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MBA数学复习资料 初 等 数 学 ?, 条件充分性判断 1. 定义:对于两个命题,和,(若由命题,成立，无例外的必能得出命题B也成立，即“AB”;这一命题为真命题，, 则称命题A是命题B成立的充分条件。 2. 条件与结论:在研讨两个数学命题的关系时，一般会有“条件”与“结论”之分。若由“条件命题”的成立，一定可推断出“结论命题”也成立，则称“条件”充分。若由“条件命题”成立不一定能推断出(或不可能推断出)“结论命题”成立，则称“条件”不充分。 3. 条件充分性判断的标准化答案选项: 条件(1)充分，但条件(2)不充分，选(A) 条件(2)充分，但条件(1)不充分，选(B) 条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和(2)联合 选起来充分。(即条件(1)和(2)都成立时，结论成立) (C) 条件(1)充分，条件(2)也充分，选(D) 条件(1)和(2)单独都不充分，联合起来仍不充分。 选(E) 4. 评述: 条件充分性判断的数学试题，一般是从给定的两个条件出发去分析和推断，除特殊题型外，不可从“结论”入手去求解～ 那样只能得到“条件”相对于“结论”的“必要性”而非“充分性”。 二(条件充分性试题解法: (,)(直推法:取两条件之一，去直推结论，若无例外的使结论都能成立，则条件充分(若不一定成立，或不可能成立，则条件不充分( 例,(某种西药的另售价,,,,年初与年底持平(但上半年曾涨价达,,,( (,)下半年该西药的另售价下调了,,,( (,)下半年该西药的另售价下调了,,,( 解:设,,年初另售价为元( a 由(,)有,,年底价格为:(1+25,)(1-25,)= a 1.25×0.8. ,aa 由(2)有,,年底价格为:(1+25,)(1-20,)= . aa ? 条件(,)充分，条件(,)不充分. 选 A. fx例,(方程:,,,, 有且只有一个实根。 ，， fxx,1fxx,1(1) = (2). -1= ，，，， 解:由(1)有: -1= 0 ?=0 或,, 是两个实根( x,1xx ? 条件(1)不充分。 由(2)有: x,1,, ?=,( x 条件(2)充分，选 (B) (,)定性法: 当题目比较简单明了，但没有定量的结论时，可以从条件成立时，结论是否有可能成立，来分析推断，而无需进行演算。 例1.某生产班组中，男工人数比女工人数少。 (1) 男工中团员人数是全班组人数的20%。 (2) 女工中未婚人数是全班组人数的52%。 解:由(1)只有再得知男工中非团员所占全班组人数的百分比，才能得出结论。 由(2)可知女工中未婚者已过总人数之半，男工比女工少的结论成立，选(B) 例2甲、乙丙三人参加竞走比赛，甲比丙走的快 (1) 甲的速度是乙的3/4，乙与丙速度之比是15/11 (2) 丙的速度是甲与乙速度之差的250%，甲与乙速度之比 为3/4 解:由条件(1) 甲速:乙速=75% 丙速: 乙速=11/15=73.3% 条件(1)充分 由条件(2) ?甲速-乙速?:乙速=25%=1/4 丙速为乙速的250%×25%=62.5% 条件(2)也充分。 选 (D) (3) 充分性否定法: 否定一个条件的充分性，只需从条件变元中找一个特殊 值推出与题干矛盾的结论，就可以得出条件不充分的结 论，但此方法对充分条件的判断无效。 22例1. 不等式 成立 42,,,,xxx (1) 实数x满足 ,,x,; 22 (2) 实数x满足 ,,,, x 解:由条件(1)取=0 代入原不等式得:2< -2 条件(1) 不充分。 3由条件(2)取=1代入原式得:< -2 条件(2)不x 充分。 ,(1),,,,22x现在考虑两条件联合起来,即 ,,,(2)02,,x,, x,1,,,02x,当时,将得到的结论是条件(1)、(2) 联合起来也不充分。 选(E) 2例2.关于的方程: 没有实数根( xxkxa,,，,2(4)0x ka(,) ,,，,,,; ,ka(,) ,， ,,,( 2k 解:由(1)可令=0 得:xx，,,880 方程有二实根。? 条件(1)不充分。 ? 22 由(,)得: 即 xkxx,，,,2860 2(12),k xx，,,860 211k ,, 解得:,， ,,，,824(12)k6k而?,是其子集，?条件(,)充分(选(B) (4)逆推法: 当所给条件因变元数量巨大，甚至多达无穷，不可能以推理或赋值法判断条件的充分性;而且结论成立的充要条件又是可求的时候。可从求出的充要条件出发，首先，看条件(1)、(2)是否为充要条件的子集，是子集的条件充分，不是子集的条件不充分。然后还要在条件(1)、(2)均不充分的情况下求出条件(1)、(2)的交集;若交集是充要条件的子集，则两条件联合起来充分，选(C).若交集不是充要条件的子集，则两条件联合起来也不充分，则选(E)。 24(2)50xaxa，,，,,x例1. 关于的方程: 有两个不等 的负实根( aa(,)<6, (2) >5. (05联考真题) 解:方程有两个不等的负实根的充要条件是: ,,0,2,aa,,614或,aa,，,20840,a,,,,20,,, a,5a,5 ,,,a,,50, ,,,,5614aa或, ? 条件(1)(2)都不充分，但条件(1)(2)联合起 来 即 x,6,, 是充要条件的子集，故联合起来充 分( 选(c). 42例,(关于的方程: 有四个相异的实根( xxk,，,20x 2kk (,),,,， (,),,,,( 3, 2txt,,(0)解:方程若有四个相异实根，则以为变元的二 2次方程: 必有两个相异的正实根 ttk,，,20 ,,,,,k>0 且k>0, 解得:,,k<1 条件(1)是充要条件k (0,1)的子集，条件(2)不是充要条件的子集，答案为(A) (5)化简条件法: 在题干条件和条件(1)、(2)的表述形式比较复杂时， 可以通过化繁为简,找出原条件等价的简明表达式,使 我们能看清条件与结论的关系。 32xxx,，，46 等式:,3.恒能成立32例,( xxx,,，33 2341xx,，2 (,),3,253xx，, 2(,)xx, 解:由题干条件有: 32xxxxxxx,，，,，,,46(2)(1)(3)2 =3 ,,32xxxxxxx,,，,，,,33(1)(1)(3)1 解得=1/2 x 21由(1)得:; 23101()xxxx,，,,,,或舍去2 由(2)得:(,,,)(，,),, xx 1, x或x,,3.,2 条件(1)充分，条件(2)不充分。 选 (A) 例2.的最小值为2. 22xy,(,) 实数满足条件: xyx,,，,8100; 2xy,(,) 实数是关于的方程:ttata,，，,220 的两实根。 22222xyxxxx，,，,，,,，(810)2(2)2解:由(1) 22 当且仅当=2时,， xy，,2x最小值 但这一结论不正确，把=2代入(1)得:x 2222821002,,,，,,,,,,yyyR(非实数) 条件(1)不充分。 ,xya，,2(1) , xya,，2(2)由(2)有: , ,2,,,，,,,4420(3)aa，，, ,解?,得: ,aa,,,12或 2222xyxyxyaa，,，,,,，2222 ，，，，，， 11722, 4244()aaa,,,,, 44 22 当=-1时 ， 条件(2)充分。 选 (B) xy，,2a最小值 (4) 图解法: 试题有时涉及集合的相互关系，或循环交叉的逻辑关系，凭空思考很绕人，但画图就很直观，可清晰地找到规律。 例1.设A、B为随机事件A=B成立 (1) P(AB)=0 (2)P(AB)=0 解:由条件(1)如图设全集为, ，黄色部分为,，绿色部分为 ，P()=0 即指(绿色)与,(红色)AABA 无公共元素，不相交，则B只能存在于A的内部( ,,?,,. 同理由条件(2)可得:,, 即条件(1)、(2)单独都 不充分，但联合起来是充分的，选(C) 例2.某单位共有职工40人，除8人因出差在外，其余都参加了职业技能考核，在计算机和外语两项考核中，有不少人只参加了一项，只有19人两项都参加了，可以推算出只参加了计算机考核的具体人数。 (,) 有且只有1人只参加了外语考核。 (,) 共有22人参加了外语考核。 解:由条件(1)如图有:设32人以全集(大圆)来表示。 A(红色)表示只参加外语考核的1人 B(黄色)两项都参加的19人 C(绿色)为只参加计算机工项考核者 CIAB,,,,,,()3211912()人 故条件(1)充分， CAB,,,,,,()322210().人由条件(2)有: ？选()D 三.典型例题解析: cab 例1. (04/10/14) ,, abbcca，，， 0,,,cab0,,,abc (1) (2) 解:由条件(2)设 abc,,,1,2,3` 则 cab31121 ,,,,,,,,,,,,1 abbcca，，，，，，12235132 ? 