小学数学教学中常用的逻辑思维方法和对学生逻辑思维能力的培养

小学数学教学中常用的逻辑思维方法和对学生逻辑思维能力的培养 小学数学教学大纲明确规定，把培养学生“具有初步的逻辑思维能力”作为教学目的之一。 要想了解什么是逻辑思维，我们先要知道什么是抽象思维。 抽象思维是一种特点在于摆脱开研究对象的具体内容以利于其一般性质的研究的思维。 例如，我们分析一个几何体的概念时，我们显然是摆脱了现实物体的其它所有性质，只留下形状、大小和空间的位置而加以研究，这就是抽象思维。 逻辑思维是一种确定的(a就是a，不是b)、前后一贯的(不相矛盾的)、有条有理的(循序渐进的)、有根有据的(理由充分的)抽象思维。 逻辑思维的特点通常现为善于从已知前提中异出结果;善于从某些一般情况中找出个别例子;善于从理论上予示具体的结果，并将所获得的结果推广等等。 培养小学生具有初步的逻辑思维能力，就是要按大纲提出的“要结合教学内容，逐步培养学生比较、分析、综合、抽象、概括，对简单问题进行判断、推理等逻辑思维能力，同时注意思维的敏捷与灵活”。 下面就大纲规定的几种逻辑思维方法分别加以说明。 1、比较 比较是确定所研究的对象相同点和不同点的思维方法。 苏联教育家马申斯基说过:“比较是一切理解和一切思维的基础”，他还说比较能力是“人的最珍贵的智力宝藏”。在比较好中认识一切“这句格言清楚地说明了比较在认识中的作用。 在比较好时要注意下列关于比较的原则: (1)比较应当有意义，即彼之间有确定的联系的对象才能进行比较。 例如，我们可以比较两个同类量的大小比较正方形、长方形、平行四边形的的异同，但是将三角形的周长和物体的质量作比较是没有意义的。 (2)比较应当按一定的步骤进行，即要求准确的地区分进行比较的性质，要以本质的或有实际意义的特征并在同一标准下来比较。 例如，对几个多边形的面积、周长等等可分别进行比较好。 乌申斯基认为“在教学论中，比较应当是一种基本方法”，对于数学教学 来说，这种思想也是正确的。比较是一种有效的智力活动。在数学教学中，运用比较这一思维方法，可以调动学生积极地思考问题，自觉主动地去获取知识。在学习中，我们所考查的数学对象，往往是同中有异、异中有同，有的放矢的进行比较，可以帮助我们把相似的事物区分开来，把相关的知识联系起来，得到确切的认识。 在小学数学中，有些概念含义接近，但有本质属性又有区别，对这类概念， 学生常常容易弄混，运用对比讲授是认识它们各自本质属性的重要方法。那么在什么情况下进行对比讲授最为适宜呢,有的认为在建立新 概念时进行对比有助于理解，有的则认为在新概念初步形成后再对比更能加深对新概念的理解，我认为后者较好。例如“等分除”与“包含除”、“体积”“容积”、“数位”与“位数”、“整除”与“除尽”、“减少”与“减少到“等等，两个概念存在许多共同点，容易混淆，在数学中必须对他们加以比较，让学生弄清他们的区别和联系，以及不同的应用范围。比如”等分除”与“包含除”，它们表面相似，本质不同。相同的地方都是已知两个因数的积与一个因数，求另一个因数，又都是分的意思。“等分除”是按规定的份数一份一份的分，最后分完为止，求1份是多少,“包含除”恰恰相反，按规定几个为一份，几个几个地分，求一个数里有几个一份数。“减少”与“减少到”也是容易混淆的两个概念，都是有一个数在原有的基础上又减少一个数的意思。“减少”表示从原来的数量上去掉一部分的意思，而“减少到”则表示减少以后现在的数量是多少。体积与容积，它们计算方法，使用的计量单位都是相同的，但体积是指从表面测量物体，容积则表示从里测量空心物体。对相近的概念经常引导学生进行比较和区分，既培养学生对易混淆概念的自觉地进行比较的思维能力，也能加深理解概念的含义。 此外，许多容易混淆的法则，规律和难以说明的道理，通过直观对比也容易解决。 例如，“求一个数的几分之几是多少用乘法”与“已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法”，这两个问题是一件事物正反两个方面，它存在于同一事物之中， 如果通过一个例题在一节课对比着讲，进 行比较，比通过两个例题来讲效果要好。 例如“12公里的3/4是多少,”和”什么数的3/4是9公里,“对比图解如下: 由于这两个问题建立在鲜明对比的基础上，所以便于使学生掌握正确的计算方法。 2.抽象与概括 一切对象都有属性，那些仅属于某一类对象，并且又能把这些对象和其它 对象区别开的属性叫做本质属性。 抽象就是舍弃所研究的事物的某些非本质属性，提示其本质属性的一种 思维方法。 概括就是把部分事物的本质属性结合起来，推广到同类全体事物的思维方法。这个过程也就是思维由个别通向一般的过程。 例如我们将各种三角形边的长短，面积的大小，角的度数等不同的属性舍弃掉，从空间形式上抽出它们共同的属性:有三条边和三人角的封闭图形，这就是抽象，而把各种在边长、大小等方面都有区别的三角形，依据它的本质属性归到三角形一类中去，就是概括。 抽象与概括是密切联系着的，不可分割的。