N-S方程推导
第一章 流体力学基础
1.3 流体流动的基本方程
1.3.3 运动方程
即
又微元系统内流体的质量不随时间而变,即D(dm)/Dt=0,于是
(1-49)
直角坐标系下的三个分量式分别为:
一. 作用在微元流体系统上的力
第1.1节中已讲到,作用在流体上的所有外力可以分为质量力和表面力两种,分别用FB和
FS表示,于是,对微元系统有:
(1-51)
(1-52)
单位质量流体的质量力为 ,故
...
第一章 流体力学基础
1.3 流体流动的基本方程
1.3.3 运动方程
即
又微元系统内流体的质量不随时间而变,即D(dm)/Dt=0,于是
(1-49)
直角坐标系下的三个分量式分别为:
一. 作用在微元流体系统上的力
第1.1节中已讲到,作用在流体上的所有外力可以分为质量力和
面力两种,分别用FB和
FS表示,于是,对微元系统有:
(1-51)
(1-52)
单位质量流体的质量力为 ,故
(1-53)
_____________________________________________
_____________________________________________
* 所谓系统是指包含着固定不变物质的集合。系统以外的一切则称为环境,二者的分界称为
边界。边界可以是真实的表面,也可以是假想的表面。通过边界,系统可以与环境进行能量
交换,也可以受到系统以外物质施加的力,但没有质量交换。如果选取系统来研究流体流动
过程,就是将着眼点放在每个流体微团上,即追随着流体质点来研
1.3.3.1 运动方程的推导
对任一流动系统*而言
均遵循着动量定理。现任取
一微元六面体流动系统,如
图1-18所示,其质量为
dm=rdxdydz,则动量定理可
以表述为:微元系统内流体
的动量随时间的变化率等于
作用在该微元系统上所有外
力之和。即
(1-48)
(1-50)
流体流动规律,这样可以了解每一个流体微团的位置变化和力学关系,从而,由流体微团组
成的整个流体的运动状况也就清楚了。这种研究
称为拉格朗日法。流动过程中所遵循的
各种物理定律,如质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律等都是针对"系统"而建立的,
图1-19 微元六面体的受力图
或写成 (1-54)
微元六面体上各个面上的表面力受力情况如图1-19所示。每个面上均有三个应力分量,一个
法向应力和两个切向应力,六个面共计18个应力,其大小标于图上。
于是,微元系统在x方向上所有表面力之和为:
(1-55)
类似地,y、z方向上所有表面力之和分别为:
(1-56)
(1-57)
可统一表示为: (1-58)
将作用在微元系统上的质量力与表面力代入式1-52中得:
二.运动方程
将式1-59代入式1-50中,并除以dxdydz得:
写成矢量式为: (1-61)
这就是以应力形式表示的粘性流体的微分动量衡算方程,亦称为运动方程。
(1-59)
(1-60)
三.奈维-斯托克斯方程
1.应力与形变速率之间的关系---本构方程
流体质点受到应力作用将发生形变,因此应力大小与流体的形变速率之间必存在着一定
的关系。这种关系称为本构方程。
(1)剪应力与形变速率之间的关系
前已述及,对一维层流流动的牛顿型流体,牛顿粘性定律成立,即
(1-18)
上式即为一维层流流动时的剪应力tyx与剪切形变速率dvx/dy之间的关系。对于三维层流
流动,剪应力与形变速率之间的关系较为复杂,本书不作推导,感兴趣的读者可参阅有关流
体力学专著,下面只将最后结果列出:
1-62)
(2)法向应力与形变速率之间的关系
可以认为,法向应力由两部分组成:压应力和法向粘性应力,即
(1-63)
压应力p在数值上可认为等同于热力学中的压力,其作用的结果使流体发生体积形变,而
粘性应力作用的结果则使流体在法向方向承受拉伸或压缩,发生线性形变。
各法向应力与形变速率之间的关系为[1]:
式1-62和式1-64又称为牛顿型流体的本构方程。不适用于非牛顿型流体。
根据式1-63,应力张量tij也可写成如下形式:
P¢称为偏应力张量,是应力除去压力项后得到的张量。由式1-62及式1-64可知,P¢与流体
粘性有关。
2.奈维-斯托克斯方程(N-S方程)
将本构方程代入式1-60中并整理得:
上式即为直角坐标系下牛顿型粘性流体的奈维-斯托克斯方程,简称N-S方程。
(1-64)
(1-65)
令 (1-66)
(1-67a)
(1-67b)
(1-67c)
对不可压缩流体,有: (1-42)
代入式1-67中得:
其矢量形式为: (1-69)
式1-69是不可压缩粘性流体的N-S方程。等式左边r(Dv/Dt)项代表惯性力项,右边m?2v项
代表粘性力项。
若引入广义压力G 将质量力和压力合写为:
(1-70)
式中FBM指单位质量流体的质量力,r为矢径, 。于是
(1-71)
将上式代入式1-69中,则N-S方程变为:
(1-72)
式中将不出现质量力项。这在某些场合下较为方便。将上述矢量式在直角坐标系下展开为:
附:柱坐标系和球坐标系下的不可压缩流体的N-S方程表达式如下:
1. 柱坐标系
r分量:
(1-74a)
q分量:
(1-74b)
z分量:
(1-74c)
应力与形变速率的关系为:
2. 球坐标系
(1-68)
(1-73)
(1-75)
四.欧拉方程
对于粘度为零的流体(称为理想流体),其运动方程则可简化为:
(1-78)
