个时间期限后牧场上每天新长出的草。原有的草与每天新长出的草，这两个量是固定不变的，因此解题时必须设法先求出这两个不变的量。三、真题解答1、172、4000知识点延伸由近几年的出题形式可以看出，牛吃草问题由于难度较大，多出现在小联盟的试卷中，且出题形式比较多变，在平时训练中，不仅应熟练牛吃草的常规题目，而且应多训练以牛吃草为原型的多变类题目。五、举一反三例1内蒙古草原的一个牧场有一片青草，这片青草每天都在匀速生长。这片牧草可供24头牛吃12天，可供30头牛吃8天，问可供多少头牛吃4天？【解析】：这类题难在牧场上的草的数量每天都在变化，我们要想办法从变化中找出不变的量，总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。有两个用草量的差可知（12—8）天的生产量，即可求出每天新长出的草的量。再将某一组的草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。抓住这两个量，解决问题就容易多了解：设1头牛一天吃的草为1份。24头牛12天吃草的总量：1×24×12﹦288（份）30头牛8天吃草的总量：1×30×8﹦240（份）每天新长出的草的量：（288－240）÷（12－8）﹦12（份）这片牧场原有的草量：288－12×12＝144（份）或240－12×8＝144（份）可供多少头牛吃4天？（144＋12×4）÷4＝48（头）答：这片牧场可供48头牛吃4天。例2日立造纸厂有一水池，装有一根进水管和若干根同样粗细的出水管。先打开进水管，水均匀的流入池中，当水注满全池的时，若同时打开6根出水管15分钟，可将池内的水放干，若同时打开7根出水管12分钟可将池内的水放干，若所有的出水管都同时打开，10分钟就可将池内的水放干，那么这个水池装有多少根出水管？【解析】根据已知条件“打开6根水管15分钟可将池内的水放干，若同时打开7根水管12分钟可将池内的水放干”可求出每分钟的进水量和池内原有的水量，然后求出问题的解。解：设一根出水管放出的水量为单位“1：①6根出水管15分钟的出水量为：6×15﹦90②7根出水管12分钟的出水量：7×12＝84③一根进水管每分钟的进水量：（90－84）÷（15－12）＝2④池内原有水量：90－2×15＝60或84－2×12＝60⑤出水管的跟数：（60＋2×10）÷10＝8（根）答：这个水池装有8根出水管。例3一片牧场，草每天生长的速度相同，现在这片牧场可供16头牛吃20天，或可供80只羊吃12天，如果1头牛的吃草量相当于14只羊的吃草量，那么10头牛和60只羊一起可以吃多少天？【解析】由已知条件“如果1头牛的吃草量相当于14只羊的吃草量”我们可以把80只羊转化成20头牛，把10头牛和60只羊转化成牛一共有25头，再根据牛吃草问题的解法求解解：设1头牛一天吃的草为1份①每天新长出的草量：（16×20-20×12）÷（20－12）=10（份）②牧场原有草量：16×20-20×10=120（份）③10头牛和60只羊一起可以吃的天数：120÷（25－10）﹦8（天）答：可以吃8天。7讲数论问题真题示例(2010大联盟填空第2题)1.如果A=60，B=42，那么A、B的最大公因是（  ），最小公倍数是（  ）。(2010大联盟填空第3题)2.在一个比例里，已知两个外项互为倒数，其中一个内项是最小的质数，另一个内项是（  ）。（2013大联盟选择第3题）3、一列数1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，···中的第34个数为（）A.6B.7C.8D.9考点解析数论是研究整数性质的一个数学分支。常常涉及整数的整数性、带余除法、奇偶性、质数与合数、因数与倍数、整数的分解与分析等。主要是用些枚举法和归纳法分析解答数论问题。三、真题解答1、64202、3、C四、举一反三例1两个连续奇数之积是111555，这两个奇数之和是多少？【解析】两个连续奇数积是111555，由分解质因数知，即有两个数333和335的积是111555。解：分解质因数333×335＝111555所以两个连续奇数是333、335333＋335＝668答：这两个奇数之和是668例2利用1～9中的数，分别组成（1）两个能被3整除的五位数、；（2）两个能被9整除的三位数、；（3）两个能被11整除的四位数、。【解析】1．整除的意义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数（余数为0），我们就说a能被b整除，b能整除a，a叫做b的倍数,b叫作a的因数。2．能被2、5、4、25、3、9、11整除的数的特征(1)一个整数的个位上是0、2、4、6、8中的某个数，这个整数能被2整除。(2)一个整数的个位上是0、5中的某一个数，这个整数能被5整数。(3)一个数的末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。(4)一个整数的所有数位的数字和是3的倍数，这个整数能被3整数。(5)一个整数的所有数位的数字和是9的倍数，这个整数能被9整数。(6)一个整数的奇数位和偶数位数字和之间的差是11的倍数，这个整数能被11整数。