向量法求空间距离举隅

上转移到 F点 ，即可求 出 F点到平面 PEC的 距离．其基本原理是根据直线和平面的距离的 定义 ：一条直线和一个平面平行，这条直线上任 意一点到平面的距离相等． 3．等积转移 例 4 (1995年全国高 考题)如图 4，圆柱的轴截 面 ABcD 是 正 方 形 ，点 E 在 底 面 的 圆 周 上 ，AF j- DE，F是垂 疋． (1)求证 ：AFj-DB； C (2)如 果 圆柱与 三棱锥 图4 D—ABE 的体 积 比等 于 37r，求点 E 到截 面 ABCD 的距 离． (1)略． (2)设 圆柱轴 截面边长为 a，点 E到平 面 ABCD 的距离 为 d． 因为圆柱 的轴截 面 ABCD 是正方形 ， ● 朱 朋 文U 坦 △ 。 = 吉AB· D一吉·2n·2n = 所以VE--ABO= 仙 =吉·丢n2·d = 丢 ． 竽)z．AD=X~ra3． 由题设{]- ~a3—3 ，所以 一丢n． 由题设车一一 ，所以 一丢n． ÷n。d 所以点E到截面ABCD的距离为告n． 评注 ：求点 E到截面 ABCD的距离 ，利用 等积转移的方法 ，即由三棱锥 E--ABD的体积 自等 D--ABE的体积．转求出三棱锥 E--ABD 的高，使三棱锥的“换底术”得到运用．采用等积 变换是数学中转换与化归的重要的思想方法． | I 舻 獭 || 向量 法求空间距离举隅 向量法求空间距离，省去了传统教材中常 用 的“一作、二证、三计算”的繁杂过程，简单易 掌握 ，现举几例 ，以飨读者． 1．空间两点问的距离 例 1 已知 正 四棱锥 R—A8CD 的底 面边 长为 4，高为 6，点 P是 高的中点，点 Q是侧 面 RBC 的重心 ，求 P、Q 两点 间的距 离． 解：如图 1所示，建立空间直角坐标 系，其 中 0是底面中心，Ox∥BC，O ∥AB，OZ与 0R重合，则 R(O，0，6) 因为 P是 R0 的中点 ，Q 是△RBC 的重 心 ， 所 以 P(0，0，3)，Q (0， 4 ，2) 所 以 I PQ l= 5 图 i 3。 所以P、Q两点间的距离为号． 例 2 三棱锥 — ABC 中，VA、VB、VC两 ·11· 维普资讯 http://www.cqvip.com 两垂 直，P 是底 面 ABC 内一点 ，且 点 P 到三个 侧 面的距 离分 别为 2，3，6，则 点 P 到顶 点 的 距 离是 ． ‘ 略解：以 为原点 ，分别 以射线 A、VB、 VC为 轴、Y轴、 轴 ，建立空间直角坐标 系， 则 P(2，3，6)，V(0，0，0)，所以 I P I一7． 例 3 已知 半 径 为 r的 圆 O，两 条 直 线 AB、CD 交成 45 角，将 圆 沿 CD 折 叠成 120 的 二 面 角，则折 叠后 A、B 两点 的距 离是 ． C 圈 2 解 ：如图 2，作 AM上CD，BN上CD， 则< ， >=120。， IAMI： IBNI一 r，IMNI一 r． I 劢 +商 + )z = I 商 神 z +2 · 一2 · 杏 +2 ．硫 一 1+2+~---2X × c。s12o。 一 三 2‘ 所以IAB I一—4 14 ． 2．点 到线的距离 例 4 如 图 3，已 知 长 方 体 ABCD — AlBlClD1中，AB一2，AA1一AD一1，求 D1到 AC距 离． 解：作 DE上AC于 E， 因为 A(1，0，O)，C(O，2，O) 所 以 一(--1，2，o)， 所 以 一 +t 一(1--t，2t，o)． 