身高和体重的函数分析
题 目: 体重与身高之间的函数关系分析
学 院: 经济学院
班 级: 经济三班
姓 名: 刘金典
学 号: 20094120310
指导老师: 乔雅君
体重与身高之间的函数关系分析
刘金典
(河南财经政法大学 经济学院 河南 郑州 450000)
摘要:本文通过对经济学院167...
题 目: 体重与身高之间的函数关系
学 院: 经济学院
班 级: 经济三班
姓 名: 刘金典
学 号: 20094120310
指导老师: 乔雅君
体重与身高之间的函数关系分析
刘金典
(河南财经政法大学 经济学院 河南 郑州 450000)
摘要:本文通过对经济学院167名同学的身高和体重数据,建立计量经济模型,运用Eiews5.0软件对经济三班和经济学院全体学生的身高体重数据进行模型估计。通过检验,对模型进行合适的修正,进而得出更科学合理的模型。并且也考虑到性别对函数关系的影响,通过对估计结果的分析,估计方法的选择和修正的过程可以得出选用虚拟变量的作用。
关键词:身高、体重
一、实验目的
为了分析体重与身高的关系以及性别对体重的影响,应用经济学院四个班同学的身高与体重的数据进行模型估计。已找到身高对体重的影响。并且通过性别虚拟变量的引入,考察虚拟变量在模型估计中的作用。从对经济三班的数据分析到对整个经济学院四个班的数据全体的分析中可以发现数据容量对于模型估计精度的影响。通过对模型的一系列的修正可以更清晰地发现修正模型的方法。
二、数据说明
下面是09级经济三班以及09级经济四个班的详细真实数据
表1:09级经济三班41名同学的详细数据
身高(cm)
体重(kg)
性别
身高(cm)
体重(kg)
性别
165
70
男
172
76
男
160
63
女
176
73
男
171
62
女
163
52
女
174
62
男
173
65
男
158
46
女
161
60
女
158
47
女
164
50
女
179
65
男
166
53
女
175
64
男
187
80
男
160
60
女
163
53
女
163
55
女
161
55
女
161
60
女
173
65
男
163
55
女
176
70
男
158
40
女
178
69
男
167
52
女
170
60
男
180
62
男
172
56
女
172
65
男
163
53
女
175
65.5
男
174
60
男
160
50
女
158
43
女
180
78
男
167
55
男
158
53
女
172
60
男
181
80
男
图1:三班体重与身高数据关系图
上图是由三班的身高体重的数据通过Excel中的绘图功能做出来的。从上图中我们可以看出三班同学的身高和体重有比较弱的正相关性。也即是身高和体重的关系是:身高越高,那么体重在某种程度上会更重;反之,身高越低那么体重就会越轻。途中身高和体重的关系拟合出的直线上下的数据说明了身高和体重的波动。
表2:09级经济学院167名同学详细数据
身高(cm)
体重(kg)
性别
身高(cm)
体重(kg)
性别
身高(cm)
体重(kg)
性别
165
70
男
180
80
男
163
55
女
160
63
女
172
59
男
162
47
女
171
62
女
170
66
男
160
51
女
174
62
男
170
55
男
160
57
女
158
46
女
182
90
男
160
44
女
158
47
女
170
55
男
165
51.5
女
179
65
男
176
80
男
162
50
女
175
64
男
176
68
男
170
60
男
160
60
女
176
71
男
175
65
男
163
55
女
187
70
男
170
58
男
161
60
女
187
70
男
171
80
男
163
55
女
172
56
男
166
59
男
158
40
女
178
75
男
167
54
女
167
52
女
175
60
男
167
55
女
180
62
男
178
61
男
170
60
男
172
65
男
175
60
男
172
76
男
175
65.5
男
175
75
男
170
55
男
160
50
女
179
64
男
176
70
男
180
78
男
176
95
男
169
61
男
158
53
女
175
75
男
169
72
男
181
80
男
169
52
女
170
72
男
172
60
男
164
52
女
172
55
男
172
76
男
160
50
女
178
75
男
176
73
男
172
54
女
175
65
男
163
52
女
162
47
女
175
65
男
173
65
男
164
53
女
163
50
女
161
60
女
168
54
女
155
45
女
164
50
女
167
57
女
186
88
男
166
53
女
165
53
女
175
56
男
187
80
男
163
50
女
165
55
男
163
53
女
162
51
女
168
54
女
161
55
女
160
46
女
170
65
男
173
65
男
167
52
女
170
55
男
176
70
男
165
50
女
165
53
女
178
69
男
161
47
女
165
53
女
170
60
男
160
51
女
163
48
女
172
56
女
160
45
女
159
55
女
163
53
女
160
52
女
181
78
男
174
60
男
160
54
女
170
66
男
158
43
女
160
46
女
158
46
女
167
55
男
162
57
女
162
50
女
160
46
女
163
42
女
168
62
女
165
55
女
162
55
女
163
50
女
165
50
女
165
58
女
165
54