解：（1）1234512348(2)459279(3)42799273例3已知两个数的和是150，它们的最大公因数是5，求这两个数。【解析】因为这两个数的最大公因数是5，假设有两个数，，且A、B互质，有因为这两个数的和A＋B＝150，即，有，即有：解：假设有两个数，因为这两个数的和是150（且a、b互质）；；；答：这两个数是5和145，或35和115，或55和95，或65和858讲周期问题真题示例1.观察下面图形的排列情况，第2012个图形是（）。(2012小联盟选择题第5题)△△○▽○△△○▽○……A、△B、○C、▽D、无法确定2.按照上述的规律，第五行的等式为__________________________________________。（2011年中大附中填空题第10题）二、考点解析在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现,例如,人的生肖:鼠、牛、虎、兔、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断出现的；每周有七天，从星期日开始，到星期六结束，总是以七天为一个循环不断重复出现的。我们把这种特殊的规律性问题称周期问题。解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算。三、真题解答1、A2、11=36-25四、举一反三例1有以下一些几何图形的排列，○□□◎◎◎○□□◎◎◎…（1）第200个图形是什么？（2）如果要使其中有100个◎，则至少有多少个图形？【解析】通过条件找规律发现“○□□◎◎◎”在反复出现，所以该题的周期是6。（1）第200个图形是有33组余2个图形，即是□。（2）因为每隔周期里只有3个◎，要有100个◎，至少需要100÷3＝33…1，即是33个周期还差1个，就是说还要第34周期的前4个图形。解：（1）200÷6＝33…2答：第200个图形是□。（2）100÷3＝33…133×6＋4＝202（个）答：要使其中有100个◎，则至少有202个图形。我最棒我最棒我最棒…奥数好玩奥数好玩奥…例2如图，将下面的每一列上、下两个字组成一组,例如第一组为(我奥),第二组为(最数),那么第235组为什么数呢?【解析】如果从表格上找规律，该题的周期是3、4的最小公倍数为12，且列出一个周期的项，比较繁。我们可以分行找规律，求出该行第235组是什么，在将它们组合。解：235÷3＝78…1（我）235÷4＝58…3（好）答：所以第235组是（我好）例3求的个位数字为多少?并说明理由。【解析】更具题中的算式是1993个3相乘的结果肯定是一个很大的数字，而且也是不可能计算出来的，但本题只要求个位的数字。先试找找规律：3的个位是3,3×3的个位是9，3×3×3的个位是7，3×3×3×3的个位是1，3×3×3×3×3的个位是3，……知道若干个3相乘的个位数是3，9，7，1，3，……解：找规律3个位是33×3＝9个位是93×3×3＝27个位是73×3×3×3＝81个位是13×3×3×3×3＝243个位是3……所以1993÷4＝498…1答：的个位数字为3。9讲组合及平面图形丘面积真题示例(2007天河省实应用题第四题)1.如图，ABOF和ODEC都是正方形，AB=10cm，OD=12cm，CD是以O为中心，OC为半径的圆弧，求图中阴影部分的面积。（2013大联盟选择题第五题）2、如图：一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（）（2013大联盟附加题）3、直角三角形ABC的边分别是5㎝，3㎝和4㎝，将它的直角边AC对折斜边AB上，使AC与AD重合，如图，则图中阴影部分（未重叠部分）的面积是多少平方厘米？考点解析空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。我们在课本上已经学习了一些简单的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，有关立体图形的概念还可以深化，空间想象能力还需要提高。将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常用思路,近几年，转化思想在该类题目中已成热点，需引起足够重视。常见立体图形的表面积、体积计算公式表形体表面积公式(S)体积公式(V)备注长方体（长×宽+长×高+宽×高）×2S＝(a×b+a×h+b×h)×2长×宽×高V＝a×b×h用字母“a”、“b”、“h”分别表示长、宽、高。正方体棱长×棱长×6即：S＝a×a×6棱长×棱长×棱长V＝a×a×a用字母“a”表示上棱长圆柱底面积×2＋侧面积S＝2×Л×r2+Л×r2×h底面积×高V＝S×h用字母“r”、“h”分别表示半径、高。圆锥底面积×2＋侧面积即：S＝V＝S×h用字母“r”、“h”分别表示半径、高。三、真题解答1、113.042、4.5π3、四、举一反三如图所示，求甲比乙的面积少多少平方厘米？【分析】本题考查了几何问题中的等量代换，即根据两个面积同时加上或减去相同的面积，差不变。在此题中甲与乙分别加上空白部分后，变为长方形和大三角形的面积，S大△=6×（4+5）÷2=27（㎝2）S长=6×4=24（㎝2），而甲与乙的面积差即是大三角形与长方形的面积差是27-24=3㎝2。