所 以 E(1一t，2t，O)． 则 一(1--t，2t，--1)． ·12· 由 ． 一0，得 E( ， 2 ，o)． 0 0 所以lD。El 一 一丁3J-g- ． 3．异面直线间的距离 例 5 已知 正 方 体 ABCD— 1B1C1D1的 棱长 为 1，求直 线 DA。与 AC的距 离． 解：如图 4，建立空间直角坐标系 D一 ， 贝ⅡA(1，0，1)，C(O，1，1)，A1(1，0，O)，D(O，0， 1)， 设 E∈AC，则 一(--1，1，o)， 一(1， 0，一 1)． 设 EEAC，FEDA1， 则可设点 E，F的坐标分别为 E(1一口，口，1)，F(b，0，1--b)，所 以 一 (6+口 一 1，一口，--b)， 令 j- ：， j- ， 则有 · =o， · 一o． 所 以 I22 口 b+ + a 6一 -- 1 l 一 = 。 O ． , 解得口=6一了1，所以 =(吉， 1，吉)． 所以I I一牟 ． 所以直线 DA。与 AC的距离为 ． 4．点 翻面的距离 例 6 如 图 5，已知 四棱锥 —A8ClD 的底 面边长为 2，高VO为 1，VB的中点为 M，求点 M 到平面 VDC 的距 离． 分析 ：对于平面 口外一点 P，在平面 口内任 取一点 A的向量 ，设 呻。为平面 口的—个单位 法向量，则 在向量；；。上的射影长度l · 。l 维普资讯 http://www.cqvip.com 就是 点 P 到平 面 口的距 离． 解 ：如 图建立 空间直 角坐标系 则 (O，0，1)，C(一1， 1，0)，D(——1，——1，0) 所 以 一 (1，一 1， 1)，D 一 (1，1，1)． 图5 设平 面 VDC的法 向量 ；；一( ，Y， )． ● 梁克强 {x +--y ++z =．。．O,令． 一 ，得；；一 1,0,--1 ， 所以 ；；。一(- -y-,u , 2 )． 又 M 为 B 中点，所以 M 1 ， 1 ， 一 丢)． 所以 —l ．；；。l一 2 ． 所以点 M 到平面 Dc的距离为 ． 含两个参数的范围问题 圆锥曲线求参数范 围问题，是近几年 的热点．其中尤 以含有两个参数问题较难，解这 类问题的关键在于寻求两个参数的关系． 例 1 已知 直线 Z： —kx(五≠ O)’和 顶 点 为 C 的抛物 线 C：(y+1) 一3 ( 一1)有公共 点，点 P (口，O)关 于直线 Z的对 称 点 为 Q，若 ClQ 垂 直 于抛 物 线的对称 轴 ，求 口的取 值 范 围． ， Q 爻 ／ ／ 一 ．． P G ‘＼． rC x ． 解析：这里有两个参数 k．a，要研究 口的取 值范围，可以首先 由直线 z与抛物线 c有公共 点，利用判别式求得 k的范围，再运用对称的条 件寻求出 和 口的关系，通过解不等式 即可推 出 口的范 围． 把 z：y=kx代入 C：( +1) 一3( 一1)，得 五 +(2 一3)z+4—0． 凼 为 1与 C有 公 共 点 且 是≠ 0． 所 以 △一(2h--3) --16k ≥0． 解 得 一 3 意 1 ，且 五≠ 0． 如图 1，抛物线顶点 C(1，一1)．而 CQ垂直 于抛物线的对称轴，故可设 Q(1，Yo)． 因为 P(a，O)和Q(1，y。)关于直线 z对称． 所 以 I 一一 【 1一 口 k 消 。得 k2~a 口十 - x ． 由一 3 意 1 ，且 五≠ 0． 得o≤五 ≤詈， 即0<藉≤{． 解得 口≤一 或 口>1． ·13· 维普资讯 http://www.cqvip.com