电磁波01

nullnull第1章 矢量分析一、矢量和标量的定义二、矢量的运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度六、矢量场的旋度五、矢量场的散度七、重要的场论公式null一、矢量和标量的定义1.标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如：温度 T、长度 L 等null例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？图示法： 力的图示法： null二、矢量的运算法则1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：null根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：null矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算： null2.减法：换成加法运算在直角坐标系中两矢量的减法运算： null3.乘法：（1）标量与矢量的乘积：（2）矢量与矢量乘积分两种定义a. 标量积（点积）：null在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。null推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。null在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：null（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a. 标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。null注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：null例2：解：则：设null例3： 已知null其中：k 为任意实数。CABnull三、矢量微分元：线元、面元、体元例：1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：null2. 圆柱坐标系线元：面元：体元：null3. 球坐标系线元：面元：体元：nulla. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：注意：null体元：线元：面元：正交曲线坐标系：null四、标量场的梯度1. 标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。以温度场为例：热源等温面nullb.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：2. 标量场的梯度a.方向导数：空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。null计算：在直角坐标系中：所以：梯度也可表示：null在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：null五、矢量场的散度1. 矢线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2. 通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：若曲面为闭合曲面：null讨论：a. 如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b. 如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c. 如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量等于穿出的通量。null3. 散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 b.表达式：c.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。null因为：则：在 x 方向上的总通量：null整个封闭曲面的总通量：null该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：4.散度定理：物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。null柱坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式null六、矢量场的旋度1. 环量： 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。2. 旋度:定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：null旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：场矢量：旋度可用符号表示：null其中：可得：同理：所以：旋度公式：null为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式： 对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。null3. 斯托克斯定理：物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。null七、重要的场论公式1. 两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。 说物理意义，就是一个矢量场如果能表示成某个标量场的梯度，那么在这个矢 量场上就可以定义势函数，使得势函数的函数值仅和位置有关，任何势函数的 封闭回路积分都为0.表现为无旋。 那么这个势函数可以对应某个保守力，进一 步对应某个守恒量，再进一步对应某对称性。 既然角速度w旋转的圆盘产生垂直于圆盘的旋度(大小为2w)，就好比旋转的磁场 产场有垂直于磁场的电流通过一样。举个例子有一条平行于x轴的电场线，电场 强度为（f(x)，m,n),rotE=0 也就是说任意一点(x1,0,0)产生的电势都没有空间移 动的趋势，也就是说只在该点产生相应的电势 任何矢量场的旋度的散度恒为零。 null在圆柱坐标系中： 在球坐标系中： 在广义正交曲线坐标系中： 2. 拉普拉斯算子 在直角坐标系中：null3. 常用的矢量恒等式