女
161
53
女
170
60
男
159
52
女
168
58
女
176
56
男
168
52
女
166
60
女
168
58
女
155
50
女
177
63
男
164
50
女
163
60
女
159
54
女
173
75
男
160
58
女
161
53
女
169
54
女
160
45
女
157
52
女
162
55
女
168
58
女
165
55
男
173
59
男
160
48
女
159
54
女
170
63
男
163
48
女
162
53
女
165
55
男
162
47
女
160
58
女
176
68
男
172
55
男
173
58
男
173
60
男
图2:四个班班体重与身高数据关系图
由图二可以看出经济学院四个班的学生的身高体重也有较为微弱的线性关系。同样拟合的那条趋势线的上面下面浮动的数据反映了身高体重的波动。似乎样本容量的增大没有得到更好的拟合。
三、实证分析
(一)三班数据简单回归
1.建立模型
为了研究河南财经政法大学经济学院同学们体重与身高的关系关系,建立模型如下:,其中表示某位同学的体重,则表示某位同学的身高,表示截距项,表示体重受身高的影响的斜率系数,但这二者都是未知数。表示随机误差项。
2.估计结果
通过Eviews5.0运行估计结果如下:
表 3:三班身高与体重函数关系E-views5.0估计结果:
Dependent Variable: W
Method: Least Squares
Date: 01/27/09 Time: 11:23
Sample: 1 41
Included observations: 41
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
H
0.982918
0.117705
8.350708
0.0000
C
-105.5248
19.84982
-5.316160
0.0000
R-squared
0.641328
Mean dependent var
60.06098
Adjusted R-squared
0.632131
S.D. dependent var
9.606115
S.E. of regression
5.826321
Akaike info criterion
6.410199
Sum squared resid
1323.895
Schwarz criterion
6.493788
Log likelihood
-129.4091
F-statistic
69.73432
Durbin-Watson stat
1.277523
Prob(F-statistic)
0.000000
上面的Equation结果可表示为:
3.模型检验
显著性检验——t检验
由图1可知,对常数项进行t检验的P值=0.0000,对进行t检验的P值=0.0000,在显著性水平是0.05的情况下,由于二者的P值均小于0.05,所以拒绝原假设。即=0、=0均被显著拒绝,可以认为在体重身高模型中,截矩项显著不为0,斜率系数也显著不为0则身高对体重显著性影响。
(二)三班数据加入性别虚拟变量回归
1.以加法方式引入性别虚拟变量
(1)建立模型
,其中表示某位同学的体重,则表示某位同学的身高,S是代表性别的虚拟变量,其中S=0表示女生,S=1表示男生,表示截距项,表示体重受身高的影响的斜率系数,表示体重受性别的影响系数,且、、都是未知数。表示随机误差项。
(2)估计结果
通过Eviews5.0运行估计结果如下:
表 4: 三班身高与体重引入性别后的函数关系E-views5.0估计结果:
Dependent Variable: W
Method: Least Squares
Date: 01/27/09 Time: 11:56
Sample: 1 41
Included observations: 41
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
S
4.671153
3.122302
1.496061
0.1429
H
0.735592
0.201887
3.643593
0.0008
C
-66.13804
32.78720
-2.017191
0.0508
R-squared
0.661278
Mean dependent var
60.06098
Adjusted R-squared
0.643451
S.D. dependent var
9.606115
S.E. of regression
5.735978
Akaike info criterion
6.401749
Sum squared resid
1250.255
Schwarz criterion
6.527133
Log likelihood
-128.2359
F-statistic
37.09324
Durbin-Watson stat
1.357394
Prob(F-statistic)
0.000000
上面的Equation结果可表示为:
(3)模型检验
显著性检验——t检验
由图2可知,对常数项进行t检验的P值=0.0508,对进行t检验的P值=0.0008,进行t检验的P值=0.1429.在显著性水平是0.05的情况下,由于的P值小于0.05,所以拒绝原假设。但、的P值大于0.05即=0、=0均被显著接受,即:在加法模型中,身高对体重仍有显著性影响,但截距项和性别对体重的影响并不显著。
2.以乘法方式引入性别虚拟变量
(1)建立乘法模型
其中,表示某位同学的体重,则表示某位同学的身高,S是代表性别的虚拟变量,其中S=0表示女生,S=1表示男生,表示截距项,表示体重受身高的影响的斜率系数,表示体重受性别的影响系数,且、、都是未知数。表示随机误差项,表示不可由模型中的解释变量解释。
(2)估计结果
