合数的定义

合数的定义 因数～所以2就是质数。与之相对立的是合数:“除了1和它本身两个因数外～还有其它因数的数～叫合数。”如:4?1=4～4?2=2～4?4=1～很显然～4的因数除了1和它本身4这两个因数以外～还有因数2～所以4是合数。) 100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97～一共有25个。 质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个～从小到大依次排列为p1～p2～……～pn～设N=p1×p2×……×pn～那么～N+1是素数或者不是素数。 如果N+1为素数～则N+1要大于p1～p2～……～pn～所以它不在那些假设的素数集合中。 如果N+1为合数～因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1～所以N+1不可能被p1～p2～……～pn整除～所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。 因此无论该数是素数还是合数～都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也 1 / 2 就是说～素数有无穷多个。 其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的～恩斯特〃库默的证明更为简洁～Hillel Furstenberg则用拓扑学加以证明。 任何一个大于1的自然数N～都可以唯一分解成有限个质数的乘积～这里P1 这样的分解称为N的分解式。 算术基本定理的由两部分构成:分解的存在性、分解的唯一性(即若不考虑排列的顺序～正整数分解为素数乘积的方式是唯一的)。 算术基本定理是初等数论中一个基本的定理～也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。 此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z[i]也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环～欧几里得整环等等概念～更一般的还有戴德金理想分解定理。 2 / 2