2015全国数学建模B题第一问模型：分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度

2015全国建模B题第一问模型：分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度 2015全国数学建模B题第一问模型:分析不同时空出租车资 源的“供求匹配”程度 模型建立 出租车资源的“供求匹配”程度实际就是出租车的合理规模，而合理的规模是由供与需的关系决定的，当供需平衡时显然匹配程度高，供大于求或者供小于求都表示匹配程度低。因此我们从供需平衡理论出发，试图建立描述出租车资源的“供求匹配”程度的模型。然后选取几个具有代表性的城市出租车数据，用我们的模型进行分析，以此模拟全国出租车资源的“供求匹配”程度。 1.1出租车供需平衡关系分析 当需求量与供给量达到一致时，即处于均衡状态，而这个量就称为供需平衡量，也 是一个最佳量。 本文借鉴供需平衡理论的原理，对出租车供需关系进行分析。 出租车供需平衡关系分析模型:出租车流量F是关于出租车服务水平S与出租车出 行总量V的函数，即 F=f(S,V) (1.1) 由出租车客运需求与供给的基本关系可知，当出租车供给量T和乘客出行次 数A均为常数(即令T一几，A一而)时，就有唯一的解S*和V*。由式((1.1)得出一 个确定的出租车流量:F*=f(S*,V*).S*和V*可通过下面的方程组得出: (1.2) 因此，出租车流量F*实际上是由To和A0决定的。所以可以将F，写成: (1.3) 图1.1描述了这种关系，在一般情况下，乘客主要关心的是候车时间，候车时间越长，乘客就认为出租车服务水平越差;相反，候车时间越短，就认为其服务水平越高， 因此，出租车服务水平S常用候车时间的倒数又1/t表示。由于候车时间比较直观，所以 常用候车时间t代替服务水平S。则式(1.2)中的函数J, D分别改写为: (1.4) 因为候车时间t和服务水平S是成反比的，所以候车时间t对出行总量V的曲线形状 也发生了变化，如图1.1所示。 图1.1出租车供需平衡关系 1.2出租车供需平衡的动态关系分析 1.2.1出租车在城市客运交通系统中的供需平衡分析 城市客运交通需求与供给受城市经济的发展、城市人口及规模等多种因素的影响， 当城市客运交通供需情况发生变化时，若城市客运交通需求量下降，出现城市客运交通 供过于需的局面，出租车客运需求量也势必随着下降，则出租车供给量超出需求量，出 租车空驶率上升，导致出租车行业利润下降，部分出租车将退出出租车市场;若城市客 运交通需求量上升，出现城市客运交通供不应需的局面，相应的出租车也势必会承担 一 部分供给不足的部分，出租车需求量上升，出租车空驶率随之下降，出租车行业利润上 涨，刺激市场增加出租车的供给。以上两种变化无论哪种变化，出租车市场和整个城市 客运交通的需求与供给最终都会达到新的平衡，出租车系统在城市客运交通系统中的供 需平衡原理见图1.2所示。 图1.2城市客运交通系统供需平衡分析图 1.2.2出租车自身系统内部供需平衡分析 假定城市的总客运需求量不变，则出租车系统内部，严格控制出租车供给量，出租 车供给量下降，出租车空驶率也随着下降，当供给量满足不了需求量时，将会出现服务 质量下降的问题，如乘客打车难、等待时间长、出租车司机拒载等，出现这些问题后， 乘客就会考虑选择其他出行方式出行，导致出租车客运需求量下降，从而使出租车需求 与供给达到新的平衡;但若增加出租车供给量，出租车空驶率将随之上升，当供给量增 加到超过客运需求量时，出租车的服务质量将会上升，乘客打车就比较容易、等车时间 较短，从而吸引其他交通方式出行的乘客，出租车客运量将会上升，最后出租车系统内 部再次达到供需平衡。