原式不成立。 条件(2)不充分，又因为两条件矛盾，现只需在A、E 中选择正确答案。 由条件(1) 0,,,cab cacbcaabcaabc()()()()，,，,，， 有且只,,, abbcabbcabbc，，，，，，()()()() ca 有: ? 即 ca,,0,,0，， abbc，， caab 同理?ab,,0 ? ,, abbc，，bcca，， 结论成立，条件(1)充分。 例2.实数满足: aabaab，,，ab,，， (1)a,0 (2 )ba,, 解:由条件(1)a,0 ? aa,, 则原式化为 ,，,，aabaab() ,,a0 两边同除 得: abab，,,， ab，,0ba,, 上式当且仅当 即时成立， 这已经说明，(1)，(2)联合起来是充分的。 ab，,0 由条件(2)有 结论化为: aabaab()()，,， 只有a<0时成立， 原式要想成立，两条件缺一不可， 应选(C) 例3.若干大小相同的小球，将它们紧挨着可以摆成一个正方 形，又恰好可以摆成一个正三角形工，而且小球既不多也不少，则小球数是一个定值。 (,) 摆成正三角形时一边共有8个球。 (,) 摆成正方形时比摆成正三角形时每边少摆两个 小球。 解:由条件(1)摆成正三角形时小球，第一排1个，第二排2个，第三排3个„„第八排8个，总共有: 恰好可以摆成每边6个的正方形，满足题干条件，定值为36。 n 由条件(,)摆成正三角形时的小球数是前个自然 n数的和，而和为自然数的完全平方的就只有,,了(此时，和为,,，恰好摆成每边,个的正方形( 选,( 例4.关于的两个方程: x 22xpxqxmxn，，,,,,，，,0;0 (pqmn,,,是实数)中，至少有一个方程有实根。 pqmn,，(1) (2) pmnq,，2() 22解: ,,,,,,Pqmn44;12 22222 ,，,,，,，,，,,,,pmnqpmpmpm4()2()012 ,,由上式可知，和中至少有一个大于或等于零。即结论12 成立。 条件(2)充分。 条件(1)中等式两端的变元各属一个方程，无交叉关系， 无法在判别式中应用，故推不出结论条件(1)不充分。 应选择(B) 222(1)(34)0xmxmmn，，,,，,的方程: 有两例5.关于x 个不等的有理根。 3 m(,)是有理数 (2)且， mn,n,1,Qm, 5 解:由条件(1) mn,,Q 22(1)8(34)mmmn，，,， ?= 其值可为任意有理数，不一定是有 理数的完全平，所以结论不成立。 由条件(,) 22,,，，,，(1)8(341)mmm 22,,，,,25309(53)mmm ? ? 为非零的有理数的完全平方 ,，,,(1)53mm x, 原方程的根是: 必有1,24xQ,,且xx, 结论成立，条件(2)充分，选 (B) 1,212 ac 例6.等式 :成立 ，,2 xy acb(1)、、组成等比数列， xy,acbb(2)分别是、和、的等差中项。 xy,解:条件(1)与无关，不可能充分。 bb 条件(2)中的在题干中不存在但与、的关系由ac条件(1)给出了，只能考虑两个条件都成立时，能否推出 结论成立。 abbc，，2 由(1)得: 由(2)有:bac,xy,,, 22 acaycxabccab，，，，()/2()/2 ，,, xyxyabbc()()/4，， 2(2)abacbc，， ,,22abbacbc，，， 即两条件“联合起来”结论成立，选 C( ?2.初数联考的基本概念 ,( 绝对值 〈,〉 定义:一个正数的绝对值是它本身， 一个负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值还是零( a实数的绝对值记作， 上述定义的数学表达式a 是: aa(0),, ,a ,,, ,,aa(0), 绝对值的性质: (,) 对称性:互为相反数的两个实数的绝对值 相等( 即:,,aa (,) 自比性:任意实数不大于它的绝对值，而 且不小于它的绝对值的相反数( 即: ,,,aaa (,)非负性:任意实数的绝对值非负( 即: a,0 (,)等价性:任意实数的平方的二次算数根就是 该数的绝对值( 2即: aa, (,)绝对值不等式的基本解法: 在的条件下a,0 afxaafxa,,,,,，，，，，， bfxafxaa,,,,,或fx，，，，，，，， caaaaaa，，,,,，,，，,,,，.，，1212nn (有限个实数之和的绝对值不大于它们绝对值之和)例如:求等式2538xxx,,，，,成立的充要条件( 解:等号成立的充要条件是: xxxx，,,,,,38038即或，，，， 3典型例题解析 112yxy,，,,230,,,x? 例,(若 则: ，，2xy 2(2)20xx,,,, 解:由已知有: , y,,30 ; x,2, ? , y,3, 111197y3从而 ,,,,,,x22xy2312 122xy,z例2. 实数，满足条件 xxyyzy，，，，,,4521 2 z(410)xy，则的值是______。 122 解:由已知有: xyyyz，，,，，，,2210，， 2 122 即 (2)(1)0xyyz，，,，，, 2 ,, ,,xyx，,,,202 ,, ? yy,,,,101,, ,,11 ,,zz，,,,0 22,, 11,,2z22 xy，,，，，,,(410)(42101)2 2 2xx,,56例3.不等式成立 ( x,3x,5 (1) (2) 解:由题干有: 2,xx,,,560,2,,,,,656xx,2xx,，,560,, ,,,16x, ,,,,x(1,2)(3,6), xx,,23或, 条件(1)、(2)都不是充要条件的子集，故都 不充分，但两条 x,3, 件同时成立，即联合起来时 , ,,x(3,5), x,,5, 是充要条件的子集，?条件(1)、(2)联合起来充分，选(C)。 是等差数列， 例4.数列lga,,n (1)数列为等比数列，且a,0; a,,nn a,0(2)数列为等比数列，且 。 a,,nn 解:由条件(2)为各项均为正值的一个等比数列>0 , aaa,,,nnn lglgaa,必为等差数列， ,,,,nn a,0由条件(1)? ?a,0 nn nN,对都成立。?两条件都充分。 选,( ab,,,,(1,1)(1,1)且ab例5.实数、满足. (1) (2)abab，,, ab,,0,0 解:两个条件都显然推不出ab,(1,1),,这一结论且看联合后 ab,0,, 如何, ,abab，,,, aabbaba,,,,,,1由条件(2)有 ，， a ,?b0 ?a,,,10 b 即，也就是说( aa,,,,,,，，,1(,1)1,a,,1,1，，，， 同理可以推出 (推理过程两个条件都用了， b,,(1,1) 即联合起来是充分的(? 选(;) 例,(axbxxba,,,,,,5,2,2,5其中则 ,, 的取值范围是( )( ,( ,( ,( ,( ,(( 0,50,32,53,50,3，，，,,,,,,, 解:( baabxxxx,,，,,，,,,，,,52523 (?) x,2,5,, babaxxx,,,,,,,,,,2(5)270，， 综上所述有: 选(,)( 03.,,,ba ?3.比和比例 一、 基本概念: a abb,,,(0),( 定义:两数相除谓之比，称为比b，a b a b为比的前项，为比的后项，称为比值，记作:a b a ab:,abcd::,d 。相等的比谓之比例，, 、称a b b外项，、称内项。 c ,( 比例基本性质: abcd::,,,adbc(1) abcdadbc::,,,b(2)若则称为和c的比例中a bb项，当、、均为正数时，是、的几何平均值，ccaa 即等比中项。 (3)若称与成正比例; yykxk,,(0)x k k 若称y与成反比例。其中称为比例yk,,(0)x x 系数。 我们称以百分数形式表示的比值为百分比。若 : b=c% 则a 称是b的c%，即=b.c% aa 二、知识点评述: 在联考的数学试题中，比和比例包括百分数，占有很大的比重，在历年试题中约占1/3到1/2，只有2005年占1/6。但仍是必考内容，应重视。 一般较复杂的经和比例的试题都可用设出比例系数的方法，达到用比例系数k来代换试题中的多个变量，由题设条件首先求出k值，则其它变量的值也就随之确定了。 解百分数问题的关键有两点，道德要确定每一个百分比的标准量(100%)，然后是熟练使用解百分数题的口诀，求标准量，除;求部分量，乘。增长时乘除“1加”，缩减时乘除“1减”。 三、典型例题解析: 111 z例1.