有理函数的积分有理函数的积分
1.有理函数的积分
有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数,一般形式为
其中都是常数, 为非负整数。
我们只需考虑真分式 的积分,先来考虑两种特殊类型:
(?) 这种类型是容易积出来的,
(?) 作适当换元(令 ),
可化为
上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为:
对第二个不定积分,记
用分部积分法可导出递推公式:
整理得
重复使用递推公式,最终归结为计算 而 可积出来为
这样就可完成对不定积分(?)的计算。
对任一个有理函数而言,均可写成一个多项式与...
有理函数的积分
1.有理函数的积分
有理函数是指由两个多项式函数的商所
示的函数,一般形式为
其中都是常数, 为非负整数。
我们只需考虑真分式 的积分,先来考虑两种特殊类型:
(?) 这种类型是容易积出来的,
(?) 作适当换元(令 ),
可化为
上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为:
对第二个不定积分,记
用分部积分法可导出递推
:
整理得
重复使用递推公式,最终归结为计算 而 可积出来为
这样就可完成对不定积分(?)的计算。
对任一个有理函数而言,均可写成一个多项式与一个有理真分式的和,而多项式的积分
问题已经解决,下面主要考虑有理真分式 (不妨设 )的积分问题。
为叙述简便,不妨设(其方法是将化成许多简单分式(即类型(?)、(?))
的代数和然后逐项积分。由于类型(?)、(?)总是可“积出来”的,从面有理函数总是可以
“积出来”。下面简述分解有理真分式()的步骤:
第一步 按代数学的结论,将分母 分解成实系数的一次因式与二
次因式的乘幂之积。
其中 均为自然数。
第二步 根据因式分解结构,写出 的部分分式的待定形式: 对于每个形如 的因式,所对应的部分分式为
对于每个形如 的因式,所对应的部分分式为
把各个因式所对应的部分分式加起来,就完成了对的部分分式分解。
第三步确定待定系数:通分后比较分子上的多次式的系数,得待定系
数的线性方程组,由此
解得待定系数的值。
例8.13 求
2.三角函数有理式和积分
由 及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于
的有理式(或
三角函数有理式)。用 表示对于这种函数的不定积分
我们总可通
过代换 ,化为以 为变量的有理函数的积分。理由是
,,
,
又 ,故从而
上面的讨论说明:三角函数有理式也总是可以“积出来”的,但对具
体问题而言,用上述方
法往往计算量太大,因此,有时要考虑用其它简便方法。 (1) 如果是的奇函数时,即
则设即可。
例如 求(1);(2)( (2) 如果是的奇函数时,即
则设即可。
例如 求(
(3) 如果是关于与的偶函数时,即
则设即可。
例如 求(1);(2)(
(4) 请研究被积函数为(为自然数)时的情况。可以考虑同为偶数与
至少有一个为奇函数时这两种情况。
3.某些无理根式的不定积分
型不定积分(),对此只需令
,就可以化成有
理函数的不定积分。
至此,我们看到有理函数或三角函数有理式总是可以“积出来”,亦即其不定积分(或原函
数)总是可以用初等函数表示出来。但要注意的是,并非每个初等函数的原函数还是初等函数。
如下面的一些看似简单的不定积分
虽然存在,但却无法用初等函数表示,这已被刘维尔(Liouville)于1835年证明。
本文档为【有理函数的积分】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑,
图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。