因此，出租车系统供需平衡是一种供需相对的平衡，出租车系统 内部的供需平衡原理见图1.3所示。 图1.3出租车系统内部供需平衡分析图 下面以出租车客运需求与供给和出租车运价的相互作用为例，来说明出租车自身系 统内部的动态供需关系变化。 图1.4、图1.5、图1.6中????=f(?????1)表示出租车的供给量。出租 车的供给量的变化 主要取决于进入市场的出租车数量和运输能力，因为城市道路在一定时间内是相对稳定 的. ????=f(????)表示市场对出租车的需求. 供给量(S,)、需求量(D,)、运价(P,)这三个变量的下标附以时间变量t，表示它们在时间f的值。 在动态分析中，本时期的供给量是由上一期的市场价格和需求决定的。例如，若上 一年运价和需求决定的均衡供给量大于实际的供给量，也就是运能紧缺，因为运价上涨 将导致下一年运输系统能力的增加，反之亦然。 从理论上讲，出租车客运需求与供给和出租车运价的相互作用的动态变化及趋势可 分为3种情况。每一种情况取决于供给曲线的斜率和需求曲线斜率这两者之间的对比关 系，或者换句话说，每一种情况取决于供给的运价弹性和需求的运价弹性这两者之间的 对比关系。 第一种情况，供给曲线S,的斜率大于需求曲线D,的斜率。在此情况下，运价的变 动引起的需求量的变动大于运价引起的供给量的变动，因而任何超额需求或超额供给只 需较小的运价变动即可消除，在这种情况下，运价和交通量的变动的时间序列是向平衡 点收敛的，称为动态的稳定均衡，如图1.4所示。 图1.4收敛的蛛网 第二种情况，供给曲线S, 的斜率小于需求曲线D,的斜率。在此情况下，一旦出现失衡后，以后各年的供不应需和供过于需的波动幅度，都越来越和均衡值相背离，运价 和交通量的变动的时间序列是发散的，称为不稳定均衡，如图1.5所示。 图4.5发散的蛛网 第三种情况，供给曲线S,的斜率的绝对值与需求曲线D,的斜率的绝对值相等。在 此情况下，当初始状态偏离均衡状态后，以后各年的运价和交通量的变动序列，将表现 为环绕其均衡值永无休止的循环往复的波动。如图1.6所示。 图1.6循环往复的蛛网 1.2.3出租车交通供需平衡的判定指标 供需基本平衡、供过于需和供不应需是需求与供给之间存在三种情况。判断出租车 供需是否平衡，主要通过里程利用率和车辆满载率这两个指标来考察。 1.里程利用率 里程利用率是指载客里程与行驶里程之比，可用式(1.5)所示: 里程利用率二载客里程(公里)/行驶里程(公里))x100% (1.5) 这一指标反映出租车的载客效率，如果比例高了，说明出租车行驶中载客比例高， 而空驶比较低，对于打车的乘客来说可供租用的车辆不多，乘客等待时间增加，说明供 需关系比例紧张。如果比例低了，则出租车空驶比例高，乘客租用比较方便，但经营者 的经济效益就要下降。如2014年某市居民出行调查的出租车一日出行调查得到，当 日的出租车平均营业里程为194.89公里/辆，平均行驶里程为357.44公里/辆，则里程利 用率为54.5%。与国际一般标准相当，表明目前该市市的出租车供给量基本满足客运需 求量。 2.车辆满载率 车辆满载率是通过在城区客流集散较为集中的地点选取几个长期观测点，对单位时 间通过道路的载有乘客的出租车数量占总通过出租车数量的比，公式为: 车辆满载率=载客车数(辆)/总通过车数(辆)x 100% (1.6) 在实际操作过程中，通过控制出租车的满载率实现运力与运量的适当平衡，在中心 城市，当出租车载客率低于70%时，限制出租车运力增加;高于70%时，增加出租车运 力，这样对于提高服务质量，满足高峰时运力需求具有重要作用。 