此式称为欧拉(Euler)方程,是理想流体力学的基本方程。其在直角坐标系下分量式为:
(1-79)
1.3.3.2 N-S方程的若干解
理论上,通过求解连续性方程、运动方程以及流体的状态方程f (r,p,T) = 0等5个方
程组成的偏微分方程组,再结合具体过程的初始条件和边界条件,可获得速度场、压力场和
密度场。但事实上,由于方程组中含有非线性项,如vx( vx /x)、r( vx /t)等,使求解过
程十分困难。到目前为止,只有极少数几个简单问
得到了解析解。例如:
(1)对于某些特定的流动问题,N-S方程中若干项将等于零,从而使方程大大简化,由
偏微分方程组转化为一个常微分方程。典型的例子是圆管内的层流流动问题、环隙内流体层
流流动问题等,此时可得到其精确解。
(2)当方程中的某些项相对于其它项可以略去不计时,也可使N-S方程简化而求出其近
似解。例如,对于Re<1的极慢流动(又称爬流),惯性力相对于粘性力来说可以略去不计,
此时方程的求解就简单很多。
(3)对于雷诺数很大的实际流体绕物体的流动,可以将流体分为两个区域,一个是靠近
壁面的边界层区域(指壁面附近速度变化较大的区域),另一个是边界层以外的外流区域
(指速度变化很小的区域)。外流区域的流体可以看作理想流体,而用欧拉方程来计算。至
于边界层内的流动,则可根据边界层理论对N-S方程进行若干简化而求其近似解。
(1-76a)
分量:
(1-76b)
分量:
(1-76c)
应力与形变速率的关系为:
(1-77)
对于复杂流体流动问题,可采用数值流体力学的方法求解。数值流体力学不仅可解决
层流问题,而且已成功应用于解决许多湍流问题。读者可参阅有关专著。
下面我们将就第(1)种情况举几个例子介绍N-S方程的应用。
流体不可压缩,Dr/Dt=0,流动稳定,/t=0,圆管内层流属一维流动,vr=vq=0,且流动
轴向对称,/q=0。将以上诸条件代入不可压缩流体柱坐标系下的连续性方程(式1-46)和N-S
方程(式1-74)中化简得:
(1-80)
由/q=0和式1-80可知vz只是r的函数,G只是z的函数。因此可将上式中最后一个表达式中
的偏微分写成常微分,即:
(1-81)
经过上述简化,非线性的N-S方程转化成了常微分方程。式的左边是z的函数,而右边是r
的函数,根据数理方程的基本知识,只有两侧同时等于一常数时该式才成立,即:
=常数
设管长L内广义压力降为DG=G1-G2,则:
对上式进行两次积分可得通解为: (1-82)
边界条件:r=R(圆管半径)时,v=0;r=0时,v为有限值。
将边界条件代入式1-82得积分常数为: c1=0,
于是,不可压缩流体在圆管内稳定层流时的速度分布方程为:
(1-83)
对比式1-83、1-84可得v与vmax之间的关系为:
(1-85)
平均流速 (1-86)
通过以上推导得到了圆管内层流时的速度分布,由此可以进一步求算出工程上有着十分
重要意义的阻力系数。阻力系数又称范宁因子,用f表示,其定义为:
1.圆管内的稳定层流
在化工工业生产中经常遇到不可压
缩流体在圆管内的稳定层流流动,如
图1-20所示。对圆管内的流动,采用
柱坐标系下的方程最为方便。
可见,速度分布为抛物线,如图1-
21所示。当r=0时,即在管中心处,
v达到最大,由式1-83得:
(1-84)
(1-87)
式中tw为壁应力。由牛顿粘性定律可知,圆管内层流时:
(1-88)
代入式1-87中化简得: (1-89)
式中d为管的直径,Re=dur /m
对管道流动问题,工程上也常用摩擦因数l表示阻力系数,l=4f,于是
(1-90)
式1-89、式1-90适用范围为Re=dur /m≤2000。
上述N-S方程求解结果,无论在速度分布,还是平均流速、阻力系数等方面均与实验结果
十分吻合。
以上推导采用了广义压力概念,故管子无论倾斜放置还是水平放置,上述结果均适用
将以上条件代入不可压缩流体柱坐标系下的连续性方程,得: ,又
因/z=0,可见vq只是r的函数。
化简式1-74b,考虑到vq只是r的函数,故可将式中的偏微分写成全微分,得:
对上式积分两次,得:
边界条件为: ;
代入上式得积分常数为: ,
于是,速度分布方程为:
根据式1-75,外圆筒内壁所受到的剪应力:
若圆筒长为L,则外圆筒内壁上所受到的扭矩M为:
(1-91)
由此可见,扭矩M与角速度w、流体粘度m成正比。若已知套筒的几何尺寸,通过实验再测
出扭矩M、角速度w值,则由上式可计算得到被测流体粘度m。这就是双圆筒粘度计(又称旋转
粘度计)的测量原理。
例1-4 20℃水以0.1m/s的平均速度流过内径d=0.01m的圆管,试求1m长的管子壁上所受到的
2.环隙内流体的周向运动
如图1-22所示,两同心
套筒内充满不可压缩流体,
内筒静止,外筒以恒定角速
度w旋转,则套筒环隙间的流
体将在圆环内作稳定周向流
动。设外管内径为R2,内管
外径为R1。
由于流动稳定,/t=0。设圆
筒很长,忽略端面效应,故
vz=0,/z=0。又流动为一维
的,vr=0,且流动周向对
称,/q=0。
流体摩擦力大小。
解 首先确定流型。
查附录得20℃水的物性为:r=998.2kg/m3,m=1.005cP=1.005×10-3Pa×s,于是
可见属层流流动。由式1-88得:
N/m2
1m长管子所受的总的摩擦力
N
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