通过Eviews5.0估计结果如下:
表5:三班身高与体重引入性别后的函数关系E-views5.0估计结果:
Dependent Variable: W
Method: Least Squares
Date: 01/27/09 Time: 12:15
Sample: 1 41
Included observations: 41
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
SH
0.028242
0.018621
1.516635
0.1376
H
0.715744
0.210809
3.395220
0.0016
C
-62.92593
34.20855
-1.839480
0.0737
R-squared
0.661799
Mean dependent var
60.06098
Adjusted R-squared
0.643999
S.D. dependent var
9.606115
S.E. of regression
5.731565
Akaike info criterion
6.400210
Sum squared resid
1248.332
Schwarz criterion
6.525593
Log likelihood
-128.2043
F-statistic
37.17965
Durbin-Watson stat
1.353948
Prob(F-statistic)
0.000000
上面的Equation结果可表示为:
即
(3)模型检验
显著性检验——t检验
对常数项进行t检验的P值=0.0737,对进行t检验的P值=0.0016,进行t检验的P值=0.1376。在显著性水平是0.05的情况下,由于的P值均小于0.05,所以拒绝原假设。但、的P值大于0.05即=0、=0均被显著接受,即在乘法模型中,身高对体重仍有显著性影响,但截距项和性别对体重的影响并不显著。
(三)四个班数据简单回归
1.建立模型
为了分析体重与身高之间的关系,建立模型如下:
,其中表示某位同学的体重,则表示某位同学的身高,表示截距项,表示体重受身高的影响系数,但这二者都是未知数。表示随机误差项。
2.估计结果
通过Eviews6.0估计结果如下:
表6:四个班班身高与体重函数关系E-views5.0估计结果:
Dependent Variable: W0
Method: Least Squares
Date: 05/12/12 Time: 13:00
Sample: 1 167
Included observations: 167
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
H0
1.088517
0.068225
15.95490
0.0000
C
-124.1379
11.46084
-10.83149
0.0000
R-squared
0.606730
Mean dependent var
58.55689
Adjusted R-squared
0.604346
S.D. dependent var
9.899711
S.E. of regression
6.227018
Akaike info criterion
6.507576
Sum squared resid
6398.000
Schwarz criterion
6.544917
Log likelihood
-541.3826
Hannan-Quinn criter.
6.522732
F-statistic
254.5588
Durbin-Watson stat
1.936702
Prob(F-statistic)
0.000000
上面的Equation结果可表示为:
3.模型检验
显著性检验——t检验。对常数项进行t检验的P值=0.0000,对进行t检验的P值=0.0000,在显著性水平是0.05的情况下,由于二者的P值均小于0.05,所以拒绝原假设。即=0、=0均被显著拒绝,可以认为在体重身高模型中,截矩项显著不为0,斜率系数显著不为0,则身高对体重显著性影响。
(四)四个班数据加入性别虚拟变量
1.以加法方式引入性别虚拟变量
(1)建立模型
,其中,表示某位同学的体重,则表示某位同学的身高,S是代表性别的虚拟变量,其中S=0表示女生,S=1表示男生,表示截距项,表示体重受身高的影响的斜率系数,表示体重受性别的影响系数,且、、都是未知数。表示随机误差项。
(2)估计结果
通过Eviews6.0估计结果如下:
表7:四个班身高与体重引入性别后的E-views5.0估计结果:
Dependent Variable: W0
Method: Least Squares
Date: 05/12/12 Time: 13:13
Sample: 1 167
Included observations: 167
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
S
4.407906
1.574893
2.798861
0.0057
H0
0.840822
0.110912
7.580987
0.0000
C
-84.54488
18.06213
-4.680782
0.0000
R-squared
0.624658
Mean dependent var
58.55689
Adjusted R-squared
0.620081
S.D. dependent var
9.899711
S.E. of regression
6.101942
Akaike info criterion
6.472892
Sum squared resid
6106.325
Schwarz criterion
6.528904
Log likelihood
-537.4865
Hannan-Quinn criter.