设 则使 ++=74成立的值是 ::4:5:6,yyx xyz 7437 (A)24 (B)36 (C) (D) 32 (此题是02年联考第5题) 111 111yxzxyz,,,,,解:设 即 则有: k,,,,0 456kkk456 111 ，，,,，，,，741512107460k 456kkk 11 ,,,ky代入 1205k 120 y,,24 ? 应选择(A) 5 例2.把共计68万元贷款，用于下属三个工厂的改造，结果甲、乙、丙三个工厂按比例依次得到36万元，24万元，8万元。(03联考) 111 :: (1)甲、乙、丙三厂按 的比例分配。 239 (2)甲、乙、丙三厂按9:6:2的比例分配。 111 ::9:6:2, 解:由条件(1) ? 条件(1),(2)是等价的.因此, 239 正确答案只能是(D)或(E).将68万元分为(9+6+2)=17份.每份4万元再按三厂所占比例即可求得: 甲厂: 4万元，9=36万元, 乙厂: 4万元，6=24万元 丙厂: 4万元，2=8万元. ? 条件(1),(2)都充分 选(D). 例3.甲、乙二人同时从同一点出发,相背而行,1小时后分别到达个自的终点A和B.若从出发点,从新出发,但互换终点,则甲在乙到达A点之后的35分钟才到B点.则甲、乙二人速度之比是(04年10第一题) A.3:5 B.4:3 C.4:5 D.3:4 E.以上结论均不正确。 解:如图 ,,甲, 乙 |_____________|___________________| A 0 B ,,乙, 丙 V?甲1小时从0到A ?S= OA甲 ?乙1小时从0到B ?SV, OB乙 VSSV甲OAOB乙又乙从0到A用时 ,甲从0到B用时 ,, VVVV乙乙甲甲 V71甲设: ; 则有 化简得: ,xx，, V12x乙 2127120xx，,, (舍去) ,,，,(43)(34)0xx 34 ,,,,xx或 43 即甲、乙两人速度之比为3:4 例4.所得税是工资与奖金总合的30%，某人应缴所得税为6810元，奖金3200元，则他的工资为 (03年联考19题) A.12000元 B.15900元 C.19500元 D.25900元 E.62000元 解:依题意有:6810?30%-3200=19500(元) 选(C) 例5.某工程,甲单独完成所需时间, 是乙、丙合作所需时间的4倍.乙单独完成所需时间, 是甲、丙合作所需时间的3倍.而丙单独完成所需时间, 是甲、乙合作所需时间的( ). 57911A.2倍 B.倍 C.倍 D. E. 117312 z 解:设:甲、乙、丙单 独完成所需时间分别为、、 yx 丙单独完成所需时间, 是甲、乙合作所需时间的a倍. 依题意得: ,411 ,，(1),xyz, ,311 ,，(2), yxz, ,a11 ,，(3), zxy, 得: 123，，，，，，，， xyyzzx，，，，，，，，， 12a, xyz 2222222xyzxyyzzxxyyzzx，，，，，， , xyz ,,,,111111,, = 2，，，，，，xyz,,,,,,yzzxxy,,,,,, 9 =2+4+3+ ?. 选(D). aa, 11 例6.甲、乙两个储煤仓库，现存煤量之比为10:7，要使这两个仓库的存煤量相等地，甲库需向乙库搬运的煤量占甲库原库存煤量的 A.10% B.15% C.20% D.25% E.30% 解:设甲库存煤10K(吨)，乙库存煤7K(吨) 则，甲库只要1.5K(吨)入乙库，两库存煤量就相等了。 1.5K 应选(B) (05年联考第1题) ,15%10K 例7.甲、乙、丙三个容器中盛有浓度未知的盐水，若各取等量的盐水混合后浓度为10%，若从甲和乙按2:3的量比取出混合后，浓度为7%，若从乙和丙按3:2的量比取出混合后，浓度为9%，则乙容器 中盐水浓度是 A.5% B.6% C.7% D.8% E.9% z解:设甲、乙、丙三容器中盐水浓度分别是:%，%，% yx 依题意得: xyz，，,，310(1), ,2357(2)xy，,，, ,3259(3)yz，,，, (2)(3)(1)2，,，得: 4y=516-302 =5 ，，？y所求为5% 选(A)例8.商场和促销全场商品一律九折，因而销售额比打折前增加了8%，那么该商场的销售量增长的百分比是( ) A. 12% B. 15% C. 18% D. 20% E. 24% S解:设某种商品单价为元/件，原销量为件，原销售额为元，am SS则打折前有=，打九折后 0.9(1+)=(1+0.08) aammx (为所求) x 1.08 ? =20% 应选 (D) 11.2，,x0.9 例9.商家销售某种商品，以进价计算的利润率为P%，若此种商品的进价降低8%而售价不变，则利润率提高到(P+10)%，那么P值是 A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 E. 20 a解:设进货价为元/件，则:售价为(1+P%) a (1-8%)[1+(P+10)%]= (1+P%) P=15 应选(C) aa 例10.甲、乙二人同时从圆形跑道上同一点出发，沿顺时方向均速跑步，甲比乙速度快，一段时间以后，甲首次从背后追上乙，这时甲后转沿逆时针方向以原速跑步，到二人迎面相遇为止，乙共跑了2.4圈， 则甲的速度是乙的速度的 337 A. 倍 B. 倍 C. 2倍 D. 倍 E.3倍 424 x解:由已知可设:乙被追上时跑了圈，后又跑了圈与甲y相遇，甲追上乙跑(x+1)圈，后转到相遇跑(1-)圈。 y xy，,11,,,xy 依题意有: 先消去y得: , ,xy，,2.4, 2xx,,,1.41.20 (0.6)(2)0xx，,, xx,,,2或 0.6(舍去) x，133,甲、乙速度之比为 即甲速是乙速的倍。选(B) 2x2 例11.一满桶纯酒精，倒出10升后用纯净水补满，再倒出6公升，仍以纯净水补满。此时测出桶内酒精与水之比为3:1，则桶的容积是 A.38升 B.42升 C.56升 D.60 升 E.68升 xx解:设所求容积为升，(?0)依题意得: x 101066，,，1x, x13， 240 64,，x x 2xx,，,642400 xx =60(升) 或 =4(升)(不合题意) 答案选 (D) 例12.商店将某种西服套装按原标价提高50%后，再做“七折优惠”的促销宣传，这样每套可获得625元，已知每套的成本为2000元， 则该店按“优惠价”售出比较原标价售出每套服装 A.多赚125元 B.少赚100元 C.多赚125元 D.少赚125元 E.多赚155元 解:按“优惠价”每套售价为2000+625=2625(元) 则原标价是 2625?70%?(1+50%)=2500(元)?按“优惠价”商店每套多 赚125元。 选(C) (99年10月第4题) 例13.甲、乙二人在300米长的环形路上均速跑步，在甲跑17米所用时间内乙只跑了13米。二人从同一点出发同时异向跑步，二人第七次迎面相遇时离出发点 A.10米 B.30米 C.50米 D.70米 E.90米 解:这种题目的特殊性在于，二人所用时间是相等的，因此二人速度之比就是相同时间所跑距离之比，例如300m环路中甲跑170m，乙一定只跑了130m;甲若跑17圈，乙必然跑了13圈等等。二人第七次相遇乙跑了130m×7=910m ?距出发点只有10m。应选(A) 例14.甲走5步的时间，乙只能走3步就够了。若让先甲走20步，乙再开始追甲，乙要追上甲，需走 A. 56步 B. 48步 C. 42步 D. 36步 E. 24步 5xx解:设乙要走步才能追上甲，则甲又走了步， 4 依题意有: 5 (20):5:3，,xx 4 55 ()20,,x 34 x ?=48(步) 选 (B) 例:15.若干公斤的铜中加入3公斤的锌熔成铜锌合金，取走9公斤，再加入9公斤的锌，熔炼后，铜和锌的重量之比为5:7，则最初的铜的重是: A.12公斤 B.15公斤 C.18公斤 D.20公斤 E.22公斤 解:设初始的铜重x公斤，依题意得: x (9):(3)5:(57)xx,，，,， x，3 2 整理得: 7102450xx,,, 3 xx,,,15; (舍弃) 选(B) 127 例16.甲、乙、丙三个人在直道上赛跑，设各人都是匀速奔跑，甲到终点时乙还差1米，丙还差2米，而当乙到达终点时，丙仍差1.01米，则此跑道起点到终点全长是: A. 98米 B.100米 C. 99米 D. 101米 E. 200米 x解:设跑道长为米，甲、乙、丙速度之比是 xxx:(1):(2),, 乙、丙速度之比是 xx:(1.01), xxxx,,,,1:2:1.01? ，，，，，， 22xxxx,，,,2.011.012 0.011.01x, x,101(米) 应选 (D) ?4. 平均值 1. 基本概念与知识点 xxxx,,,:我们称 (1).算术平均值:对个数 n123n xxxx，，，，123n的值为这个数的n 算术平均值, n n1 Xx,记作: ,in,1i xxxx,,,:我们称 (2).