2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案
2.2 最大值、最小值问
1.问题:如何确定你班哪位同学最高?
提示:方法很多,可首先确定每个学习小组中最高的同学,再比较每组的最高的同学,便可确定班中最高的同学.
2.如图为y=f(x),x∈[a,b]的图像.
问题1:试说明y=f(x)的极值.
提示:f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的极小值.
问题2:你能说出y=f(x),x∈[a,b]的最值吗?
提示:函数的最小值是f(a),f(x2),f(x4)中最小的,函数的最大值是f(b),f(x1),f(x3)中最大的.
问题3:根据问题2回答函数y=f(x),x∈[a,b]的最值可能在哪些点取得.
提示:在极值点或端点中.
1.最值点
(1)最大值点:函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).
(2)最小值点:函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0).
2.最值
函数的最大值与最小值统称为最值.
(1)一般地,连续函数f(x)在[a,b]上有最大值与最小值.
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值.
(3)函数的极值可以有多个,但最大(小)值最多只能有一个.
求函数的最值
[例1] (1)求函数f(x)=x3-
(2)求函数f(x)=
[思路点拨] 先利用导数求极值,然后与端点处的函数值比较得最值.
[精解详析] (1)因为f(x)=x3-
所以f′(x)=3x2-x-2.
令f′(x)=0,解得x1=-
因为f
所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值是7,最小值是-1.
(2)因为f(x)=
所以f′(x)=
令f′(x)=0,解得x1=
因为f(0)=0,f
所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π,最小值是0.
[一点通] 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:
(1)求函数的导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的全部实根x0;
(3)将f(x0)的各个值与f(a),f(b)进行比较,确定f(x)的最大值与最小值.
1.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最大值为________.
解析:因为f′(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0,
∴函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值f(1)=-6.
答案:-6
2.求函数f(x)=sin 2x-x在
解:f′(x)=2cos 2x-1.
令f′(x)=0,x∈
解得x=-
而f
f
所以函数f(x)的最大值为
3.已知函数f(x)=
解:当a=
f′(x)=
令f′(x)=0,得x=2.
当x∈[1,2)时,f′(x)<0,故f(x)在[1,2)上是减少的;当x∈(2,e]时,f′(x)>0,故f(x)在(2,e]上是增加的.∴f(x)在区间(1,e]上有唯一的极小值点,故f(x)min=f(x)极小值=f(2)=ln 2-1.
∵f(1)=0,f(e)=
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为0.
已知函数的最值求参数的值
[例2] 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
[思路点拨] 利用导数求出f(x)的最值(用a,b表示),列方程求a,b的值.
[精解详析] 显然a≠0,f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
+
0
-
f(x)
-7a+b
最大值
-16a+b
∴当x=0时,f(x)取得最大值.∴b=3.
又∵f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),∴当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,即a=2.
②当a<0时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
-
0
+
f(x)
-7a+b
最小值
-16a+b
∴当x=0时,f(x)取得最小值.
∴b=-29.
又∵f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),∴当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,即a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用,解题时一般采用待定系数法,列出含参数的方程或方程组,从而得出参数的值,这也是方程思想的应用.
4.如果函数f(x)=x3-
解析:f′(x)=3x2-3x=3x(x-1),
令f′(x)=0,得x=0或x=1.
当-1
0,则f(x)为增函数;
当00.求a的值.
解:f(x)的定义域为(-a,+∞).
f′(x)=1-
由f′(x)=0,解得x=1-a>-a.
当-a1-a时,f′(x)>0,f(x)在(1-a,+∞)上是增加的.
因此f(x)在x=1-a处取得最小值,
由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.
6.设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为
解:函数f(x)的定义域为(0,2),
f′(x)=
(1)当a=1时,f′(x)=
(2)当x∈(0,1]时,f′(x)=
即f(x)在(0,1]上单调递增.
故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=a,因此a=
生活中的优化问题
[例3] 某种商品每件的成本为9元,当售价为30元时,每星期可卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,每星期可多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
[精解详析] (1)设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2,若记商品在一个星期里的获利为f(x),则有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2),
又由已知条件,24=k×22,于是有k=6.
所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,21].
(2)根据(1),f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).
令f′(x)=0,即-18(x-2)(x-12)=0,得x1=2,x2=12.
当x变化时,f′(x),f(x)如下表:
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
9 072
极小值
极大值
0
因为f(0)=9 0720).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽x应为( )
A.
C.
解析:设断面高为h,则h2=d2-x2.设横梁的强度函数为f(x),则f(x)=k·xh2=k·x(d2-x2),0要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问:x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问:x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).
由已知得
a=
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,
所以当x=15时,S取得最大值.
(2)V=a2h=2
由V′=0得x=0(舍去)或x=20.
当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.
此时
PAGE
1
_1580644828.unknown
_1580644830.unknown
_1580644831.unknown
_1580644829.unknown
_1580644827.unknown