2极限与连续

第2章 极限与连续 第2章 极限与连续 §2.1 极 限 1. 极限的概念 （1）数列的极限： ， （正整数），当 时，恒有 或 几何意义：在 之外， 至多有有限个点 （2）函数的极限 的极限： ， ，当 时，恒有 或 几何意义：在（ 之外， 的值总在 之间。 的极限： ， ，当 时，恒有 或 几何意义：在 邻域内， 的值总在 之间。 （3） 左右极限 左极限： ， ，当 时，恒有 或 右极限： ， ，当 时，恒有 或 极限存在的充要条件： （4）极限的性质 唯一性：若 ，则 唯一 保号性：若 ，则在 的某邻域内 EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 有界性：若 ，则在 的某邻域内， 有界 2. 无穷小与无穷大 （1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以 为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。 注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。 例如当 时， 是无界变量，但不是无穷大量。 （2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小； 成立的充要条件是 （ ， ） （3）无穷小的比较（设 ， ）： 若 ，则称 是比 高阶的无穷小，记为 ；特别 称为 的主部 若 ，则称 是比 低阶的无穷小； 若 ，则称 与 是同阶无穷小； 若 ，则称 与 是等价无穷小，记为 ； 若 ，（ ）则称 为 的 阶无穷小； （4）无穷大的比较： 若 ， ，且 ，则称 是比 高阶的无穷大，记为 ；特别 称为 的主部 3. 等价无穷小的替换 若同一极限过程的无穷小量 ， ，且 存在，则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换； （2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即 若 ， ，则 4. 极限运算法则（设 ， ） （1） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 特别地， ， EMBED Equation.3 （3） EMBED Equation.3 ( ) 5.准则与公式（ ， ） 准则1：（夹逼定理）若 ，则 准则2：（单调有界数列必有极限） 若 单调，且 （ ），则 存在（ 收敛） 准则3：（主部原则） ； 公式1： 公式2： 公式3： ，一般地， 公式4： 6. 几个常用极限 （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ； （5） ； （6） §2.2 函数的连续与间断 1. 连续的概念（设 在 有定义） （1）若 ，则称 在 处连续 （2）若 ，则称 在 处连续 连续的三条件： 由定义； ； （3）若 ，则称 在 处左连续；若 ，则称 在 处右连续；若 在 内连续，在 处右连续， 在 处左连续，则称 在 上连续。 2. 间断点及其分类 （1）若 在 处不连续，则称点 为 的间断点。 （2）左右极限都存在的间断点称为第一类间断点（跳跃间断和可去间断）；左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点（无穷间断和振荡间断）。 3. 初等函数的连续性 （1）若 ， 均在 处连续，则 ； ； （ ），在 处也连续。 （2）若 ， ，则 ，且 （交换符号次序）； （变量代换） 特别地，若 ， ，则 （3）若函数 在某区间上单值、单调、连续，则其反函数 在相应区 间上也单值、单调、连续。 4. 闭区间上连续函数的性质 有界与最值定理：若 在 上连续，则 在 上有界，且必有最大值（ ）与最小值（ ）。 介值定理：若 在 上连续，则对介于两端点之间的任意实数 ，至少有一点 ，使得 ，或 ，至少有一点 ，使得 零点定理：若 在 上连续，且 ，则至少存在一点 ，使得 。 注意：基本初等函数在其定义区间内连续；一切初等函数在其定义区间内连续。 §2.3 典型例解析 1．利用定义求数列的极限 解题思路 利用恒等变形和不等式的缩放化简 ，求出 与 的关系或利用已知关系，确定 的取值。 例1 求证下列各题 （2）已知 ， ，证明 ； 证 由于 ， ， ，当 时，有 ； 由于 ， ， ，当 时，有 ； 取 ，则当 时，有 ，即 （3）已知 ，且 ，证明 。 证 由于 ， ， ，当 时，有 又 ，则 或 ，则 2．利用初等变换求极限 解题思路 利用已知展开式、分子分母同乘共轭因子、变量代换、恒等变形等求解 例2 求下列极限 （1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） EMBED Equation.3 （1）解 （2）解 原式 （3）解 原式 EMBED Equation.3 （4）解 EMBED Equation.DSMT4 （5）解 ； ，故 不存在 （6）解 原式 3．无穷小的比较、利用等价无穷小求极限 解题思路 （1）利用极限 ，确定 是 的 阶无穷小； （2）熟记等价无穷小的公式。一般乘除情形才能替换，加减情形：若拆项分别极限存在（分母不为零）可替换，若拆项分别极限不存在可考虑用无穷小的主部原则或泰勒展开式求解。 例3 求解下列各题 （1）当 时， 是 的多少阶无穷小； 解 是 的二阶无穷小 （3）当 时， 与 是同阶无穷小，求 的值 解 令 ，原式 例4 求下列极限 （2） （2）解 EMBED Equation.DSMT4 （4） （4）解 原式 EMBED Equation.DSMT4 （5） ； （5）解 原式 （6） （6）解法1 原式 解法2 4．