几何平均值: 对个正数 n123n n xxxx 为这个正数的几何平均值, 记作: 123n n n Xx,,gii,1 联考中初数只要求掌握这两种平均值的计算方法,其它平均值都不属于考察范围. 2. 典型例题解析: 例1.车间共有工人40人,某次技术考核的平均成绩为 80分.其中男工平均83分,女工平均78分.则该车间有 女工( ). A. 16人 B. 18人 C.20人 D.24人 E.28人 解:设:女工共有人,则男工人数为(40-)人. xx 依题意得: 8340788040,，,，xx，， 5120x, x,24 ?. 选(D) 实际上,若男、女工人数相等,女工只要平均77分,全车间即达 80分.可知女工人数过半,即多于20人.正确答案水落石出. 例2.两个不等的自然数的算术平均值是5. ab, 111 与 (1) 的算术平均值为 ab4 11 与 (2) 的算术平均值为 ab 63，5 而与的算术平均值63:5,. 162 b,N 解:由条件(1)?、,且a 111 ，,，2.,,只存在一种情况即a、b中一个是6,另一个 ab4 11163， ，,,.63:5而与的算术平均值是3. ?条件 6322 (1)不充分. 115 ，,,N 由条件(2) ? 、b .且.则ab,之一 a ab8 28， ,5必为8.不妨设 ??条件(2)充分. ba,,82.则 2 选(B). 例(3).已知: 13，,算术平均值是xyRxy,;,, 2 xy与的几何平均值是6. (1) (2) xy,,8,5xy,,9,4.解:条件(1),(2)是矛盾的.答案只在A,B,E中. 由条件(1)不能推出结论,? xy,,,406 ? 条件(1)不充分. 由条件(2) 不难验证 xy,,9,4. 满足题干的条件和结论. 选B. 三. 方程与不等式 方程与方程组基本原理与知识点拾遗: 一 1. 若 fxfx为一元多项式时称为代数方程,0.,，，，， 代数方程的根的个数与的最高次项的fx,0fx，，，，指数一致(据代数基本定理). n 2. fxfx为二次三项式时是一元二次方程,0,,，，，， 2 一般式: 设: axbxca，，,,00，， ,,,b2xxxbac,,:,4是它的两个根则其中,,,,121,22a ,R 称为一元二次方程的判别式(abc,,).有: ,,0:方程有两个不等的实根,, , ,,0:方程有两个相等的实根,, ,,<0:方程有两个不等的虚根., 23.一元二次方程 的两个根 axbxca，，,,00，，xxabc与方程的系数存在关系,,:1,2 ,,,,，,bba xx，,，,,1222aab 22 ,,,b，，，，c xx,,,.122a2a，， ,当abcR,,,时，方程: 2 axbxc，，,0 的 虚根一定是一对共轭复数. 2abcQ,,,时方程 不但虚根成对， 当axbxc，，,0且无理根也是一定同样成对儿的，其形态上(如:). mpnmnpQ,,其中,, 25.方程 .有两个不等的有理根axbxcabcQ，，,,0,,，， ,,,0的充要条件是的值为非零的完全平方数,而时,二 b xx,,,有理根相等,即 122a 26.a,0时,方程 的两根axbxcabcR，，,,0.,,，， xxabc,,,:与系数的关系是 12 b<0 有两个正根, , xx与同号,且b=0 共轭两虚根,12c,0 (1).时, ,b>0 有两个负根., ,b,,0,正根负根 ,,cxx,,0,异号(2).,且 b,,0,正根负根,12 , bo,,,正根负根,, q pqzpq,,,,且互质,7.若x,是方程: p 2 axbxcabcz，，,,0,,的根，， ac2则必有:.即,方程: ,,zaxbxca，，,,00，， pq abc,,的公约数是1,则方程的且有理根满足:分母整除最高次项系数,而分子整除常数项. 28. 方程: axbxca，，,,00，， 若 abc，，,0,1.则 是方程的根 若 abc,，,,0,1.则是方程的根 (结论可广至高次方程) 9.二次项系数为1的简化一元二次方程: 2xpxq，，,0:则有 2pp,,xq,,,,,1,2,, 22,, xxp，,,,12 ,xxq,,12, 2axbxcac，，,,0,的系数 时 10.方程: 方程的两根互为倒数. fx,0yfx,11. 方程:的根就是函数的零值点的自，，，， yfx,变量值.所谓函数的“零值点”是指函数的，， yfx,x图象与直角坐标系中 轴的交点.在函数的，， x定义域的某个子区间内,若存在方程的一个实根,i fx,0yfx,则有.若函数的定义域为集合A, ，，，，i ab,fx,0区间,当方程:有且只有一个根,A，，,, ,ab,fafb与异号.x时,必有: ，，，，,,i 典型例题解析 2例1. 已知方程:的两个实根是 380xxa,，, xx,.,且方程两个实根倒数的算数平均值是2,则实aR,12 a数值是( ). (99/10/07) 1 A.-2 B.-1 C.1 D. E.2 2 11， xxa812解:由已知有: ,,，,,,，244xxxx1212233 ? 选E a,2 432例2. 方程:的3个整数根为381532120xxxx,,，，, 已知,则第四个根一定是( ). 132, A.,2332 B. C. D. E. , 233解:由代数基本定理的推论可知,那第4个根,只能是有理 根,且分母能整除3.? 选E. 以综合除法验证: 38153212,,，，1 , 3,，，,13,,,4,,12 1 3,-9-12,+36,+0 余数为零,?是原方程的根. 3 22kxkx,,,，,1631720例3.关于的方程:. x，，，， 有两个不等的正整数根.则整数k的值是( ). A.-3 B.2 C.3 D.-2 E..k值不存在. 2kk,,,,101,即解: ?方程有两个自然数根,? 则原方程可化为: ，，，，kxkx，,,,,112160 `. ，，，，，，，， 126 xx,,, ? 12kk，,11 ，k,,1 ?,?.又kR, k,3,,时两根相等不合题意k,2?是唯一答案. 此时有两个自然数根4和6. 432例4.已知方程:.有4个实根, xxxx，,,，,45860 且其中有两个根恰为相反数,它们一定是( ). ,,23,3,2,2,3 A. B. C. D. E. ，， ,,解: 设:为所求，则必有: 432,,,,,，,,，,45860 ,432 ()4()5()8()60,，,,,,,，,,,,,, 432,,,,,，,,，,45860(1) 即: ,432,,，，,45860(2),,,,, 3,,,,160(3)相减得:8 ?方程常数项?0 ??0 , 2,,,2,8,(3)两边同 得: ,,,20 选 (C) 2实际上原方程左边的多项式必被()整除即 x,2 22左边=()() x,2xx，,43 2 令:=0 xx，,43 ,7x =-2 3.4 2例5.已知, 、分别为方程的两个实xx，,,10mn,mn 22根则的值是A.2 B.-2 C.1 D.-1 E.0 mnmn， 2mn,解:方程的两实根为: 且 xx，,,10 mnmn，,,,,1,1. 22？，,，,,,,mnmnmnmn111，，，，，， ?选(C). 例6.关于的方程: x mxx，,1 ,,2 mxx,，1 有负实根，则实数m的值范围是( ). m,1m,1,,,11m A. B. C. D. E.. mm,,,,111或mm,,,11或解:原方程可化为: mxx，，31 , mxx,，1 x,,1当, 且 时; mx, 22 上式化为: xmxxmxmxxm，，，,,，,，33 2即: . 210xmx，,,，， m,1 xx,,0,.解得: 122 m,,1当 时方程有负根(时原方程不存在) mm,,,11且 xx,例7.已知: 是关于 的方程: 12 2xx, 的两个实根,且 axbxc，，,012 4abc,,为常数,且a0, xx，34.的值是，，12 (1).abc,,1, (2).b=-1 解:条件(1),(2)显然都不充分.且看联合起来如何? ,1，，abc,,1,,, 考虑 即: 原方程化为: ,, b,,12，，,,, 2 则有: xx,,,10 242xxxxxxx，,，，,，，，313213，，1212112 2,,,，，，(1)32xxxx，，1112 ,，，，,,031254，， 与题干结论不符. ? 选(E). 例8.(98/01/07) 22 使方程: 35(2)xmxmm，,，,,=0的两个实根，， xxoxx,:1,12.