4.3基于供需平衡的出租车合理规模分析 4.3.1相关定义 出租车客运周转量:一天内出租车运送旅客数量与运送里程的乘积。 出租车有效行驶里程:出租车载客时的行驶里程。 出租车无效行驶里程:出租车在未载客时的行驶里程。 出租车平均运营速度:出租车全天行驶总里程与运营时间之比。 出租车行驶总里程:出租车在一天中载客时行驶里程与未载客时行驶里程之和。 出租车平均有效车次载客人数:出租车在运营中，平均每次有效行驶时所运载的乘 客数。 出租车平均空驶率:一天中无效行驶里程与行驶总里程之比。 4.3.2建模总体思路 建模的总体思路是:先从需求角度、供给角度选取合适的模型参数，以分别测算需 求角度下的出租车总有效行驶里程和供给角度下的出租车总有效行驶里程。然后，以出 租车总有效行驶里程为供需达到平衡的平衡点，使两个总有效行驶里程相等，以测算城 市出租车合理规模。最后考虑其他因素的影响，对模型进行修正。需要指出的是，模型 的建立是在一定空驶率，即一定服务水平下需求与供给之间达到相对平衡的假设前提下 的。 模型建立的总体思路见图1.4所示。 图1.4建模总体思路 1.3.3模型参数的选取 1.从需求角度考虑模型参数的选取 由影响城市出租车客运需求的因素有很多，其中城市经济水平、城市人口规 模、城市其他出行方式的发展情况、出租车运价等因素密切相关。通过分析，选取 城市总人口、人均日出行次数、出租车的分担率、以出租车方式出行时的平均出行距离 及出租车平均有效车次载客人数等参数，这些因素于出租车的有效行使里程直接相关。 其中，城市人口的构成也对出租车客运需求也有很大的影响。由于流动人口对城市 的熟悉程度不如城市常暂住居民，所以其选择出租车出行的几率较大，特别是旅游性城 市。因此，在测算城市客运需求量时，有必要将流动人口与城市常暂住居民分开考虑。 2.从供给角度考虑模型参数的选取 在第三章中可以知道，出租车的供给量受很多因素的影响，特别是政府对出租车发 展的策略及数量管制等一列因素的影响，但这些因素都很难具体量化。所以在这里考虑 了出租车的运输成本对出租车供给的影响，因为在公共交通系统中出租车是具有一定盈 利的性质，带有市场的一些性质，有别于一般公交。 一辆出租车的运输成本可分为两部分:变动费用和固定费用 可以看出变动费用主要与平均运营速度、平均运营时间、有效行驶里程、空驶率有关。 可以看出固定费用主要平均运营时间有关。 通过出租车运输成本的变动费用和固定费用的计算式，可以看出，出租车的平均运 营车速、平均日运营时间、总有效行驶里程和平均空驶率对出租车的运输成本有着直接 的影响，因此从供给角度选取这四个参数。 4.3.4基于供需平衡的城市出租车合理规模模型建立 通过从需求角度和供给角度选取模型参数时，可以发现，出租车的总有效行驶里程 对出租车客运需求量和出租车供给量有着直接的影响。因此，可选取出租车的总有效行 驶里程作为出租车供给量和需求量达到平衡的模型变量， 以建立基于供需平衡的城市出租车 合理规模模型。 1.从需求角度测算出租车总有效行驶里程??有 (1)出租车承担的出行周转量测算 (2)需求角度出租车总有效行驶里程的测算 出租车在运营的过程中，每次载客的人数并不相同。出租车的总有行驶里程按需求 角度为出租车承担的出行周转量与出租车平均有效车次载客人数之商。则从需求角度测 算的出租车总有效行驶里程可用式(1.12)表示。 这里需指出的是，出租车平均有效载客人数并不是一个定值。