利用公式 求极限 例5 求下列极限 （1） （1）解法1 令 ， 解法2 （2） （2）解 （3） （3）解 因为 EMBED Equation.3 所以 EMBED Equation.3 （4） （4）解法1 解法2 解法3 ，且 ，故 5．利用无穷大与无穷小的主部原则求极限 例6 求下列极限 （1） ； （1）解法1 原式 解法2 原式 （2） ； （2）解法1 原式 解法2 原式 （3） （3）解 （4） （4）解 ； ； 例7 求下列极限 （1） ； （2） 分析： 当 时， ， ； ， ， ； 均是 的高阶无穷小，求极限时可略去 （1）解 原式 （2）解 原式 6．利用夹逼定理求极限 解题思路 利用已知不等式和函数的缩放，或考虑 的最值建立不等式。 例8 证明下列极限 （1） 设 总有 ，求证： ； 证 因为 ，即 当 时， ， EMBED Equation.3 当 时， ， EMBED Equation.3 由夹逼定理知 （2）设 ， ，求 解 设 ，则 由夹逼定理知 ， （5） ， 证法1 由于 ，则 ， 证法2 ， 7．通项为 项和数列极限的求法 解题思路 （1）用数列求和公式或分项的方法求 项和的表达式； （2）适当放大缩小用夹逼定理求解； *（3）用定积分的定义求解； *（4）用数项级数求和的方法求极限。 例9 求下列极限 （2） 解 由于 ，且 ， （3） 解 （5） ； 解 由于 ，则 （6） （ ， ， ） 解 EMBED Equation.DSMT4 其中， 8．含参变量极限的求法 解题思路 （1）利用参变量的不同取值范围分别求极限； （2）利用参变量的递推关系求出系数的部分和求解。 例10 求 ， ， 为正整数。 解 ； ； 当 时， ， ，故 当 时， ， ，故 综上所述 ， 例11 求 ，（ ） 解 当 时， 不存在； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 综上所述， 例12 设 在 的邻域有界，且 ， ，求 解 由 ，用 替换 ，两边乘 递推得 ； ； EMBED Equation.DSMT4 将上述各式相加得 9．求极限的反问题 解题思路 （1）利用已知极限确定常数：一般地，设 ， 若 ，则 ；若 ，且 ，则 （2）利用已知极限存在求极限：设 ，对已知关系式再取极限，通过解极限方程求出 ；或利用已知极限同阶无穷小的关系，间接求解； （3）利用已知极限求函数的解析式：由已知极限同阶无穷大/小的关系确定函数的多项式结构，带回极限式求出常数。 例13 由下列已知条件求 的值 （2） ； （2）解法1 比较分子分母的系数得 EMBED Equation.DSMT4 解法2 原式 解法3 原式 （3） ； （3）解 （4） （4）解 ， 任意 其中， ； 例14 求解下列各题 （1）若数列 收敛，且 ， ，求 ； 解 设 ，则 两边取极限得 ， （舍去） （2）已知 存在，且 ，求 的值； 解 设 ，则 ，两边取极限得 则 ，故 （3）设 ，求 解 由于极限存在，且 ，可知 ，则 原式 例15 设 为多项式，且 ， ，求 解 由 得知分子为二次多项式，故设 又因 ，得 ，即 则 故 例16 设 是三次多项式，且 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，求 及 解 因为 EMBED Equation.3 ，所以 ，故 ， 均为 的因式，令 , 则 ， EMBED Equation.3 10．利用单调有界数列必有极限准则求极限 解题思路 （1）证明极限存在：利用数学归纳法或比较相邻项大小确定数列的单调性，由通项式的递推关系和缩放确定其有界性； （2）令 ，代入取极限的通项关系式，化为代数方程求解； （3）若数列不具单调的，则极限的存在性可用定义求证。为从证法获得提示，可先求极限值，后证存在性。 例17 设 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，证明 存在，并求其值 证 ，设 ， ，则 由于 ，设 ，则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 即 ，故 有界，极限存在。设 ，则 EMBED Equation.3 解得 ，负根舍去，所以 例20 已知 ， ， ， ，证明 存在，并求其值。 解 若极限存在 ，，则 ，即 ， （舍去） 存在性：由于 ， ，则 （当 足够大时） 由极限定义知 11．有关函数连续与间断的命题 解题思路 （1）若已知函数在某点连续，则该点极限符号与函数符号可以交换次序，函数的极限值等于函数值； （2）若已知分段函数在分段点连续求常数，则根据函数连续三条件求解； （3）讨论分段函数的连续性实际上就是讨论函数在其分段点的左右极限； 例22 设 在 上连续， ， ，且 ，求 解 由于 ，则 取 ，得 ，故 ， 例23 讨论 在 处的连续性 （1） 解 故当 时， 在 处连续. （2） 解 ； ； 当 ， 时， 在 处连续； 当 ， 时， 是 的第一类（跳跃）间断点； 当 时， 是 的第二类（振荡）间断点。 例24 设 为连续函数，求 分析：由参变量的不同取值范围求极限即 的表达式，再根据连续三条件求解 解 EMBED Equation.DSMT4 12．利用介质定理证明方程根的存在性 解题思路 （1）将方程移项为 ， 即为辅助函数；验证 在 上满足零点定理或介质定理的条件； （2）形如 或 的命题，作辅助函数 或 ；验证 或 在 上满足零点定理或介质定理的条件； （3）反证法：若方程不成立（无零点），则区间上函数不变号，由区间端点函数值符号相异得出矛盾结论。 例25 证明方程 （ ， ），至少有一个正根 ，且 。 证 令 ，显然 在 上连续，又 ； EMBED Equation.3 若 ，取 即为方程正根； 若 ，有 ，则 ，由零点定理有至少存在一点 ，使得 例26 证明奇次方程 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 必有实根。 