【doc】凑微分法求不定积分的解题技巧
凑微分法求不定积分的解题技巧
2004年l2月
第l6卷第6期
石家庄职业技术学院
JournalofShijiazhuangVocationalTechnologyInstitute
Dec.2004
VO1.16NO.6
文章编号:1009.4873(2004)06.0040-02 凑微分法求不定积分的解题技巧
许彦,石守
(石家庄职业技术学院基础部,河北石家庄050081) 摘要:分2种情况说明了凑微分法求不定积分的方法,认为求解时宜用"换",而非"
凑"
关键词:凑微分法;积分;技巧
中图分类号:G642文献标识码:A
定理如果J.厂(z)dz=F(z)+c,可得
厂(")d"=F(")"t-C,U=(z)是z的可微函数,
则J.,[(z)](z)dz换a=
fiT(圳)=.『m(圳z)=
厂(")d"=F(")+c=F[(z)]+c. 1当被积函数是一个复合函数时,与基本积分公 式对比.公式中的自变量z变成了ax-'t-b形式,设 az+6为中间变量,换dz=老辱窘.
例1求-『(2z+dz
分析:基本积分公式被积表达式中没有该形式, 但类似地有fzadz的公式,公式中的z变成了这里 的2x4-1,故设2x4-1为中间变量.
解设:2z+1,dz:d_:d_, J.(2z+1)dz=.f"警=d"=
?"5+c=(2z+-)+c.
熟练以后,上述过程可写为:
.f(2z+1)4dz=.f(2z+1)= 吉.『(2+1)4d(2z+1)=12?(2z+1)5+c=
fo(2z+1)+f.
例2求.『【_d
分析:基本积分公式中没有该形式,但类似地有 1
z
dz的公式,公式中的z变成了这里的3—2z,故 设3—2x为中间变量
解.『dz=.『.=
一
吉-『【_d(3z一2)=一1ln(3z一2)+c. 2当被积函数是两个函数乘积的形式时 2.1被积函数中含有两个多项式,其中一个多项 式的次数比另一个多项式的次数高一次,这时设高 一
次的多项式整体为中间变量,目的是消去低一次 的多项式因式.
tN3求.『dz
分析:这里的商也可看作乘积的形式,被积函数 中含有两个多项式,其中一个多项式为2z+3,另一 个多项式为z+3z+6,多项式z+3z+6比 2z+3高一次,因此设多项式z+3x+6为中间变 量.
解dz=
f2x+3d(z+3z+6)
J+3z+62x+3一
J:d(z+3z+6)=
ln(x+3z+6)+c. 例4求fdz
收稿日期:2004—04—07
作者简介:许景彦(1966一).女,河北定州人.石家庄职业技术学院副教授
第6期许景彦等:凑微分法求不定积分的解题技巧41
分析:被积函数中含有两个多项式,其中一个多 项式为3即3x1,
另一个多项式为1~[1x-1,多
工
项式3z比z—1高一次,因此设多项式3为中间
变量.
解』e3,Hdz=』1eqzz
d(3,/z)
,
11
j'
,/Z
fsinzd(COSz)
JCOS一SlnZ
—
f一d(.z):一ln(.)+JC0SZ 求Jarcsinx1()?一z
分析:被积函数中,=t=恰好是arcsinx的 1一工
导数,因此设arcsinx为中间变量. 2fe3"Gd(3~)=2e3+c.解
2.2被积函数中,其中一部分函数恰好是另一部
分函数的导数,设这里存在导数的那一部分函数为
中间变量,目的是消去它的导函数.
例5求Itnzdz
分析:被积函数tanz=—sin—x,cosz的导数是
cosZ
—
sinz,因此设cosz为中间变量.
解z出=』dz=
参考文献:
[I]阎章杭.高等效学与工程数学[M].北京:化学工业出版社,2003.7 d(arcsinx).一=
.
J'arcsinz)d(arcsinz)=一+arCSlnZ
以上凑微分法求不定积分采用"换dx为
"的技巧,易于学生掌握,不妨一试.
责任编辑:金欣
Theskillofcalculatingindefiniteintegralby takingadvantageofdifferentiation XuJing—yan.SHINing
(DepartmentofBasicEducation.ShijiazhuangVocationalTechnologyInstitute,Shiji~zhua
ng050081,China)
Abstract:Byusingtwocases,itisdemonstratedthatwhilewetakeadvantageofdifferentiatio
ntocalculate
indefinitintegra1.weuse"change''not"takeadvantageof".
Keywords:takeadvantangeofdifferentiation;indefinitintegral;skill
(上接第39页)
参考文献:
[1]D?s密特利诺维奇.解析不等式[M].北京:高等教育出版社,
l992.158.165.
[2]刘玉琏.数学分析[M]
230.
北京:高等教育出版社.1992.205.
责任编辑:金欣
Testimonyofinequality
LIUJiang—yu,HAOXiang—zhi,CHENPei—ning
(1.DepartmentofBasicEducation.ShijiazhuangVocationalTechnologyInstitute.Shijiazhuang050081.China
2.DepartmentofMathematics.ShijiazhuangCollege.Shijiazhuang050801.China) Abstract:Advancedmathematics,providingwithalargenumberofinequalityandequality,canbeusedtO
proveelementaryinequalityasamodeltostudymathematics.Itcanmaketestimongprocessmuchsimpler.
Keywords~elementaryargebra;inequality;testimony
壹一量一一S一.—C一一砥一l3一一一一