抽象是概括的基础，没有抽象就无从概括，概括是抽象的发展，没有概括，抽象就失去意义。 抽象是建立在大量事实和科学的基础上的，而不是随随便便的抽象。即抽象是在对部分事物属性作分析、综合、比较的基础上进行的。没有分析、综合，就无法进行比较，没有比较也就找不出事物的异同，就不能区别事物的本质属性和非本质属性，也就不能进行抽象。 抽象是形成概念的关键性的一步，是概念形成的最主要的方法。因为经过抽象，事物的非本质属性和本质属性的界限就清楚了，这样对事物的认识便跃进到理论阶段。 数学中任何一个数字、一种符号、一个算式、一个公式、一种法则、一个概念、一个规律，都是抽象概括的结果，例如，简单的等式 5×3=15也可以清楚地说明抽象的本质，教师对学生说:“我们来考虑这样一个问题，5×3=15这个式子表示什么意思,它反映了什么具体的内容,学生会相当容易地回答这个问题说5×3=15可以表示三支铅笔的价钱，一个人步行了3小时的路程，长方形地块的面积等，在教学的最初阶段，教师这样做使学生加深对抽象本质的认识和理解是极其必要的。 根据数学较为抽象及小学生以具体形象性为主的思维特点和认识规律，抽象与概括必须建立在大量感性材料基础上，使学生获得丰富的表象，所采用的手段主要是让学生动手操作和直观教学。 例如，给一年级学生讲“<”、“>”、“=” 等关系符号时，就可以在上课时教师出一片图，上面划着两个集合图(6个苹果和4个香蕉) 教师问“左边集合里都是些什么,”(苹果)“右边集合里都是些什么,”(香蕉)学生回答后教师立即提出问题:“我们来看一看苹果比香蕉多呢,少呢,还是同样多,”(稍停一会)“我们来看一个一个地比”于是教师在第一个苹果和第一个香蕉上连一条红线，并说: “一个对一个”(渗透对应思想)，依此类推，当学生发现香蕉“对”完了，苹果还没有“对”着的，就马上说出“苹果比香蕉多。”这个结论是学生从具体事物一个个相比中获得的。教师又问:“苹果集里有几个苹果,”(6个)“香蕉集里有几个香蕉,”(4个)，教师板书“6”与“4”，这时引导学生比较两数的大小。由于刚才直观得到的表象仍得留在儿童脑中，所以很快说出“6比4大”，于是教师进一步告诉学生:“今天我们用一个新的符号表示它”(出现“,”，同时又教“,”的读法和写法)。接着又出几道题: 53，15?10，24?21，31?13，52?25让学生填上关系符号，这时学生已完全脱离直观，进行逻辑思维了。在课结束前，教师又利用已经准备好的小黑板出示三个算式: 7=7,7,5,7<9,进行比较，使学生认识到同样是7，有时要填“>”，有时要填“<”，有时填“=”，关键是要看跟谁比(暗示标准数)，到这时，真正揭示了事物之间的本质属性和规律，使学生认识从感性上到理性,达到更深刻，更正确的地步。 又如在讲长方形面积计算公式推导时，因为长方形面积公式的推导是以单位面积的直接度量为基础的，因此准备以下几种学具: ? 一张透明的方格纸(每方格为一平方厘米); ? 一把学生用尺。 ?三个面积不同的三角形 教学过程: ?先用透明方格纸量第一个长方形(长4cm，宽3cm)，把透明方格 2纸覆盖在长方形上，数出长方形的面积是12cm，使学生初步认识到 2长方形长边每一排可摆4个cm，宽边可排3排，一共可摆12个一平 2方厘米，长方形面积就是12cm 。 ?接着让学生量第二个长方形(长6cm，宽4cm)，但只准放在方格纸上量，学生很快便想出了好办法。如图， 2通过长方形四周的方格，想象出长方形所占方格数量是24cm，进一步使学生认识到长方形的长，宽和面积的关系。 ?不用方格纸，计算第三个长方形的面积。学生很快想到用尺量长方形的长和宽，计算它们的乘积，求出长方形的面积。 ?比较?、?、?看长方形面积所含的平方厘米数与它们长和宽所含厘米数有什么关系; 4×3=12 6×4=24 7×5=35 抽象:这三个长方形面积所含的平方厘米数正好等于它们的长和宽所含厘米数的乘积。 概括:长方形面积=长×宽。 如果用S表示面积，a表示长，b表示宽，则长方形面积计算公式为S=a×b。 又如，在讲分子相同的分数大小比较时，先让学生把一张长方形的纸，平均分成两份，一份是1/2，平均分成四份，一份是1/4，平均分成八份，一份是1/8。平均分成若干份，一份即若干份之一。分的份数越多，它们一份就越小，可是表示这一份的分数的分母就越大。因此抽象概括出:分数的分子相同，分母越大，分数值越小。 诸如此类，都是通过学生亲自动手操作或直观的演示，使有关概念建立在直接领悟的生动形象上，但直观只是获得感性认识的手段，而不是最终目的。在学生获得丰富表象之后，教师要立即引导学生进行抽象逻辑思维的概括，找到了共同的本质属性并推进到一般规律，在思维上也就完成了抽象与概括。 抽象概括要注意科学性。有一位教师只通过一道应用题就引导学生“抽象”和“概括”出求平均数应用题的解题规律;总数量?总份数=平均数，这是不对的，抽象是对至少两个以上的事物进行分析、综合、比较、抽出其本质属性的过程，一道应用题和进行比较呢,不能比较又怎能找出其异同呢, 还有一位教师在引导学生概括求两个数的最大公约数方法时，是按照这样思路进行教学的。 