它随着城市经济增长， 人民可支付能力和消费水平的提高，以及对个人私密性的要求，而逐渐趋小。 2.从供给角度测算出租车总有效行驶里程??有 出租车空驶率是城市政府部门调节出租车供给量的一个重要的参数，且出租车的总 有效行驶里程与其空驶率直接相关。而出租车的空驶率可用下式表示。供给角度的 影响因素可从该式中清晰的反映出。 将其变形得到从供给角度测算的出租车总有效行使里程的计算公式为 3.基于供需平衡的城市出租车合理规模模型 由前所述，根据出租车供需平衡关系可知，当出租车客运需求量与供给量达到平衡 时，此时的城市出租车规模处于最佳状态。在此，以出租车总有效行驶里程作为平衡点， 即当从需求角度测算得到的出租车总有效行驶里程??有与供给角度测算得到的总有效行驶里程??′ 有相等时，出租车客运需求与供给达到相对平衡。则有 上式是在一定空驶率的条件下，得出的人们对出租车需求量。 4.对基于供需平衡的城市出租车合理规模型的修正 影响城市出租车的合理规模的因素有很多，建模时仅考虑了其中能操作的和易从数据中获取的相关性强的因素，应用时具有一定的局限性。因此，需对模型进行适当的修正，以提高模型的可信度和实用性。 (1)出租车客源时间分布的差异性 由典型城市的调查所得，出租车的客源在时间分布上存在着明显的差异。可将出租 车的客源在时间分布上分为两个时间段，即出租车运营主要时间段(本文指绝大多数出 租车运营的时间段)和出租车运营次要时间段。该出租车规模将超过出租车运营次要时 间段的出行需求而无法满足出租车运营主要时间段的出行需要。所以，在测算出租车规 模时应满足出租车运营主要时间段所对应的出行量的出行需求，应按照出租车运营主要 时间段的出行需求来测算出租车规模 (2)出租车出车率 从各城市的出租车运营状况的调查情况来看，在城市中并不是所有的出租车都是处 于运营状态的。考虑到一定弹性的因素，一般情况下，一个城市中会有10%左右的出租 车因年检、修理、司机个人情况等缘故而暂停营运，即一个城市在一天中约有90%的出 租车在运营中。 (3)弹性因素 出租车作为城市公共交通系统的不可缺的重要组成部分，随着城市经济的发展和人 民生活水平的提高，其作用越来越不容忽视。因此，在测算出租车合理规模时，必须考 虑一些“弹性因素”(如旅游旺季，定期会议等)及突发情况(如恶劣天气、不定期的 大型公共活动等)出现时对出租车 客运需求量的影响。此时的供需矛盾比较突出，对出 租车的客运需求会比平时高许多。 (4)其他相关因素 影响出租车供需变化的因素还有很多，如燃油燃气价格、城市对出租车发展的、 城市其他交通方式的建设及服务水平的提高和城市旅游业的发展等等，这些因素的变化 对出租车规模的测算也是不容忽视的。 通过对以上四个方面的分析，本文引入一个平衡系数η，来对模型进行修正。主要 是对弹性因素和其他相关影响的修正，其目的是为了在兼顾到满足出租车企业利润的同 时，让出租车能充分满足人们对出行的需求。η值是应该是一个稍大于1的值，其值调 整得越大，出租车的供给就越能适应在突发情况下对出租车客运需求。但η取值不宜过 大，否则会造成出租车的空驶率过高，给城市交通带来压力，不利于城市交通的健康发 展。鉴于此，本文取η的范围在【1.1, 1.5]，则城市出租车供求匹配程度模型为 1.4小结 首先将供需平衡理论应用于出租车供需平衡中，分析出租车供需动态关系，提 出了出租车供需平衡的判定指标，以出租车总有效行驶里程作为出租车客运需求与供给 达到平衡时的模型参数，建立基于供需平衡的城市出租车合理规模模型，并对该模型进 行修正和综合分析。