6.495626
F-statistic
136.4676
Durbin-Watson stat
2.041602
Prob(F-statistic)
0.000000
上面的Equation结果可表示为:
(3)模型检验
显著性检验——t检验。由图5可知,对常数项进行t检验的P值=0.00000,对进行t检验的P值=0.0000,进行t检验的P值=0.0057.在显著性水平是0.05的情况下,由于、、的P值均小于0.05,所以拒绝原假设。即:身高和性别对体重的影响都是比较显著的。最终的估计结果为:
2.以乘法方式引入性别虚拟变量
(1)建立模型
,其中表示某位同学的体重,则表示某位同学的身高,S是代表性别的虚拟变量,其中S=0表示女生,S=1表示男生,表示截距项,表示体重受身高的影响的斜率系数,表示体重受性别的影响系数,且、、都是未知数。表示随机误差项。
(2)估计结果
通过Eviews6.0估计结果如下:
表8:四个班班身高与体重引入性别后的E-views5.0估计结果:
Dependent Variable: W0
Method: Least Squares
Date: 05/12/12 Time: 13:30
Sample: 1 167
Included observations: 167
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
SH0
0.027168
0.009399
2.890501
0.0044
H0
0.816735
0.115312
7.082840
0.0000
C
-80.64652
18.76533
-4.297635
0.0000
R-squared
0.625794
Mean dependent var
58.55689
Adjusted R-squared
0.621230
S.D. dependent var
9.899711
S.E. of regression
6.092705
Akaike info criterion
6.469862
Sum squared resid
6087.854
Schwarz criterion
6.525874
Log likelihood
-537.2335
Hannan-Quinn criter.
6.492596
F-statistic
137.1305
Durbin-Watson stat
2.042434
Prob(F-statistic)
0.000000
上面的Equation结果可表示为:
(3)模型检验
显著性检验——t检验,由图6可知,对常数项进行t检验的P值=0.0000,对进行t检验的P值=0.0000,进行t检验的P值=0.0044。在显著性水平是0.05的情况下,由于、、的P值均小于0.05,所以拒绝原假设。身高和性别对体重都有显著性影响。最终的估计结果为:
四、实验结论
(一) 关于计量方法的结论
1.有关虚拟变量的结论
虚拟变量具有以下作用:
(1) 能够正确反映经济变量之间的相互关系,提高模型的精度。相当于将不同属性的样本合并,扩大了样本容量(增加了误差自由度,从而降低了误差方差)。
(2) 检验不同属性类型对因变量的作用,例如工资模型中的文化程度、季节对销售额的影响。在这篇文章中的性别因素对身高和体重的影响。
(3) 便于处理异常数据;当样本
中存在异常数据时,一般有三种处理方式,一是在样本容量较大的时候直接剔除异常数据;二是用平均数方式修匀异常数据;三是设置虚拟变量:
(4) 可以描述和测量定性因素的影响。在本文中,性别作为虚拟变量发挥了重大作用,它检验了男女不同属性类型对身高的影响,也大大提高了本次分析结果的精度。由于虚拟变量的引入方式有多种,包括加法引入、乘法引入以及混合引入等,不同的引入方法也会有不同的改善效果。
本文中引入性别虚拟变量来区分不同性别在身高对体重影响的影响。
(二) 关于实验结果的结论
1. 在三班数据简单回归模型:
我们得到,其中表示截距项,意味着身高与体重之间存在着一个常数的关系,它不会随着身高的改变而改变,则表示随着同学们的平均身高增加1厘米,同学们的平均体重会增加0.9829公斤。在显著性检验中,=0、=0均被显著拒绝,这说明身高对体重的影响还是有显著性效果的。从可决系数R2=0.6413来看,本模型的拟合程度并不高。
2. 在四个班数据简单回归模型:
我们得到,其中表示截距项,意味着身高与体:之间存在着一个常数的关系,它不会随着身高的改变而改变,则表示随着同学们的平均身高增加1厘米,同学们的平均体重会增加1.0885公斤。在显著性检验中, =0、 =0均被显著拒绝,这说明身高对体重的影响还是有显著性效果的。从可决系数R2=0.6067来看,本模型的拟合程度并不高。。
3.在四个班数据加入性别虚拟变量回归模型:
(1)在加法模型中:对、、分别作显著性检验时得到三者均显著不为零,于是函数关系为,这就表示对女生来说平均身高每增高1厘米,平均体重将会增加0.8408公斤,同样的对男生来说平均身高每增高1厘米,平均体重也将会增加0.8408公斤。但二者的截距项并不相同,从数值上来看女生的截距项低于男生,这也比较符合实际。但从R2=0.6247来看,本模型拟合优度也不高,仍有很大改进空间。男生女生在身高完全相同时,男生体重比女生体重多四公斤。
(2)在乘法模型中:对、、分别作显著性检验时得到三者均显著不为零,于是函数关系为,这就表示这就表示对女生来说平均身高每增高1厘米,平均体重将会增加0.8167公斤,同样的对男生来说平均身高每增高1厘米,平均体重也将会增加0.8439公斤,这貌似也很符合现实。但二者截距项相同,并不能很好的符合实际。但从R2=0.6258来看,本模型拟合优度也不高。男生身高每增加一公分,体重比女生多增加0.03公斤。
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