2和4:较小数2是较大数4的约数，则2就是两个数的最大公约数; 12和18:较小数12不是较大数18的约数，则把较小数12缩小 2倍得6，6是18的约数，则6就是两个数的最大公约数; 68和51:51不是68的约数，则把51缩小3倍，即51?3=17，17是68的约数，则68与51的最大公约数是17。 正当这位教师准备概括求两个数的最大公约数的方法时，有一个学生突然举手说:“我发现了一个规律，两个数的差就是两个数的最大公约数”，并指黑板上三道题讲道“4-2=2，18-12=6，68-51=17，”经这位学生一讲，不少学生都表示赞同，后来老师又补充了几个例题，费了好大气力，才把这种误解纠正过来。 小学数学本来采取的是一种从特殊到一般的不完全归纳法;使用时必须严谨，切忌以偏概全。上面这位教师和学生就是犯了以偏概全的逻辑错误。 有一位教师在讲“分数化小数”这一节课时，是这样进行的: 计算下列各题，把分数化成小数: 接着引导学生比较上面三题得数，各有什么特点, 学生看第(1)题，各个得数虽然不同，但它们有一个共同点，就是它们都是有限小数:第(2)、第(3)题却是无限小数，而且第(2)题得数却是纯循环小数，第(3)题得数却是混循环小数。 于是教师提出这样的问题:“怎样的分数化成小数时是有限小限小数，纯循小数，或混循不小数,”让学生思考一下后引导学生分析: 一个分数有分母、分子两部分，能化成什么样的小数究竟是由分子决定的，还是由分母决定的,教师用教鞭指点各题分数的分子，学生发现所有数分子都相同，是1，因此，化成什么样小数是原因不在分子，而在分母。 教师引导学生研究以上各题分母。 把(1)题各分母分解质数: 4=2×2;8=2×2×2;10=2×5 25=5×5;125=5×5×5 (2)题分母3、7、11都是质数，而33=3×11; (3)题各分母分解质因数: 22=2×11;12=2×2×3;6=2×3;36=2×2×3×3 引导学生观察这些分母所含质因数有何特点，学生发现: (1)题中的分母只含2和5，不含2和5以外的质因数; (2)题中分母含2和5以外的质因数，而不含2和5; (3)题中的分母既含质因数2和5，又含2和5以外的质因数 于是概括出初步规律: “一个分数，如果分母中除了2和5以外，不含其它质因数，这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数化成的小数是纯循环小数。如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，这个分数化成的小数是混循环小数。” 在上述初步规律中，只说了“一个分数”这是不够严密的，为此，教师举了一个反例 3/12=0.25而12=2×2×3 分母12既含有质因数2，又含有2和5以外的质因数3，为什么化成小数时是个有限小数呢,从而把上面概括出的分数化小数的规律加以补充:把“一个分数”补充为“一个最简分数”。 3.分析与综合 分析就是把对象分解成个别的部分，并对各个部分分别加以研究的思维方法。这个方法的特点是把各部分之间的联系状况撇开不答，而逐个逐个地研究各个部分的状况。 综合就是在分析的基础上，把对象各个部分的状况联系起来结合为一个整体的思维方法。 按照这各意义来理解的分析和综合，那么小孩“拆卸”玩具，他就是在进行“分析”(他想知道玩具是怎样做成的)，而小孩将玩具各个部分组装起来，就是他自己在进行“综合”。 分析和综合是两个不能分离的思维方法，如果对对象的各个部分不做分析，进行综合是不可能的，而分析又总是在一个整体对象的前提下进行的，所以没有无综合的分析，也没有无分析的综合。 在数学教学中，分析和综合是用得最多的思维方法。一个比较复杂的概念或问题，总是在学生已有知识的基础上，按顺序有步骤地把它分解成几个部分来研究，然后把各部分联系起来成为一个整体，从而得到关于整个事物的认识或达到解决问题的目的。 例如，求圆柱的表面积，总是把它分解成三个部分进行计算，然后再把它们综合起来。直圆柱上下两个底是两个同样的圆，侧面展开 是一个长方形，其长是圆柱底面的周长，其宽是圆柱的高，这个长方形的面积就是圆柱的侧面积，三部分面积分别解决之后，再把它们综合起来，就是圆柱的表面积。 又如，四则混合题，首先要分析全式有几种运算，按先乘除，后加减，先小括号再中括号，大括号怕运算顺序，逐步解决了各部分，最后综合得出结果。 以上这个比较复杂的应用题时，就是三个小问题综合而成整体，因此， 解决这个复杂应用题时，就要把整体分解成三个部分，逐个的加以解决，三个小问题解决了，大问题也就解决了。 例:两城相距396公里，汽车以每小时36公里，摩托车以每小时45公里的速度先后从两城相向而行，相遇时汽车行了216公里，问摩托车迟发了几小时, 【思考方法】 (1)要想求摩托车迟发了几小时，根据题意需要什么条件,(需要知道相遇时汽车行了几小时，摩托车行了几小时。) (2)要想求汽车行了几小时，需要什么条件,(需要知道汽车行了多少公里和每小时行6多少公里)(已知汽车行了216公里，每小时行3公里) (3)要想求摩托车行了几小时，需要什么条件,(需要知道摩托车行了多少公里和每小时行多少公里)(已知摩托车每小时行45公里) (4)要想求摩托车行多少公里，需要什么条件,需要知道两城相距多少公里和汽车行了多少公里。