证 设 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，则 在 连续，且 故当 充分大时，存在 ，使得 ， ，由零点定理必有 ， 例28 设 在 上连续，且对任何自然数 ， 在 上严格单调，若 ，求证存在唯一的 ，使得 ，并求 证 由题设条件知， 满足零点定理条件，至少存在一点 ，使得 ，又 在 上严格单调，故 是 内的唯一零点，则 例29 设 在 上连续，且 ，证明：至少存在一点 ， 使得 ，其中， 为任意正常数。 证法1 在 上连续，必有 ，则 ， 由介质定理，至少存在一点 ，使得 证法2 令 ，显然 在 上连续，且 当 时，取 或 ，命题成立； 当 时， ，由零点定理有 ， 例30 设 在 上连续，且 ，证明：存在一点 ，使得 证法1 设 ，显然 在 或 上连续，又 EMBED Equation.3 当 时，取 ，命题成立； 当 时， ，由零点定理知，至少存在一点 或 ，使得 ，即 证法2 反证法，设 ，则由函数的连续性知 在 内不变号，不妨设 ，则 EMBED Equation.DSMT4 这与 矛盾，故存在一点 ，使得 例31 设 在 上连续，且 。证明：在 上至少存在一点 ，使得 证 设 ，则 在 上连续 ； ； ； 故 或全为0或至少有两个值异号，由介质定理知： 当 全为0时， EMBED Equation.3 ，有 当 不全为0时，至少有两个异号，设 ， 异号，则 ， EMBED Equation.3 PAGE 2 _1197162932.unknown _1225048368.unknown _1233296397.unknown _1233645953.unknown _1235085374.unknown _1248938849.unknown _1254139074.unknown _1254978791.unknown _1254978952.unknown _1255951693.unknown _1254978941.unknown _1254158312.unknown _1254158752.unknown _1254977599.unknown _1254158579.unknown _1254139468.unknown _1254140885.unknown _1253776403.unknown _1253795625.unknown _1253797157.unknown _1253804142.unknown _1253804231.unknown _1253803613.unknown _1253796671.unknown _1253795507.unknown _1248954997.unknown _1253685404.unknown _1248939904.unknown _1248940024.unknown _1248940035.unknown _1248938996.unknown _1235085436.unknown _1235085478.unknown _1248909964.unknown _1248909983.unknown _1235085468.unknown _1235085396.unknown _1235085427.unknown _1233663203.unknown _1233736781.unknown _1234074362.unknown _1235085268.unknown _1235085316.unknown _1235085327.unknown _1234074533.unknown _1234077066.unknown _1234077964.unknown _1234078685.unknown _1234077930.unknown _1234076307.unknown _1234074385.unknown _1233740355.unknown _1233743522.unknown _1234041641.unknown _1233740739.unknown _1233740210.unknown _1233736603.unknown _1233736671.unknown _1233736697.unknown _1233736647.unknown _1233730382.unknown _1233731275.unknown _1233734304.unknown _1233663216.unknown _1233649816.unknown _1233658034.unknown _1233658649.unknown _1233658825.unknown _1233659141.unknown _1233658336.unknown _1233650157.unknown _1233657023.unknown _1233657331.unknown _1233657428.unknown _1233657547.unknown _1233657233.unknown _1233650250.unknown _1233650802.unknown _1233650039.unknown _1233650059.unknown _1233649873.unknown _1233649240.unknown _1233649273.unknown _1233649790.unknown _1233649261.unknown _1233646064.unknown _1233649098.unknown _1233645986.unknown _1233582049.unknown _1233643929.unknown _1233644200.unknown _1233644949.unknown _1233645790.unknown _1233644925.unknown _1233643957.unknown _1233644058.unknown _1233582188.unknown _1233582647.unknown _1233599087.unknown _1233611819.unknown _1233643881.unknown _1233611490.unknown _1233611662.unknown _1233586430.unknown _1233595814.unknown _1233596036.unknown _1233590830.unknown _1233584842.unknown _1233585270.unknown _1233582537.unknown _1233582603.unknown _1233582540.unknown _1233582299.unknown _1233582378.unknown _1233582214.unknown _1233582090.unknown _1233582173.unknown _1233333392.unknown _1233358893.unknown _1233359166.unknown _1233359859.unknown _1233582001.unknown _1233359620.unknown _1233359021.unknown _1233359056.unknown _1233357898.unknown _1233358876.unknown _1233357378.unknown _1233315617.unknown _1233333054.unknown _1233333138.unknown _1233332771.unknown _1233332999.unknown _1233319728.unknown _1233296582.unknown _1233296784.unknown _1233315299.unknown _1233296492.unknown _1229859619.unknown _1230280552.unknown _1233243882.unknown _1233295856.unknown _1233295913.unknown _1233295941.unknown _1233296061.unknown _1233295923.unknown _1233295884.unknown _1233245534.unknown _1233245771.unknown _1233246013.unknown _1233295835.unknown _1233245937.unknown _1233245730.unknown _1233244644.unknown _1233245501.unknown _1233244706.unknown _1233244074.unknown _1233240826.unknown _1233243599.unknown _1233243753.unknown _1233243738.unknown _1233240886.unknown _1233240774.unknown _1233240787.unknown _1230280705.unknown _1229926795.unknown _1229939200.unknown _1230271901.unknown _1230272407.unknown _1230279475.unknown _1229943504.unknown _1230242235.unknown _1229939984.unknown _1229926845.unknown _1229937415.unknown _1229937574.unknown _1229937629.unknown _1229937489.unknown _1229926887.unknown _1229923049.unknown _1229926425.unknown _1229923350.unknown _1229869385.unknown _1229922974.unknown _1229859911.unknown _1229667136.unknown _1229668040.unknown _1229674186.unknown _1229808588.unknown _1229808617.unknown _1229805763.unknown _1229806579.unknown _1229674070.unknown _1229674091.unknown _1229668103.unknown _1229673122.unknown _1229667311.unknown _1229667454.unknown _1229667659.unknown _1229667382.unknown _1229667225.unknown _1229667201.unknown _1229201578.unknown _1229235955.unknown _1229261477.unknown _1229665773.unknown _1229666140.unknown _1229449227.unknown _1229665346.unknown _1229263152.unknown _1229335754.unknown _1229263094.unknown _1229244091.unknown _1229248543.unknown _1229253499.unknown _1229260091.unknown _1229248598.unknown _1229244100.unknown _1229238307.unknown _1229242250.unknown _1229238285.unknown _1229238197.unknown _1229205940.unknown 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