【参考答案】3㎝2撰写人：周攀个人简介：从事小升初教学多年，现任学大教育天河校区初小数学组科组长，教学经验丰富，辅导学生多数考入二中，育才，省实等优质名校。10讲长方体真题示例1、把一块底面直径8分米、高6分米的圆柱体铜块熔铸成一个长方体，这个长方体长4分米、宽2分米，它的高是多少分米？(2010大联盟解决问题第2题)2、图中的两个物体是用相同数量的小正方体摆成的，比较它们的表面积，正确的说法是（）。（广州市天河外国语学校2012单选题第9题）A、正方体的表面积大B、长方体的表面积大C、同样大D、无法比较3、如下图，这个大正方体由（）个小正方体组成。（各面中心的孔直通对面）（广州市天河外国语学校2012单选题第10题）A、110B、111C、112D、114考点解析认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图，了解长方体和正方体的关系，掌握长方体和正方体的表面积的意义，及长方体和正方体的表面积的计算方法，初步建立了空间观念，学会用数学的眼光观察生活中物体的形状，并能解决生活中的一些实际问题。三、真题解答1、37.68分米2、B3、C四、举一反三例1便民小商店要做一个长2.5米，宽0.6米，高0.9米的玻璃柜台，现在要在柜台各边都安上角铁，需要角铁多少米?【解析】要求角铁的米数，就是求长方体柜台的棱长和。解：(2.5＋0.6＋0.9)×4＝16(米)答：需要角铁16米。例2用一根长180厘米的铁丝围成一个最大的正方体框架，这个框架的每条边是多少厘米?【解析】根据正方体的特征，它的12条棱长都相等，把180厘米平均分成12份，每份就是一条棱的长度。解：180÷12＝15(厘米)答：这个框架的每条边应该是15厘米。例3一个玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长5分米。制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米?(鱼缸的上面没有玻璃)【解析】这个鱼缸的上面没有玻璃，所求的玻璃的面积就是求其它5个面的总面积。解：5×5×5＝125(平方分米)答：制作这个鱼缸时至少需要玻璃125平方分米。例4一个长方体的食品盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈商标纸(上下面不贴)，这张商标纸的面积至少要多少平方厘米?【解析】　这个食品盒只有4面贴包装纸，即前、后、左、右四面，所求的商标纸的面积就是这四个面的面积和。解：(10×12+6×12)×2＝384(平方厘米)答：这张商标纸的面积至少要384平方厘米。撰写人：封静个人简介：从事个性化教学多年，能准确把握小升初考试题型，教学方法独特，曾荣获学大教育广州分公司教研比赛二等奖。所带小升初学生多数考入重点民办中学。11讲相遇问题解析真题示例。1、（2013年大联盟应用题第5题）甲乙两车从AB两地在上午时同时出发，相向而行，已知甲的速度比乙的速度快千米时，到上午点两车相距千米，继续前行，又过小时两车还是相距千米，求AB两地的距离？2、（2012年大联盟附加题第2题）客车和货车分别从甲乙两站同时相向开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时，客车行了全程的，货车行了全程的80%。全程是多少千米？货车行完全程需要多少个小时？3、（2011年大联盟应用题第7题）在比例尺是1:5000000的地图上，量得两地的距离是12厘米，甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，已知甲车速度每小时90千米，乙车的速度是甲车的，两车几小时相遇？考点解析。相遇问题是行程问题中一个常考题型，也是历年小升初考试出现频率很高的一种题型，而且一般都是出现在应用题中，占分比重很大。真题解答。1、108千米2、（1）490千米（2）8.75小时3、4小时知识点延伸。行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。相遇问题：速度和×相遇时间=总路程举一反三。例1甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米?分析与解答从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2=64（千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢？因为甲车每小时比乙车多行56-48=8（千米）。64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56+48）×8就能得出。32×2÷（56－48）=8（小时）（56＋48）×8=832（千米）答：东、西两地相距832千米。例2快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，乙车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米？