(已知两城相距396公里，汽车行了216公里。) 上述思路可用下图表示 返回来从已知条件出发逐步解决上述四个问题，综合如下: (1)根据两城相距396公里，汽车行了216公里，可求出摩托车行了多少公里。(摩托车行了396-216=180公里) (2)根据摩托车行了180公里，摩托车每小时行45公里，可求出摩托车行了几小时。(摩托车行了180?45=4小时) (3)根据汽车行了216公里，每小时行36公里，可求出汽车行了几小时。(汽车行了216?36=6小时) (4)根据相遇时汽车行了6小时，摩托车行了4小时，可求出摩托车迟发了几小时。(摩托车迟发了6-4=2小时) 列综合算式如下: 216?36-(396-216)?45 =6-180?45 =6-4=2(小时) 在数学研究和数学教学过程中，分析和综合常常同时应用。最重要的是教师应当善于在需要时分清楚哪是分析、哪是综合,同时应记住:分析是通向发现之路，而综合是通向求解或论证之路。 4、判断和推理 判断是用概念判定某种事物是什么或不是什么，有某种性质或没有某种性质的思维形式。 判断是由两个或两以上的词加上联词(是、不是、有、没有等)组成的句子表示的。如“零是整数”、“这个图形不是圆”、“三角形有三条边”、“这两条线段是没有交点”等等都是概念。 数学中的判断还常用“=”、“>”、“<”、“?”等符号来表示。如“1米=100厘米”、“3>2”、“1<5”、“3.14”等也都是判断。 我们说判断是用句子表示的，但并非说任何句子都是判断。例如语句“?ABC是等腰三角形”判断，因为它对?ABC是否属于等腰三角形都有所判定(肯定或否定，而语句“?ABC是等腰三角形吗,”就不是一个判断，因为它并没有对?ABC是否属于等腰三角形作出判定。 判断的特有属性是表示判断的语句中一定具有真实性或虚假性。如果判断正确地反映了事物间客观存在的依赖关系，那么我们把种判断称为真实的判断，否则就称为假的判断。例如“任何自然数都是整数”是真实的判断，“任何整数都是自然数”是假的判断。 按照判断本身是否还包含着其它判断、可将判断分为简单判断和复合判断。 (1)简单判断:本身不再包含其它判断的一种判断，又称直言判断，它是由两个概念组成，用单句来表达的判断。 例如: ?任何一个集合是它本身的子集; ?负数没有对数; ?有些三角形是直角三角形; ?有些一元二次方程没有实数根; ?0不是自然数; ?0是整数 都是简单判断。 简单判断由主项、谓项、量项、联项四部分组成。 主项表示判断的对象。如?中的“集合”,?中的“负数”?中的“三角形”、?中的“一元二次方程”，?、?中的“0”。 谓项表示主项具有或不具有的性质。如?中“它本身的子集”、?中“对数”、?中的“直角三角形”、?中“实数根”、?中“自然数”、?中“整数”。 量项表示主项的数量，反映判断量的差别。表示对象全体的量叫全称量项，常用“所有”、“一切”、“任何”、“及”、“每一个”等词来表达。表示对象一部分的叫特称量项，常用“有些”、“有的”等词表达。表示对象只有一个叫单称量项。在数学中为表达简洁，简单判断量项常常省略，如上述?中省略了量项“所有” 联项表示判断是肯定的还是否定的，反映判断质的差异，通常用“是”或“有”表示肯定联项，用“不是”或“没有”表示否定联项。简单判断联项有时省略。如“分数可以转化为小数”就省略了联项“是”。 根据量项的全称、特称或单称，以及联项的“肯定”或“否定”的性质，简单判断又可分为六种形式: 1)全称肯定判断:如?;2)全称否定判断:如?;(3)特称肯定判断:如?;(4)特称否定判断:如?;(5)单称肯定判断:如?;(6)单称否定判断:如?。 (2)复合判断:是由两个或两个以上的简单判断结合而成的一种判断,也可以说是一种本身包含有其它判断的判断。 数字中常见的复合判断有假言判断、选言判断和联言判断。 ?假言判断:是肯定(或否定)对象在一定条件下具有某种属性的判断。假言判断是借助逻辑连接词“若„„则„„”或者“如果„„那么„„”把任何两个其它判断联系起来的。例如“如果a和b是互质数，那么它们是最大公约数(a,b)=1.数学中的定理、公式大都由假言判断给出的。 ?选言判断:是断定事物若干可能情况的判断。选言判断是借助逻辑连接词“或者”把任何两个或两个以上的其它判断连接起来。例如“a或者能被b整除，或者不能被b整除”就是选言判断。 ?联言判断:就是判定几种事物情况都存在的判断。联言判断是借助逻辑连接词“旦”把任何两个或两个以上的判断连接起来。例如“6可以被2整除，且6可以被3整除”就是联言判断。 在数学教学中，要求学生能够运用所学知识对比较简单的问题作出判断，并且注意培养学生独立思考和认真学习的习惯。 ?教师要有意识地培养学生掌握判断这种思维形式，凡遇到需要 判断的机会，一定要启发学生进行判断，对客观事物作出肯定或否定的回答，教师不应代替。 例如，比较两个数的大小。教师通过实物教具、画图、引导学生进行观察、比较、最后要求学生正确判断出哪个数大，哪个数小。 ?搞清数学概念之间的关系。 数学知识是一些最基本的概念和定律组成。数学中的定律、结论都是判断，而判断是由概念与概念的联系所构成，几个已知的判断推出新的判断就是推理，所以概念是数学知识的基石。帮助学生搞清数学概念之间的关系，有助于培养学生的判断能力，而判断又可加强学生对概念的清晰度和可辨别性，以免和其它概念相混淆。 少了63页和64页 角形”(第一个判断)。 “三角形内角和等于=直角”(第二个判断) 所以“平行四边形内角和等于四直角”(新的判断—结论)。 在这种新思维活动过程中，通常会实现由一个或几个相互联系的判断向一个新的判断的过渡，而新判断包含了关于研究对象的新知识。这种过渡就是推理，它是一种高级的思维形式。 从一个或者几个已知判断得出一个新的判断——结论的思维形式，称为推理。 数学推理在认识数学知识方面具有极其重大的作用。由于大部分数学结论是由为数不多的基本判断推导出来的，而基本判断通常借助于直 观经验获得的，它只是反映了我们对现实对象最简单和一般的认识。数学推理是由已知判断探求新结果，从而扩大了我们对现实世界中的对象和现象的知识范围。 推理(作为一种思维形式)跟概念和判断的区别，就在于它是对几个独立思想的逻辑推演。 并不是把任意几个判断连接起来就是推理。在这些判断之间应当有存在一定的、反映现实情况中存在的客观联系的逻辑联词。 例如，由“三解形内角和等于二直角”和“2×2=4”这两个判断不能作出任何结论来。 推理的种类可分为 (1)归纳推理: 归纳推理是从特殊到一般的推理。它是根据观察了某类事物的一部分(或全部对象)的特殊性后得出该类事物的一般结论的一种逻辑方法。 归纳推理又分为不完成归纳推理与完全归纳推理两种。 ?不完全归纳推理: 这是在研究事物的某些特殊情况所得到共同属性的基础上，从而对这一事物作出一般结论的推理方法。 例如: 三角形内角和是(3-2)?2a 四边形内角和是(4-2)?2a 五边形内角和是(5-2)?2a ??????? n边形内角和是(n-2)?2a 但是由事物某些特殊情况所得到的属性，不一定为另一些特殊情况所具有，因此，不完全归纳推理是不够严密的，由它引出的结论可能是正确的，也可能是错误的，应当用其它方法(通常用演绎法)给予证明。因此，在进行归纳时，波利亚提出:第一，我们应当随时准备修正我们任何一个信念。第二，如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念。第三，如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率的改变一个信念。并认为这是科学家应有的道德品质。 在小学数学中，许多概念、法则、公式都是由不完全归纳推理形成的。通过一些个别的式题或数学事实，进行观察、比较、分析、综合、从中抽象概括，归纳成一般的结论。 例如小数乘法，先按整数乘法计算，然后看被乘数和乘数中共有几位小数，积也从右向左数几位，点上小数点，就是归纳推理。 又如，由 比较上面四组算式得出加法交换律:“两个数相加，交换加数位置，和不变”，也是由个别到一般不完全归纳推理的结果。 ?完全归纳推理: 这是在研究事物一切特殊情况所得到共同属性基础上，从而对这类事物作出一般结论的推理方法: 由于完全归纳推理是全面考虑了事物的一切特殊情况，因此由完全归纳推理所得到一般结论总是正确的。 由于具体情况的数目很多时，使用完全归纳法显得十分繁琐，而且具体情况无限多时，很少有可能使用这种推理方法，所以完全归纳推理并不多见。 (1) 演绎推理 演绎推理是从一般到特殊的推理。 演绎法的基本形式是三段论。三段论法是由三个判断所组成，其中由两个判断作前提，一个判断作结论。第一个前提是一般的判断(全称判断)叫大前提，第二个前提是特殊的判断(叫特称判断)叫做小前提;第三个判断是由两个前提推出的结论。 例如，“在比例里，两内项之积等于两外项之积”(大前提) 2=3与6:9成比例(小前提) 所以2×9=6×3(结论) 演绎推理的正确性取决于两个前提的正确性。如果两个前提正确，而且遵循推理规则，那么结论当然无可非议。 数学中的推理，主要是演绎推理。在小学数学教学中，学生根据已讲过的定义、法则、性质、公式去解决一个个具体问题，这种过程就是演绎推理。 例如，利用长方形面积=长×宽的公式，可以迅速解决任何长方形计算问题，就是演绎推理。 “一个长方形操场，长120米、宽70米，求操场面积。“ 因为长方形面积=长×宽 (大前提) 场是长方形 (小前提) 所以操场面积=120×70=8400(平方米)(结论) 又如利用比的前后项扩大或缩小同样倍数比值不变的性质，把一个比化简，也是演绎推理。 “把2400:800化简“ 因为“比的前后项扩大(缩小)同数倍，比值不变”(大前提) 2400:800是个比(小前提) 所以2400:800=3:1(结论) 有时为了方便也可省略大前提。 如: 因为操场是长方形 (小前提) 所以操场面积=120×70=8400平方米(结论) 3)类比推理: 类比推理是从特殊到特殊的推理。它是比较两个具有一些相同的(或相似的)属性的对象，因而推出它们的某些其它属性也相同(或相似)的一种推理形式。 例如，根据比和分数、除法的关系，由“被除数和除数扩大或缩小同样的倍数，商不变”判断，推出“比的前项和后项扩大或缩小同样的 倍数，比值不变”，以及“分数的分子、分母扩大或缩小同样的倍数，分数大小不变”判断，都是类比推理。 由类比推理得到的结论有时不一定是正确的。 例如，一个算式是8×5=40，另一个算式是5×8=40，通过观察分析，我们就得到一个结论，“如果两个因数相乘的积相同，其中一个因数也相同，那么另一个因数必相同”。根据这的推理，那么9×0=0，而2×0=0，两个算式乘积相同，其中一个因数也相同，然而9却不等于2。这种推理的结果显然是不正确的。这是因为两个对象有些相同的属性，而另一些属性可能相同，也可能不同。 同样由“如果a=b,那么ac=bc”类比推出“如果a,c，那么ac,bc”就不正确。 因此，由类比推理得到的新判断的真实性还必须通过其它途径加以检验。尽管如此，类比推理仍不是为科学实验和数学中常用的一种重要逻辑思维方法。 要提高类比推理结论的可靠性，需注意两点: 第一，对象间的共同属性或类比似之点越多，则推断的结论的真实性、可能性就越大。 第二，所提出共同属性或类似之点和结论之间是有某种联系的而不是毫不相关的。 类比可以导致发现——结论的发现或解题途径的发现。大科学家刻卜勒曾经说过:“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容易的忽视的。 在小学数学教学中培养学生的逻辑思维能力要特别注意如下几点: 1.积极指导学生通过动手操作各种数学学具、教具来学习数学。 波利亚指出:对于小学数学，特别重要的是把数学看作制作中的数学。这是由小学生数学教学内容本身和儿童心理特点及认知规律所决定的。 数学的的特点之一就是它的抽象性。小学数学中的概念、法则、性质、定律等小学生来说都具有一定的抽象性，这与小学生思维的具体形象占主要地位的特征产生了矛盾。要有效地解决这一矛盾，让学生动手操作可以起到了不可忽视的重要作用。因为通过操作，可以使抽象的概念、法则、性质、定律等变得具体、形象、看得见、摸得着。 认知发展理论认为，儿童必须通过动作进行学习，动作在儿童智能和认识发展中起着重要的作用。认知结构是逐步建立起来的，它们发生的起点是主客体相互作用的唯一一个可能联结点——活动(动作)，而不是知觉的。数学概念，特别是在形成的最初阶段，都是借助于感觉在儿童思维中形成的，先把对“具体事物”的观察和接触转变成与具体事物无关的感性认识的形式，再把感性认识转变成抽象的概括，尤其小学生低年级学生思维带有具体——形象的性质，他们的知觉在最初具有无意识的和自己不能控制的特点，他们的理解仅仅停留在表象的水平上，处在这种思维发展水平上的低年级学生并不掌握概念这一事实，对于要思考的题目，低年级学生通常只有依靠对实物作具体运算，依靠具体的想象才能成功地解答出来 。经验证明，学习数学时不仅借助于观察而且还借助于使用相应的学具、教具进行积极的和 独立的操作，这样不仅可以使所学的数学关系直观实物化，可以让学生自己发现其中某些关系，而且还能够显著地提高学生对数学的兴趣，使他们更加深刻地理解所学的知识。只有看和听而没有动作的学习只不过是口头上的学习，那将是一种极大的错误。 2.精心塑造小学的数学认知结构。 小学生对数学的认知结构，是指他们在学习数学过程中所形成的有组织的知识系统。它既是有意义学习与记忆的结果(因变量)又是影响新知识与能力获得的一个重要因素(自变量)。因此，精心塑造学生的认识结构是培养学生思维能力的重要方法。 为此，在小学数学教学中如何塑造学生的认知结构呢, (1)合理组编教材，构建知识的整体结构。 学生的认识结构是从教材的知识结构转化而来的。优生的认知结构接近教材的知识结构，差生的认知结构与教材的知识结构则相差甚远。因此，组编好教材，按知识整体结构进行教学，对学生的认知结构形成是十分重要的。 知识的整体结构是由知识的纵横联系两个方面构架而成的。例如分数乘除法应用题从纵向联系来看，可分为三种类型: ?求一个数是另一个数的几分之几; ?求一个数的几分之几是多少的; ?已知一个数的几分之几是多少，求某数。其中??是由?派生出来的。从横向联系来看它与倍数(整数倍)问题。按比例分配问题、比例应用题、百分数应用题都有十分密切的关系。教学中，教师要充分 揭示这些关系，让学生从整体来组建认知结构。例如教学“求一个数是另一个数几分之几”时，可以从整体求一个数是另一个数的几倍入手，采用类比推理方法，概括出“求数a是数b的几倍或几分之几时用数a除以数b”的规律。 此外，教师还应当在适当的时候和相应的教学阶段。