分别满足,,,,则实数的取值范围m1212 是( ). ,,,,21m,,,,41m,,,,42m A. B. C. ,,165 ,,,31m D. E.. ,,,m1 2 解:常规解法如下: ,22,,,,,,,,mmm512(2)0，， , (5),,,m, 01,, , 6, ,5,，,m，， 12,,, 6, 利用韦达定理解法如下: , 2,,,,，，11249mm , 5,m, 13,, , 3,2,mm,,2 02,,,3, 最好是利用二次函数来解: 22 只需设: fx,35(2)xmxmm，,，,,，，，， 则 2,f00,，，,mm,,,20mm,,,12或, ,,,2有: fmm104022,,,,,,,,，，,,, 2,,,mm,,,10或mm，,0f20,，，,,, ,,,,21.m 交集是: 选(A). 32例9.关于的方程:中的实数、的xmxmxn，,，,0xmn ,3值为定值。(1)、为整数。(2)方程有一个根为。 mn 解:条件(1)、(2)单独都不充分，答案非(C)即(E)， (1), mnz,,3考虑 即不但， 且有一根为-。 , (2), 3?整系数方程，无理根成对儿。?方程另一个无理根必为 ,33330(1)，,，,mmn, 则有: , ,，，，,33330(2)mmn,, 条件 (1)和条件(2)联合起来充分 选(C)。 22x例10. 关于的方程: xkxk,，，，,2120，， 恒有两个实数根。 11 k,k,(1). (2). 22解:此方程有实根的充要条件是: 122,,，,，,,,41420kkk ，，，， 2条件(1)、(2)均为充要条件的子集。 ?都是充分条件。选(D) 例11. 已知关于的方程: x 2 . xxaxa,，,,，,,623920，， 有两个不等的实根，则系数的取值范围是( ). a a,,2 A. B.a,0 C.a,0或 aa,,20或 a,,2 D. E.以上结论均不正确. 解:本题难点在于含有绝对值，而且绝对值中含变量，但x略加观察不难发现原方程 2 xaxa,，,,,,32320，， ,,,,，,xxa3230，，，， ? xxa,,,,，,32030或是 x,,,320 若是 已有两个不等的实根, 则xx,,5,112 a,0故,必无实根.?是正确答案. xa,，,30 2 a,,2当时, 原方程为: x,,,320，， xx,,5xx,,1 此时方程有4个实个根:;, . 1234 ?此题应当 选(E). xyayzzx，,，,，,,4,2例12. 若: xyz,,则有:依次组成等差数列. a,1a,0(1). (2). 解:由条件(1)有 1, x,,,2xy，,1,, 3,, yzyxzyxyz，,,,，,？42,,,.不成等差,, 2,,zx，,2,5, z,,2, 由条件(2)有,xy，,01，， , yz，,,，,42231，，，，，，，，, , zx，,23，，, x,,1, , ,,,,zy31, ,z,3, 满足 xzyxyz，,？2.,,成等差数列. 例13. 关于的方程: x 222xmxmmnn，，，，，，,2134420 ，，，， mn, 有实数根,则实数的值是( ). 11mn,,,1,mn,,,,1 A. B.mn,,,2,1 C. 22 11 mn,,,1,mn,,,2, D. E. 22 解:方程有实根的充要条件是 222 ,,，,，，，,41434420mmmnn，，，， 22 整理得: 244210mmnnm，，,，, 22 即 mmn,，，,120，，，， m,1,m,,10,, 上式仅当时成立,? ,,1 mn，,20n,,,,2, 22xyRxy,,,，例14.的最小值是2. 22xyx,,，,8100xy, (1).满足方程:, 2xy, (2).是方程: 的两个根. tata,，，,220 22yxx,,，810解:由条件(1)有. 2222 ? xyxxx，,,，,,，2810222，， 22xy，x,2 看似当时,有最小值2. 2yyR,,,,2x,2 但是,当时,. ?条件(1)不充分. 2 由条件(2)所给方程的 . ,,,，,4420aa，， 22xy， 解之得:.又 aa,,,12或 22 ,，,,,，xyxyaa2222，，，，，， 2 117,,2,,,,,,4244aaa,,44,, a,,1 当且仅当时,取得最小值的 2 117,,22xy，=,?条件(2)充分. 选(B). 412,,,,,,44,, 例14. 对于实数，下列三个关于的方程: ax 2xaxa，,，,4430 22 中,至少有一个方程有两xaxa，,，,10，， 2xaxa，,,220 个实根. 3 ,,,a1.a,1 (1). (2). 2 解:当3个方程中，至少有一个方程的判别式是非负的条件下，结论成立。 312,,，,,,,,,1616120aaaa或122 12 ,,,,，,,,,,32101aaa23 2,,，,,,,,48020aaaa或3 取它们的并集得 这是至少有一个方程有二实根的充要条件，条件(1)是充要条件的子集，故充分。条件(2)不是充要条件的子集故不充分。 应当选(A) 例16.商场的一批名牌衬衣平均每天可以售出20件，可盈利800元，经调研，一件衬衣每降价1元平均每天可以多售出2件，若领导下达的盈利指标为1200元/日，则每件衬衣的最大降价值是: A.25元 B.20元 C.18元 D.16元 E.12元。 800,, ,，,xx2021200 解:设所求为元，依题意有 x，，,,20,, 2x,10x,20即: xx,，,3200012 每件最大降价20元，可达成指标 选 (B) 例17. 5位工人参与完成一件装修工程A、B、C三人合作75小时完工，若A、C、E合作需50小时完成，而A、C、D合作需60小时完成，若限定5人同时参与合作30小时完工交付使用。(1)B、D、E三人合作40小时完成。 (2)B、D、E三人合作45小时完成。 解:两条件(1)、(2)矛盾，答案只可能为(A)、(B)、(E)之一。设A、B、C、D、E五人单独完成工程分别需要: xxxxx,,,, 小时,由条件(1),依题意有: 12345 1111,，，,1，，,xxx75123, 1111, ，，,2，，,xxx50,135 , 1111,，，,3，， ,xxx60134 , 1111,，，,4，， ,xxx40,245 (1)(2)(3)(4)2，，，， 3 由 111111 ,，，，，, xxxxx3012345 即条件(1)是题干结论成立之充分条件。而条件(2)因工效下降了，不可能充分。 选(A)。 例18.汽车A、B从甲地驶向乙地，汽车C、D从乙地驶向甲地。四车同时从甲、乙两地出发相向而行.一段时间以后，A车在距甲地120公里处与C车相遇，在距甲地140公里处与D车相遇。B车在距乙地126公里与C车相遇，在甲、乙两地中点与D车相遇，则两地相距( ). A.144公里 B.210公里 C.288公里 D.320公里 144公里 VVVV,,,解:设:4车速分别为:(公里/小时). ABCD 两地相距S(公里). 120120S,,,1，，,VVAC, 140140S,, ,2，，,VV 依题意有: AD, ,126126S, ,3，，, VVCB, ,VV,4，，BD, ,1，，7120S,，，V,C得:, 由; , VS,6140，，2，，D,, ,3，，V126,C得:, 由 , VS,1264，，D,, 2SS,，,246302400 SS,,,2101440 代入整理得: ，，，， SS,,210;144.12 选(E) 例19.假设北京的轻轨列车在早晚高峰期起点与终点的发车的间隔和行驶速度都是均匀的.某人在与轻轨铁路平行的道路上匀速驾驶摩托车.他发现每隔4分钟与一列轻轨迎面相遇,每隔12分钟就有一辆轻轨列车从后面超越他.则起点和终点轻轨列车的发车间隔是( ). A.6分钟 B.7分钟 C.8分钟 D.9分钟 E.10分钟. 解:设:发车间隔为分钟,列车速度为公里/分钟,摩托车速tu 为公里/分钟.依题意有: v ut,,12,,uv, 代入方程组可得: =6 ,,uv2t, ut,,4 ,uv，, ? 选(A). 三.不等式的基础知识与解法 1.定义:以不等号连结的解析式,称为不等式. 不等号:<,>, ,,,,,. 不等式的最大论域是:R. 2. 分类: 绝对不等式:任意实数都能使之成立的不等式. 矛盾不等式:任意实数不都能使之成立的不等式. 条件不等式:在R的特定子集合内成立的不等式. 3. 不等式的性质定理: abab,,,,0, , (1). abab,,,,0.、 , ,abab,,,,0, abacbc,,，,，(2). . ab,, (3)„„„„„„„„„„ . ,,ac, bc,, ab,, (4).. ,，,，acbd, cd,, ab,,11 (5). ,,., ab,0ab, ab,, (6). ,,,,acbd, cd,, ab,ab,,, (7).. ,,acbc.,,acbc,, c,0co,,, ab,,0, (8). ,,acbd., cd,,0, ab,,0,ab (9). ,,., 0,,cdcd, ab,,0,nn(10). ,,ab., nN,, 4.