分析与解答快车3小时行驶40×3=120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲、乙两地间路程的一半是120－25=95（千米）。此时，慢车行了95－25－7=63（千米），因此慢车每小时行63÷3=21（千米）。（40×3－25×2－7）÷3=21（千米）答：慢车每小时行21千米。例3甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？分析与解答二人相遇时，甲比乙多行15×2=30（千米），说明二人已行30÷6=5（小时），上午8时至中午12时是4小时，所以甲的速度是15÷（5－4）=15（千米）。因此，东西两村的距离是15×（5－1）=60（千米）上午8时至中午12时是5小时。15×2÷6=5（小时）15÷（5－4）=15（千米）15×（5－1）=60（千米）12讲植树问题植树问题解析一、真题示例。1、（2012年大联盟填空题第2题）将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成6段需要（   ）分钟。   （A）10 （B）12   （C）14   （D）16 2、（2007年大联盟填空题第8题）把5米长的钢筋，锯成每段一样长的小段，共锯6次，每段长(   )米，如果锯成两段需2分钟，锯成6段共需(   )分钟。  二、考点解析。植树问题在小升初考试中比较常见，尤其是填空题中较多出现，有时应用题中也会考到，锯木、上楼梯等问题也可以转化为植树问题来解决。  三、真题解答。1、 A2、5/7   10  四、知识点延伸。植树问题，其实就是数学中设置等分点的计算问题。因此题中的情节不局限于植树，生活中的跨楼梯、锯木头、插红旗、安路灯等问题，都可以按照植树问题的数量关系和思路解答。  关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。  1、封闭线路植树：棵树=总距离÷棵距  2、不封闭线路植树：  ①路的两端都植树：棵树=总距离÷棵距＋1；  ②路的一端植树，另一端不植树：棵树=总距离÷棵距；  ③路的两端都不植树：棵数=总距离÷棵距－1    3、在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数－1）×边数。 五、举一反三。  例1.从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧，从头到尾每隔15米栽1棵树，需要多少棵数？  【解析】典型的植树问题，而且是不封闭线路，总长为900米，间隔是15米，所以段数=900÷15=60，这个时候注意，题目说的是从头到尾都栽树，所以小路一侧的树为60＋1=61，两侧就是61×2=122棵   例2.有12名小学生站成一排，要求在每两名小学生中间放2盆花，需要摆放几盆？  【解析】如果把每2名小学生开成1段的话，那么12名小学生一共有11个间隔，也就是说可以看成11段，每一段放2盆花，就应该放2×11=22盆花   例子3，长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？    【解析】   解法一：   ①一行能种多少棵？84÷2=42(棵)．|   ②这块地能种苹果树多少行？54÷3=18(行)．   ③这块地共种苹果树多少棵？42×18=756(棵)．   如果株距、行距的方向互换，结果相同：  (84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)．  解法二：   ①这块地的面积是多少平方米？  84×54=4536(平方米)．  ②一棵苹果树占地多少平方米？  2×3=6(平方米)．   ③这块地能种苹果树多少棵？  4536÷6=756(棵)．  当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二解法。 13讲追及问题追及问题解析一、真题示例。1、（2010年大联盟附加题）  某学校运动会上，800米跑是既讲耐力又讲技术的一项比赛项目，A、B、C三位学生都有夺冠的希望，但由于他们使用的技术不同，得出不同的效果，这项运动可分为三个阶段：第一阶段是起跑和慢加速阶段；第二阶段是全速前进阶段；第三阶段是全速冲刺阶段。假设全速前进阶段A、B、C三位同学的速度都是6米/秒,1． 若A、B、C三位同学花在慢加速阶段的时间都是12秒，而在这时间内他们分别跑过了60米、55米和50米，问半分钟后他们的位置如何？2．由于A在慢加速阶段加速太快引致30-50秒间呼吸不均匀造成速度下降到5米/ 秒，问1分钟时他们的位置关系如何？3．三人都在最后100米处发起最后冲刺，若此时A的速度为7.2米/ 秒,B的速度为7米/秒,最后夺冠的是C,问C最后冲刺阶段的速度至少是多少?  二、考点解析。相遇问题是行程问题中一个常考题型，也是历年小升初考试出现频率很高的一种题型，而且一般都是出现在应用题中，占分比重很大。但这种题难度比较大且灵活，一般会和比、分数乘除法应用题综合来出题。  三、 真题解答。  