采用一题多变或一题多解的方法，沟通知识的纵横联系，把书中分数，孤立而彼此有联系的内容，合理地组织起来进行教学，逐步补充和扩大原有的认知结构，使之不断深化、发展。 (2)加强双基教学，打好认知结构的根基。 心理学家奥苏伯认为，认知结构中的原有观念是新观念的支架，起固定作用。在有意义学习过程中，新材料被认知结构中这种固定作用的观念同化，贮存并且相互作用，从而获取新的知识。如原有观念“三四一十二”(乘法口诀)。在“三四”与“十二”间建立了联系，如理解其真正意义，那么乘法交换率，同乘法口诀求商，乘除互逆关系等知识就可同化于原有观念中。如没理解其实质，虽口诀背得很熟，却不知4×3=12，12?3=4，12?4=3，这就是说根基不牢，就无法形成良好的认知结构。小学数学中概念、公式、法则等基础知识是认知结构的根基，教学时应注意: 1)提供丰富的、典型的、正确的感性材料，让学生在比较、分析、综合、抽象和概括的基础上，真正理解和掌握知识的实质; 2)加强变式与比较，不断变换呈现形式，使其本质属性保持恒在，而非本质属性不常出现。如讲三角形高的概念，应呈现不同形状三角 形和不同方位的各位的各种高的情况，让学生比较鉴别，使学生掌握“高是从三角形顶点向对边或对边延长线所引垂线段”这一本质属性，而撇去高有时在三角形内，有时在三角形外，有时与三角形也重回这一非本质属性。 3)促进知识系统化，理解各部分知识之间的联系，形成网络。 如加，减，乘，除四则运算法则是一个一个学会的，但它们不是孤立的。教学时，应讲清它们之间的相互关系，让学生理解加减互逆，乘除互逆，同数连加与乘，同数连减与除的关系，从而编织成一个知识网络。 (3)改造原有认知结构，促进综合贯通。 综合贯通是指总括学习和并列结合学习过程中调整和原有认知结构，使新知识和原有的认知结构相一致的过程。教学中，教师应注意揭示知识间那些共同的、关键的属性，比较其异同，指明实际上与表面上的不一致性。 现以分数教学为例说明 ? 分数概念，最初是由度量的需要而产生的。教学时可通过实际测量来改造原有的认知结构。假如用一个标准量a(度量单位)去度量另一个量b，量若干次后正好量尽，度量结果是用一个整数表示的。这是认知结构为已有的知识。如量若干次后不能量尽，为解决这一问题只好把度量单位划分为小于1的单位成m份，用其中的1份做新的度量单位去量b,量n次后正好量尽，这就是说，用把a分成m等份后 的一份去量b，结果b含n个这样的等分，这时度量结果不能用整数表示。必须引进新的数——分数。 ? 在整数范围内。学生已掌握“平均分”的概念，但分的结果是用整数表示的。教分数时可通过实物教具、图形去演示，如把一个饼干平均分成若干份，把一张纸平均分成若干份，先取其中一份，让学生理解若干分之一的意义，从而由整数表示“平均分”的结果，过渡到用分数来表示“平均分”的结果。 ? 从除法来讲，在整数范围内，两数相除，商是整数才能施行，教分数时，可通过实例说明用整数表示商的局限性，当得不到整数时，为使除法能施行，也必须引进新的数。 从上可知，尽管新知识同原有的认知结构不相一致，但由于它们有一种一般的吻合性，教学中利用它们的某些共同关键属性，可使已学的知识在新知识中进行综合贯通后得到改造，且新的意义又纳入到认知结构中去了，这样便提高了认知水平，构建了较高层次的认知结构。 3、注意思维过程，教给思考方法。 在教学中，教师不仅要讲清知识，更重要的是在讲清知识的同时教给学生思考方法。 在教学过程中，注意把整体知识按其结构和学生的认识规律，分解成互相联系而各有重点的几个要素，逐个解决，层层递进，指导学生按一定的程序去进行思维。如四年级讲组合图形面积计算时可先把一个长方形和正方形拼成一个组合图形，使学生初步认识组合图形的 概貌，然后把组合图形面积计算分成“看、找、算”三个层次进行教学，使学生掌握计算组合图形面积的思维程序:第一步，看一看，这个图形由哪几个已经学过的长方形或者正方形组合而成的;第二步，找一找，计算这几个长方形或正方形面积有哪些条件;第三步，分别算一算这几个长方形或正方形面积，最后运用相加或相减的方法求出整个组合图形的面积。实践证明，教学中只要教师注意揭示思维过程，注意培养学生思维的程序性，是有助于克服思维的盲目性和呆板性的。 又如在解题教学中可教给学生回想、联想、猜测的解题方法。 一般来说，在解题过程中回想越充分，联想越丰富，猜想越合理，解题思路就越明确。究竟想什么,怎样想呢,教师可结合教学，教给学生回想、联想、猜测方法。 回想:即在试题基础上，根据题目条件和问题的关系，回想与题目有关的基础概念、定律、性质、公式、法则是什么,能否直接或间接的利用它们来解题,这类题目常用的解题方法是什么,能否用它来解题, 联想:是从一个数学问题想到另一个数学问题的心理活动。即寻找一个相似的问题，或指出与题目接近的方法，变通使用这些知识，看能否解决问题。这样联想，就能很快地顺向迁移。 猜想:是对事物发展变化的一种“试探”性判断，这种判断是一种往往没有经过严密推理和验证。