不等式的解与解不等式: 使不等式成立的全体自变量的集合,称为不等式的解. 解不等式是确定条件不等式成立的充要条件.解的过程 是依据不等式的性质定理,以简单不等式(或不等式组), 取代原不等式,直到得出解集. 5.常用不等式: ba22，,,20.ab(1).. (2). abab，,2，， ab ab，，ababR,,,(3).. ，， 2 222abab，，,, (4).,. ,,22,, ，333abcR,,,(5). . abcabc，，,3.，， ，3(6). abcabcabcR，，,,3,,.，， abc，，，,,3.,,abcR(7). . ，， bca 333abab，，,,，abcR,,,,(8). . ，，,,22,, abc,, 上端8个不等式中,当且仅当时,等号成立 22222(9).. abxyaxby，，,，，，，，，， ab 当且仅当 时, 等号成立. , xy (10). ababab,,，,，. ab,0 左侧当且仅当时, 等号成立. ab,0, 右侧当且仅当时, 等号成立. , ab,, 4. 不等式解法: (1).分式不等式:解法(一) 27435xx，，,，，27x， ,,,,40 3535xx,, 350x,,, ,, 1413350xx,,,，，，，, 13 ,,x 14 5 x,.或 解法(二)原不等式化为: 3 350x,,350x,,,, (a) (b) ,, 27435xx，,,,27435xx，,,,，，，，,, 55,, x,x,,,513,,33解(a) ,解(b) ,,x,,x.,, 1313314,,x,x, ,,1414,, XXX原不等式的解集=. ab，，，， (2).含绝对值的不等式 例如: . xx，,,,1230 3 解法一:分段讨论法:令两绝对值式子等于零解出-1, 2两个值,以此二值将实数域分成三个子集,于是有: x,,1, (a). ,,,,,X,1，，,a，，,,，,,xx1230, 3, ,,,x13,，， (b). ,,,X1,.2,b，，,,2，，,xx，，,,1230, 3, x,, (c). ,,，,X4,.，，2,c，， ,xx，,，,1230, 2,, XXXX,,,,，, 解集 ,4,.，，,,abc，，，，，，3,, 解法二.原式即: xx，,,123. 由绝对值的定义有: ,,,，,,23123:xxx也就是 ,2311xx,,，，，, , 2312xx,,,,,，，,, XXX,. 原不等式的解集 12，，，，解法三.由性质定理有: 22 xx，,,123 2 ,,，,31480xx ,,,,3240xx，，，， 2,, ?原不等式的解集X,,,，,,4,. ，，,,3,,典型例题解析 x 341x,,，例1. 2 x ，,,,10,2,.时即时原式成立x 2解: x 当时即时x,,，,2,10, 2 由性质定理有: 2 x2,, 341x，,，，，,,2,, 2 720120xx,，, 7620xx,,,，，，， 6,, 解集 X,,,，,,2,.，，,,7,, 例2., xyR,,xyxy，,, (1).xy,,0,0, (2).xy,,0,0. 解:由定理有: xyxy,,，, 而等号成立的充要条件是: 即,xy,0.条件(1)、(2)均为充要条件的子集, ? 选(D). 例3.不等式 . xxs,，,,24无解 s,2s,2. (1). (2). xxxx,，,,,，,,24242 解: . ，，，， xR,, 即对任意 xx,，,,242.恒成立 ? 条件(1)充分,而条件(2)不充分. 选(A). 例4.方程: xx,,,,352无实数解. (1). (2). x,2x,4,5.，， 解: 原题与命题: xx,,,,352.等价 而新命题成立的充要条件是: 或 xx,,,350xx,,,35，，，， 35,,x 或 x,4. 取并集得: X,,,,5.，， 条件(1)、(2)均为充要条件的子集,故均充分. 选(D). a) 用基本不等式求最值:例如: ab， ,ab只有在满足条件 2 +,,a,bR , ,.必有一端是常数为另一端之最值, ,ab,.存在变量值能使成立, 8 fxx,，2例5.求函数 的最小值. x,0，，，，2x 883 解: fxxxxx,，，,,,,36, ，，22xx 8 x,x,2 当且仅当 , 即时,. fx,6，，2最小值x 51 fxxx,,，，例6.求函数 的最小值. ，， 1212 5151,,,,fxxxxx,,，，,,，，. 解: ，，,,,,12121212,,,, 151,,,, = 当 即, ,，,xx0,,,,21212,,,, 151 时,,,,xfx,. ，，最小值12122 31325xxx，,，，，，，，， 例7.解不等式: ,0. xx,，14，，，， 解:这种分式不等式,有一种简单解法“排根法”:找出使每个因式分别等于零的自变量值,并按由小到大的顺序排 51 ,,,,好.如此题: -4, 1, 3 23 - + - + - + 从最大数字右侧开始标“+”号,向左,每隔一个数,变一次性质符号,直到一数的左侧为止,不等号是“<”的,取“-”; 不等号是“>”,，， 的,取“+”,使分母为零的值不取. ,，， ?原不等式的解集 51，， X,,,,,,,4,1,3. ，，，,,,23，， 22例8.关于的方程:有两个整数根.xmxm,，，,210x，， 则实数必为定值. m (1).m,12,24 (2).m,12,40. ，，,, 解: 设方程的根, xxZ,1,2 xmm,，,，121. ，，1,2 由条件(1),?为奇数,因此,只有当mNm,？，,21 这个奇数同时又是完全平方数时,才是整数. x1,2 2125,2149mm，,，,或 ? 相对应的有: m,24. m,12, 或 ?值不能确定,?条件(1)不充分. m 由条件(2),, mm,？，,12,40,2125,81，，，， 在此范围内值为奇数的完全平方数唯有49! 即 ？,m24. 条件(2)充分,选(B). 2149,m，, 例9.对于条件:下列各式子中唯一恒正确的abk,,,0,0 是( ). bbk,aak,aak, ,,,,,, A. B. C. bbk,aak,bbk, bbk，bbk， ,,,,,, D. E.. aak，aak， 解:此题不能用赋值法寻求答案,只能用逻辑推理,比较分 析的方法得出结论. 首先不难发现A,B等价,而答案的唯一性,把它们都排 除了.再来看D,E,大小关系相反. bbbk，bbk， ,,,,.由已知,是真分数, ? 即 aak，aaak， ? 唯一恒正确的是 (E). 2322xx，， k例10.不等式:恒成立,则正实数的取值,k2xx，，1 范围是( ). 10 K,K,2 A.K,3 B. C. 3kk,,1,2或02,,k D. E.. 2 解: ? 恒成立, ?原不等式可化为: xx，，,10 2 . 3220,，,，,,kxkxk，，，，，， 把上式左边看成是含参变量k的关于的二次函数,x 30,,,,,k且0时,函数恒为正值.当即: 03,,k,, ,2 ,,,,,,,24320kkk，，，，，，,, 03,,k, , ? 选(E). ,,,,02.k10, kk,,2,或,3, kR,例11.,关于的方程: 有两个实根,但是,有且只有x 一个根在区间 内. ,1,1，， 115 ,,,k2,,,k. (1). (2). 232 2 解: 设: fxxxk,,,232.，， ?,有二实根,且独有一根在区间(-1,1). fx,0，， ? 即 ff,,110.52120,,,,kk，，，，，，，， 15 ,,,,k ,,，,25210kk.这是结论，，，， 22 成立的充要条件. 条件(1)是其子集,故充分; 条件(2)非其子集,故不充分. 选(A). 13 例12.不等式: .对任意实数都成立,xxm,，，,x 24 则实数的取值范围是( ). m 35,,m,m,1m,,2 A. B. C. ,,44,, 5 m,.m,2 D. E. 4 13135,,,,xxxx,，，,,，，, 解: . ,,,,24244,,,, xR, 上式对任意,都能成立. 5 m, ? 仅限时,结论成立. 选(B). 4 a 12.,,b例13. 则 的取值范围是( ). 12,,,a b a1aa ,1,,2 A. B. C. bb2b 1a1a ,,1.,,2 D. E. 2b2b a,1,a1 , 解:? ?当 时,; ab,1,2,，，, b2b,2, a,2,aa1,,,2.？,,2 而当 时, 选(D). ,,,bb,1b2,,, x,,31M例15. 若不等式:的解集为, N lg31x,,的解集为.