1、（1）A:168米 B:163米  C:158米（2）A:328米 B:343米  C:338米（3）约7.4米/秒 四、知识点延伸。追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间=追及路程解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题。  五、举一反三。例1  中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。几小时后小轿车追上中巴车？  【解析】 原来小轿车落后于中巴车60千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小时比中巴车多行84－60=24千米，也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。60÷24=2.5小时，所以2.5小时后小轿车能追上中巴车。   例2  一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。汽车是在离甲地多远处修车的？  【解析】   途中修车用了2小时，汽车就少行45×2=90千米；修车后，为了按时到达乙地，每小时必须多行30千米。90千米里面包含有3个30千米，也就是说，再行3小时就能把修车少行的90千米行完。因此，修车后再行（45＋30）×3=225千米就能到达乙地，汽车是在离甲地360－225=135千米处修车的   例3  甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分360米的速度追乙，甲骑车多少分才能追上乙？  【解析】   当甲取了东西改骑自行车出发时，乙已行15＋15＋5=35分钟，行了60×35=2100米。甲骑车每分钟比乙步行多行（360－60）米，用2100米除以（360－60）米就得到甲骑车追上乙的时间。   例4  甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米，求甲、乙二人的速度各是多少？  【解析】  出发10分钟后，甲从乙身后追上了乙，也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。因此，甲每分钟比乙多行4000÷10=400米。知道了二人的速度差是每分钟400米，速度和是每分钟700米，就能算出甲骑车的速度是（700＋400）÷2=550米，乙跑步的速度是700－550=150米。   例5  甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米。甲在公路上A处，乙、丙在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行。甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了。求A、B之间的距离。  【解析】  甲和乙相遇后，再过3分钟甲又能和丙相遇，说明甲和乙相遇时，乙比丙多行（100＋75）×3=525米。而乙每分钟比丙多行90－75=15米，多行525米需要用525÷15=35分钟。35分钟甲和乙相遇，说明A、B两地之间的距离是（100＋90）×35=6650米。14讲工程问题解析真题示例。1、（2013年大联盟填空题第5题）学校运来两捆苗，共棵，准备分给四、五、六年级植树，六年级栽总棵树的，四、五年级栽的棵数比是，四年级应栽树（）棵。2、（2013年大联盟填空题第8题）甲乙二人完成同样的工作，甲耗的时间是乙的，则甲的工效比乙的工效高（）。3、（2013年大联盟应用题第4题）某工程队修一条路，第一天修的比全长的多米，第二天修的比剩下部分的少米，还剩米没修，这段路全长多少米？4、（2012年大联盟应用题第4题）修路队修一条公路，计划每天修105米，450天完成，如果要提前30天完成，那么实际每天要修多少米？5、（2010年大联盟应用题第6题）厂长把生产一批零件的任务交给甲车间，甲车间主任说：“我们20天内刚好可以完成任务”。甲车间生产了5天后厂长接到客户电话，要求6天后提货，厂长于是把剩下的生产任务交给乙车间，乙车间主任说：“这些任务我们需要12天才能完成”，厂长决定让甲乙两个车间共同完成这些任务，请你算一算，他们能在6天内完成剩下的任务吗？考点解析。工程问题在小升初考试中经常出现，是个必考题型，一般和分数乘除法一起应用题一起考，这种题型偏难，但掌握了工程问题的特点也是可以解决的。真题解答。1、602、253、826米4、112.5米5、不能完成知识点延伸。顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。　　在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：　　工作量=工作效率×工作时间，　　工作时间=工作量÷工作效率，　　工作效率=工作量÷工作时间。　