往往由不完全归纳推理，即由特殊到一般的推理，通过试探找到解题方法。 4 、狠抓差生的思维训练。 抓好差生的思维训练是大面积提高数学教学质量的关键。 差生的思维特点是迟钝、思维“飞跃”缓慢，不善于确定思维的方向;呆板不灵活，思维具有表面性，思维面狭窄，尤其是逆向思维能力差;不善于独立思考。学习新知识时常常机械模仿，依葫芦画瓢，生搬硬套题目稍有变化就束手无策。帮助学生克服学习数学知识过程中的思想障碍，培养训练他们的思维能力，是个根本性的问题。为此，要清除差生学习的心理障碍，根据差生思维特点，精心设计的过程。讲求量有针对性，阶段性和实践性，从而有效的发展差生思维的独立性。 (1)热情鼓励，消除恐惧心理。 害怕提问是差生的通病。有的差生害怕老师提问，听课时情绪紧张，心理上有一种压抑感。为此，教师要真正做到爱护、尊重差生。亲近差生。要注意差生意志，毅力，兴趣的培养。对这种怯弱型差生，教师首先应尽量避免与他们直接对视，对差生提问要讲究策略，要根据他们听课的表情，先让他们回答一些较为简单的问题，或书上现成语句的问题，差生的回答往往不会令人满意，这时教师鼓励显得尤为重要。 (2)补漏渗透，打好学习基础。 数学知识的逻辑性很强，脱掉一环就会严重地影响后面的学习。而一般差生的基础都比较薄弱，认知结构不完整，学习新知识时，常因缺乏必要的基础知识而听不懂老师的讲解。为保证差生学习不至于落伍，教师在讲解新知识时要摸一摸差生对已有知识的掌握情况，补一 补缺漏，扫除后续学习的障碍。例如，除数是两三位数的除法是教学中的一个难点，不少差生由于一位数除多位数的计算还没有过关而影响新的学习。因此，授课前可先安排一定时间帮助差生熟练地掌握表内除法，在此基础上牢固地掌握一位数除多位数中的余数问题，商的中间与末尾的有0的求商方法与有关知识。 (3)针对差生思维“飞跃”缓慢的特点，加强“具体 --- 抽象 ---- 具体”的思维训练。 数学概念是数学思维的细胞。差生往往因为概念模糊导致思维混乱，难于形成正确的认识。其原因是他们抽象概括能力差，在由具体表象上升到抽象理性认识时，其思维水平落后于一般学生，表现出缓慢的迟钝的特点。教学中，在这思维的转折点，如果忽视了采用适于差生思维特点上的措施，就必然造成差生落伍。为此，可采用加强“具体——抽象——具体”的思维训练。 例如，讲分数概念时，可通过学生熟练的直观教具，结合图形直观，逐步引导学生进行抽象思维，从而获得分数意义的正确概念。 教学时挂出小黑板，按序逐次出现下列图表。 然后引导学生自上而下观察各例，是把“一个东西”、“一个计量单位”、“一个整体”进行“平均分”，启发学生可用“单位1”概括它们。其它的若干份，“一份”或者“几份”相对地说概括起来要容易些。这样具体——抽象的过程，通过大量感性材料、图形直观，加 工提炼，概括出定义的过程，差生是可以接受的。在建立起清晰的分数概念之后，再引导他们把抽象概念具体化。如(1)看图填分数，并说出各分数意义;(2)画图表示分数;(3)用直线上的点表示分数等，使差生见到分数能联系实物，想象出不同“单位1”的情况下它的大小来。象见到3/4能联想起“一张纸的3/4”，“一吨的3/4”等，从而理解分数的实际意义。 (4)针对差生思维呆板不灵活的特点，从低水低的发散思维抓起，训练思维的变通能力。 差生基础差，思维惰性明显，学习新知识常常机械模仿，生搬硬套，难以灵活掌握所学知识，在“变式”练习同常常乱猜乱套，差错百出。为了发展差生思维的灵活性;在教学中，当要求差生在运用新知识解题时，不仅要求结果要正确，特别要重视要差生讲清数理，为灵活运用知识进行“变式”练习打好基础。在设计练习时要留给差生攀登时阶梯。如在新授课时巩固练习时，要求差生作一定量的模仿题，然后在练习适量的“变式”题，在同一题多解训练思维的灵活性时，对差生发散思维训练水准适当放低，即使能提出来一两个问题也行，能重复别人提出的问题也好。 例如在进行一题多问的补问题训练时，给出条件“修一段长4800米的公路，第一周修了全长的1/4，第二周修了全长的的7/20”，让学生补问题。先让学生提问题:(1)第一周修了多少米,第二周修了多少米,(2)第一、二周共修多少米,(3)第二周比第一周多修了多少米,即差生提不出象(1)还剩下多少米没修,(2)已修的比 剩下的长多少米,(3)已修的米是剩下的米数的几倍,等等，也可能别人提出来后让差生复述，并学会解答。 (5)针对差生不善于独立思考特点，在教与中做到“三多”，发展差生思维的独立性。 差生在认识知识活动中常是被动的，思维常被老师和学习好的学生“牵着鼻子走”，缺乏生动性，不善于独立思。有时因教师留给他们的思考时间过短或机会过少，思考的问题高出他们思维水平，往往使他们感到迷惘，以致使他们失去感受到独立思考，发现和解决问题的乐趣。教学中，应多让差生接触问题，引导差生对此辨析，多让差生独立发表见解，持之以恒的培养学生独立思考问题的习惯。 语言是思维的外壳，逻辑思维能力与语言表达能力有密切关系。教师要多鼓励差生发表见解，让他们在发表见解中锤炼语言表达能力，借以发展逻辑思维能力。