则,正确的结，， 论是( ). A.MN, B.MN, C.MN, D. E.. MN,，,3,MN,,，， x,3, 解:由不等式:. xx,,,,31,:4有,2x,,31, 于是有:. M,，,4,，， x,,30, 由不等式: lg31,:13.xx,,,,有，，, x,,310, MN, 于是有:, ?. 选(B). N,，,13,，， xx,,32，， 例16. 求不等式: 成立的充要条件. ,02xx,1，， xx,,32，，，， x,3 解:当 时,不等式化为: ,0. x,1 1, 2, 3. - + - + 此时, X,，,3,.，,1 xx,,0,1,时x,3 当 且不等式化为: xx,,32，，，， .解得:. X,,,,00,12,3,0，，，，,,2x,1 ? 原不等式的解集: XXX,,,,，,,00,12,.，，，，，,12 例17. 条件所给出的解析式有最小值 2.. logloglogbca，， (1). 解析式: .其中, abc abc,,1,,，,. ，， 25，xyR,,,且 (2). 解析式: 其中, ， xy lglg1.xy，, ，abcR,,,,?三个对数均为正值.则有: 解: 由条件(1) ? 3logloglog3logloglog3bcabca，，,,,, . abcabc ? 条件(1)不充分. ，xyR,,,且 由条件(2) ? lglg1.xy，, ? ,则有:. xy,10lg1xy,，， 252510 ,当且仅当 时, ，,,22. xyxyxy 25 条件(2)充分, 选(B). ，,2. xy最小值 2log31,aa,,例18. 不等式: 其中实数的取值 a，，a 范围是( ). 11 a,a,a,1a,1A. B. 且 C. 33 1211,,,, a,，,,1,a,，,,1,D. E.. ，，，，,,,,3332,,,, aa,,0,1,aa,,0,1,, 解: 首先实数 满足: ,a1,,2a,0或30aa,,,,3, 1,, a,，,,11, ? . ，，,,3,, 1,, 当 时, a,,1,,3,, 2log3aa, 由 是减函数. ，，a 2log31log311aaa,,，,,.，，，，aa ,,,,,,,log3100311aa，，a 12,, ,,a,.,,33,, 当 时, a,，,1,，， 由 . log3103111,aaa,,,,,,,，,，，，，a 12,, ? 的取值范围是:a,，,,1,. a，，,,33,, 2例19. 已知不等式: 的解集是: axxb,，,50 ,21,Xxx,,,, 则不等式: ,, 34,, 2 的解集是( ). axxb，，,50 2112,,,, xxx,,,或xxx,,,或 A. B. ,,,, 3443,,,, 33,,,, xx,,,4xx,,,4 C. D. ,,,, 22,,,, 12,, xx,,, E.. ,, 43,, 2 解:设: fxaxxb,,，5，， 21,, ? 在区间 上, ,,fx,0，，,,34,, 21 afx,,,0,0.且是的两个实根 ? ，， 34 当 一次项系数变号时,必将使两根都要变号! 12,,,, 即与轴的交点变为,,0,0和. fxx，，,,,,43,,,, 12,, xx,,, ? 所求解集是: 选(E). ,, 43,, 事实上,由已知有: 23241012520xxxx，,,,，,,，，，， 2,,，，,12520xx 上式即原不等式.要求解集的不等式是: 22 . ,，，,,,,,1252012520xxxx 12 ,,,x. ? 43 ?5. 数 列 一、数列基楚知识拾遗 1.等差与等比数列的定义决定了这两类数列的区别和极为密切的关联性: aAPa为为, GP,,,,,nn aada,,aq, ? nnn，，11n 减法、除法、开方是同类不同级的三种基本运算，除法比 减法高一级，所以在等差数列的研讨中发现的定理规律公式 等，只需把运算升一级，就必然能得到等比数列中相对应的定理规律和公式: naand,，,1aaq,,如: 把运算升一级有 ，，n1n1 又如: aadmn,,,，，mn amn,m,q an nn,1，，nn,1，，n2 (求G.P前nsnadaq,，,,,,nn112 项之积) 2.等差中项，等比中项定理之推广。 ab， A, a .A .b 成等差称A为a .b的等差中项，且, 2 实际上在无穷等差数列中必有任一项 aaaaaa，，，mmmmmkmk,，,，,，1122a,,,, 其中, m222 mkNmk,,.,, 相对应的等比中项有: aaaaa,,,,,,,mmmmm,，,，1122 ,,,,,,,aamkNmk，，mkmk,， 无论在A.P或G.P中，凡下角码之和为2m的两项都有着相同的中项。 aa3.数列按相同规律取项求和，得到的衍生新数列与,,,,nn属性相同。 如: 仍aAPssss为则,,,,,,,nnnnnnnn，,,，,,，,,12213314 为等差数列。 等差数列车员. AP, 仍成. GP,aGPssss为则,,,,,,nnnnnnnn，,,，,,，,,12213,314 4.公式的理解与应用: aandadnad,，,,,，,1，，，，nn11 nn,1，，dd,,2snadsnan,，,,，,nn11,,222,, 语言叙述: 等差数列的通项是以n为变量的一次函数，一次项系 数是公差，系数和是首项。 等差数列的前n项和是n的二次函数(但 b aaab,,，)二次项系数是半个公差，数和为首c,012 ()aan，,1ns,项。特别注意这个二次函数不含常数项 n2在已知首末项的情况下，求和较便捷，但是由A.P性质定理可以知道，公式中的 aaaaaaaa，,，,，,,， 所以只要两项121321nnnmnm,,,， aa，下角码之和为(n+1)都可以代替首末两项之和(即) 1n aa，1n().,,MSMn称为中值则有 我们不妨设: n2 在同一数列中，两个或三个不同的和，若存在同一个中值M时，利用这一点将使难题简化。 5.任何数列的通项公式a满足等式: n aaaaaaaaaa,，,，,，,，，,()()()()nnn12132431, n,1 即aaaa,，,(),nkk11， k,1 数列的通项等于原数列的首项加上其阶差数列前n-1项之和，这在阶差数列为可求和数列时做为求通项的公式使用。 任何数列的通项 6.等差数列中的任何一项为已知的时候，一个特定的此数列前某些项之和亦为已知。 aAP为,aa,Sma,,(21) 例如:. ,则有 : . ,,,,nmn21mm, aa同时以为中项的原数列的任何一个奇数项之和，如:以mm Sa,，7.为中项的原数列的7项之和为 mmm,,,，33 7.等比数列各项的符号满足规律:同奇偶的项必同号，正因为如此，求等比中项时，中项可能与首末两项不同符号，所求解等比数列之习题存在双解情况。 a8.非等差、等比的特殊数列求和的关键只能是通项公式，n SS的解析表达式与的解析表达式有紧密联系，表达式中nnn a的次数比表达式中n的次数高且只高一次.如中AP,n dd2adnad,，,()Sna,，,().而其 又如:在数列n1n122 12aanSnnn,,，，则,(1)(21).中 , ,,nnn6 ,( 典型例题解析: a例1.为且aaaa，，，,160.则此数列的前60AP,,,n3233363 项之和S的值是( ) 60 A.980 B.1200 C.1460 D.1800 E.2400 saamrN，,(,).解:要求前n项之和只需已知两项之和 nmr 但是必须满足: .也可以是四项之和.如: mrn，,，1 aaaakpN，，，,(,) , 但是必须满足: mrkp 这里有: mrkpn，，，,，2(1). 3+23+33+63=122=2(1+60) 160 ms,？,，,40602400 选E. 604 aGPSSS为则,,,,2,12,例2. 的值是,,nnnnnn，,,，,,13316 ( ). A.105 B.112 C.108或-378 D.112或-378 E.-246 nnQqSSqSQ,,,,,,，,,12nnnn 2n解:设: 则依题意有: SSqSQ,,,,21312，,,，,,nnnnn 33nSSqSQ,,,,31633，,,nnnn 2222212，，,，QQ QQS,,,,32.14,或3n 3 解得: ？,，,,,S143378,或，，，,,316nn 3SD,，,142112..选，,,316nn a例3. 为等比数列，其偶数项所组成的新数列的,,n 3n(91)S,,a 则通项 是(原数列)( ) nn4 12n,1nna,，2333 A.a,， B. C .a,， nnn25 15nn,13a,，a,，3 D. E.. nn42 naq,1，，1S,解:对比等比数列求和公式: , nq,1 2aqaq的偶数组成G.P，首项是公比为 .