工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可　　工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。　　工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。举一反三。例1一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：　　从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例2单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？【解析】乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要教师简介易显金，师范专业毕业，学大教育东风东校区初小数学教师。我的爱好广泛，很容易与学生找到共同语言，再加上十来年的教学经历，积累了丰富的教学经验，很有信心教好学生。在近三年的小学毕业考试中我的学生分别考入育才实验、广雅中学、应元二中、中大附中、省实、南沙外国语、玉岩中学等名校。我的人生格言是：教学如逆水行舟，不进则退。15讲平均数问题平均数问题解析 一、真题示例。   1、（2009年大联盟应用题第7题）小明统计班里的数学成绩，平均分数为85.74，后来发现一个同学原来的分数为97，统计时误统计为67。重新统计后平均分数为86.49，此班共有多少个学生？二、考点解析。平均数在生活中用途很广，比如考试成绩的平均分、行程问题中的平均速度，在历年的考试中也是常有出现，只是较少单独考，只是穿插在其他如行程问题、价格问题等题型中。 三、真题解答。  1、40个 四、知识点延伸。把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：    平均数=总数量÷总份数    总数量=平均数×总份数    总份数=总数量×平均数  五、举一反三。   例1 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？【解析】：（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；    （2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）    （3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个）由（1）（2）两个等式可知：1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个）1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个）1箱苹果有多少个：28＋18=46（个）    例2 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？  【解析】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。    例3 把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48。中间一个数是多少？  【解析】：先求出五个数的和：38×5=190，再求出前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。   例4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？【解析】：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。 16讲归一归总问题归一归总问题解析 一、真题示例。1、（2012年大联盟应用题第4题）修路队修一条公路，计划每天修105米，450天完成，如果要提前30天完成，那么实际每天要修多少米？ 2、（2009年大联盟应用题第1题）实验小学买了4副乒乓球拍和50个乒乓球，付出200元，找回5.5元，每副拍38元，每个乒乓球几元？ 二、考点解析。  归一归总问题生活中经常出现，小升初考试中也经常出现，只是很少单独出现，都是穿插在各种题型之中，灵活掌握有助于解答很多相关的应用题。 三、真题解答。1、112.5米2、0.85元 四、知识点延伸。  在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。  与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。 五、举一反三。  例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？　　【解析】以一根钢轨的重量为单一量。　　（1）一根钢轨重多少千克？　　1900÷4＝475（千克）。　　（2）95000千克能制造多少根钢轨？　　95000÷475＝200（根）。解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。　　答：可以制造200根钢轨。