依已知，当,,n1 2q有: =9 即原数列首项为2，公比为3 . n,1a,，23 ? 选B. n aaa，,10a例4.已知数列中,,则 的值一定是1. ,,n134 aAPaa为且,，,,2, (1). ,,n46 5aGP为,,aa，, (2). 且. ,,n464 aa，,10,13aAP为且,, 解:由条件(1). ,,,naa，,246, 4 ,,，,,,()()8aaaa68dd,,,,,? 41633 19 aaada，,，,,,2()10 13113 1947 aad,，,，,,,33()1 条件不充分。 41333 aa，,10,13,aq由条件(2)为 且 设公比为 GP,,,,5naa，,46,,4 2a,8,aq(1)10，,,11,,则: ,,,1532q,aqq(1)，,1,,,2,4 133aaq,,,，,8()1? 条件充分 选 B 412 aam,an,例5.已知为 其中、、ak,; AP,,,npqr 则 的值是( ) mqrnrpkpq()()(),，,，, A. 1 B. -1 C. D. E.0 mnk，，mnk,，2 a解:设中公差，则 d,,n mqrnrpkpqaqrarpapq()()()()()(),，,，,,,，,，,pqr ,,，,，,paaqaaraa()()()rqprqp 应选 E ,,，,，,,prqdqprrqpd()()()0 ac例6.非零实数 成，给加1 或给加2，都可以AP,abc,, 依次成，则b的值是( ) GP, A.16 B.14 C.12 D.10 E.8 解: 2(1)bac,，, ,2bac,，(1)(2)由已知有 , ,2bac,，(2)(3), (1), ba,1.5由 得 代入(1)得 2ac,,(2), a即:,成AP, 成 GP,(1),1.5,2aaa，1.5,2aa 22(1.5)(1)20.2520aaaaa,，,,,,从而 已知 a,0 ba,,1.512? 则 应选 C a,8 aa例7.数列为，且aa，,50, aa,,616则的AP,,,,,nn3957前n项之和S的最大值是( ) n A.176 B.287 C.306 D.425 E.518 aaaaa，,，,50解:为，由性质定理有 AP,,,n3957 aa，,50a,28,,575 解方程组 ,,,a,22aa,,616577,, aa,57d,,,3 公差 57, aaa,，,，,,,,,7227(3)120, 14715 aaa,,2219S中前14个正项之和为的最大值 ,,nn78 41 MSM,,,,，,14417287 选 B 142 1ad,例8.(统编P50例6)为，公差且 AP,,,n2aaa，，，,60aaa，，，,, 那么________. 139912100 aaa，，，,，,605085, 24100 1 ?所求=145.aS,,则 9.nnnn，，1 aSS,,30,120例9.(统P50例7(2))为AP, ，若 ,,n510 S 求 15 SS,,3090S,150解:? ? 5610,1115, SSSS,，，,270 1556101115,, aS,52例10. 为AP,，其前13项之和 ,,n13 (1)8(2)28aaaaa，,，,, 410284 解:由(1) aaa，,,28 Sa,，,，,1341352充分 4107137 由条件(2) aaaaaaa，,,，，,2() 2842794 ,，，,,aaa528, 也充分 选 D 277 3a例11.无穷等比数列中，Saaaa,，,，15,() ,,n414232 a此数列的所有项之和存在，则其值是( ) ,,n A.4 B.8 C.12 D.16 E.18 3q,1aaaa，,，()解:由已知 (且公比) 14232 323aaqaqaq，,，()即 11112 1322(1)3(1)2520，,，,,，,qqqqq,,q 或 2 41aq(1),1q,a,8(舍去) 又 代代入解得: q,2S,,151421,q a81?所有项之和 选 D S,,,16 11,q1, 2 aS例12.数列的前项之和的以为变量的解析nnN(),n,,nn 1 (1)(2)!aann,,,式是确定的 nn123，，，，n n解:数列的通项的表达式决定了前项和的解析式，据此可知条件(1)、(2)都充分 选 D。 aaa,,,210,230n例13.等关数列中，，则前项和,,n1030 Sn取最大值时，自然数是( ) n A.19 B.18 C.17 D.16 E.14 aa,3010a 解:?为， ?d,,,22 AP,,,n3010, aad,，,，,,,92109(22)120 1910 aad,，,，,,,,1021010(22)100 2010 nSS ?对任意自然数, 的最大值是 选A n19 1a中若 例14.以aS,,则,9.,,nnnnn，，1 n,99. (1). (2). n,100 1 解:从题干知, ann,,，,1nnn，，1 ? Snn,,，,，,，，，,(21)(32)(43)(1)n ,，,n11. 由条件(2), ?条件(2)充分. nS,,，,,99,9911999 条件(1),不可能也充分.? 选B. 例15.100个连续自然数之和大于10000且小于10100，则这100个数中一个是( )。 A.120 B.150 C.180 D.195 E.以上都不正确 a解: 这100个数组成公差为1的, 设最小一个是则AP,1 aa,，99最大一个是 1001 dd2Snnan,，,() ? 122 112Sa,,，,,100()100? 100122 由已知 1000010100,,S 100 1 即 10050()101,，,,a 12 50.551.5,,aaN,a,51解得 ? ? 111aa,，,，,995199150则 选 B 1001 aGP为,例16.，当n为偶数时，S,2,则此等差数列从,,nn S,72项到4n项之和。 21n，214nn，,, S,8(1) 此数列前2n项之和 2n S,18(2) 此数列项到3n项之和 21n，213nn，,, S,8S,2 解:由条件(1) ? ; 2nn S,6 ? nn，,,12 S6nnnn，,,12aq,,3,q 设中公比为q,则 ? ,,n2Sn S22nnn，,,14,,,39 又q S2n SS,,,972 ? 条件(1)充分 2142nnn，,, S2n213nn，,,S,18,q 由条件(2) 而 213nn，,,Sn 182n9q,, ? 2 nq,3n ? 为偶数 ? nSSq,,,，,236 则 ，,,12nnn SSS,,,，,268 212nnnn，,, S,8 ?充分 ?条件(2)也充分。 选D 2n a例17. 为等比数列，其中aa,,6,8 则 ,,n25 aaaaaa: 的值是( ) 456123 A.36 B.96 C.216 D.256 E.512 a35解:由已知有 q,,8 a2 aaaa334565,,,()8512 ? 选 E aaaa1232 aGP为,n，为偶数，则此数列从第项到第例18. 31n，6n,,n S,702(1)2(2)26SS,,项之和. 316nn，,,nn3解:条件(1)、(2)单独显然都不充分，答案只能在(C)、 aGP为,n(E)之间选择，要看在，为偶数的前提下，由 ,,n S,2,nS,702 能否推出的这个结论。 ,316nn，,,S,263n, SSS,, ? 成 GP,nnnnn，,,，,,12213 nSq,,2,0Sx,n 设 (?为偶数，) n2n xxxGP,2,26,,,成 则有 ，，，， 2xxx,,,226，，，， 2 因此, ,,,,xx2480 ？,,,xx86()或舍弃 nSSSSSq,,,,,,,,8,826 即: 2122，,,nnnnnn SSSS,，，312213nnnnnn，,,，,,n？,q3 . 8(82)(268)26,，,，,, 33nSSq,,,，,263702 则有 ，,,3163nnn 即条件(1)、(2)联合起来是充分的。 选 C a例19. 为，其前n项和的最大值存在，且其值为SAP,,,nn 880。(1)aS,,80,105 (2)aS,,95,380 621519 S10521a,,,5解:由条件(1) ? S,105 ? 11212121 aa,116d,,,15aad,，,,,,,515100 ?公差 又 121116, a ?的前11项之和S为S的最大值 ,,n11n Sa,，,，,118011880 条件(1)充分。 116 S38019aa,,,,9520 由条件(2) 5101919 aa,105daad,,,,，,1580 公差 65105, 与条件(1)所描述的是同一数列 ?条件(2)也充分。