向量法求空间角

向量法求空间角 广东信宜中学 李平 大家知道，立体几何是高中学生学习的一个难点，以往数学教师在教导学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理，即要求学生根据设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且，引入向量，对于某些立体几何问题能提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因而降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程的理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题，以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 1 预备知识。 ,,axyz,()a空间向量夹角:设,为空间的两个向量,, 的夹角bxyz,()b1,1,12,2,2 ,,a为〈, 〉，则 b 由向量内积公式: ,,,,,,a,bcosa,ba= 得: b ,,,a,bxx，yy，zz,121212cosa,b,,,, 222222a,bx，y，zx，y，z111222 0,,,ab, 其中 向量法求空间角的具体解题思路如下: 向量的内积公式和 运算法则 建立空间直角 向量法求 坐标系 已知条件及图形性质 空间角 求出空间向 量及点的有关坐标 1 2 求异面直线所成的角。 axyz,()方法:已知两条异面直线, ,可分别在, 上取向量，llll1 2 1 21,1,1 ,，设两条异面直线所成的角为，则 bxyz,()(0),,,,2,2,22 ,,，?当时，; ,,ab,ab,0,,,,2,， ,?当时，; ,,,,ab,ab,(,),,2 例1 在正方体中，M是AB的中点，试求异面直线DM与BD的夹角。 ABCDABCD,11111 :本题传统的解法是先通过平移找出所求的异面直线所成的角，即作出与平DM 行且与BD相交的直线，构造三角形，利用余弦定理求解，步骤繁多，而引入向量能简化运算，1 提高解题效率。 解:设正方体棱长为1，如图(1)所示， 以D为原点，建立空间直角坐标系，则 1向量，， BD,,,(1,1,1)DM,(1,,0)12 5易得 BD,3， , DM,12 13 DMBD,,，,，，,，，,,1(1)(1)011 22 3,DMBD,1512? cos,DMBD,,,155DMBD1，32 ,15,,DMBD,易知，, ? ,,,arccos,1,,25,, 例2 在直棱柱中，底面是以为直角的等腰三角形，AC=2，BB=3，ABC,ABC，ABC1111 求直线BC与AC所成的角。 11 分析:本题中要求异面直线AC与BC所成的角，首先必须作出这个角，但用传统的解法，11 很难作出，需要一定的技巧，而向量法能轻而易举把问题解决。 解:如图(2)所示，以B为原点，建立空间直角坐标系 ，则 B(0,0,0), ,,A(2,0,3) C(0,2,3)C(0,2,0)11 2 ? ,, 则 BC,(0,2,3)AC,,,(2,2,3)11 ， , BC,32AC,6BCAC,,，,，，，，,,,0222337，，，，1111 BCAC,7143 11B1z？,,,cos,BCAC 11 143BCAC11A1C1 ,? BCAC,(,),,112 B7143A? ,,arccosY 143(2)Cx 3 求直线与平面所成的角。 ,,,,，，方法:设直线与平面,的夹角为(0,)，设向量?,向量, 即是,ab,,al,l,,,2，， , 的方向向量，是,的法向量，则 bl ,,,，?当时，; ab,0,,,ab,,,,,22,， ,,,，?当时，; ab,,,,ab,,,,,,22,， 例3 如图(3)，在直三棱柱OBC-OBC中，OB=1，OC=2，OO=3，，，,BOC901111 求直线CB与平面OCB所成的角。 111 分析:传统方法是作出直线BC在平面OCB上的射影，则直线BC与射影所成的角就1111是直线和平面所成的角;本题中，不易作出直线在平面上的射影，应用向量法能避开这一难点， 达到求解的目的。 解:建立空间直角坐标系O-XYZ ，则 zO1 ,，，C(0,2,0,)， C(0,2,3)B(1,0,3,)O(0,0,3)111 B1C1? ，， BO,,(1,0,3)OC,(0,2,0)111 CB,,(1,2,3) 1 3 O BY (3)C x ,设平面OCB的法向量为，则 n,(x,y,z)11 nBOxz,,,，,301 nOCy,,,2011 x = 3 z y = 0 ,,取 ，即, n,10n,(3,0,1) ， CB,14nCB,,611 nCB,63351? cos,nCB,,,1101435，nCB1 ,,, nCB,0,,1,,2,, ,335? 直线CB与平面OCB所成的角为 ,arccos111235 ,例4 如图(4)，在直三棱柱ABC-ABC中，底面是等腰直角三角形，，，ACB,90111侧棱AA=2，D,E分别是CC,AB的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。 ,111 (1)求AB与平面ABD所成的角的大小。 1 (2)求点A到平面AED的距离。(2003高考题) 1 分析:本题中，要作出直线AB在平面ABD上的射影比较困难，一般学生不易作出，1 而应用向量能避开这一难点。 解:(1) 如图(4)，建立空间直角坐标系 C-XYZ， 设CA = CB =，则 a ，，， Ba(0,,0)D(0,0,1)Aa(,0,0) ，易得 Aa(,0,2)1 aaaa1， E(,,1)G(,,)22333aa2?，， ADa,,(,0,1)GE,(,,) 663 ABaa,,(,,0) ?平面ABD GE, 4 ? GEAB,GEAD, 由 得 GEAD, aa2 GEADa,,，,，，，，,()010 663 所以 =2 a 112, AB,,,(2,2,2)GE,(,,)1 333 GEAB,21? cos,GEAB,,,13GEAB1 ,,,? GEAB,,,,1,,2,, ? AB与平面ABD所成的角为 1 ,,22, ,arccosarcsin,,,,,,,323,, (2)略。 说明:本题是先设出各点的坐标，然后利用向量垂直的充要条件，求出坐标中的未知量，这在向量法解决立体几何问题中经常用到。 4 二面角的求法。 方法1:如图(5)，二面角--的棱上有两点A，C，，,B,,,D,,,AB,,lll ,,,,,设 AB=， = ，则二面角的平面角。 CD,laCDb,,a,b ,,,,方法2:如图(6)(7)，，分别为平面，的法向量)，则当或,a,,,b,,,a,b,, ,,,,,绕其棱转到与另一半平面重合时，若a,b方向一致或相反，则二面角的平面角或l,,a,b 。 ,,,,ab, 5 例5 在正方体ABCD-ABCD中，求平面ABD与平面CBD所成的二面角。 111111 分析:本题中，我们易于作出两平面所成的二面角，但用传统方法求解，计算量大，学生易于出错，所以我们用方法1求解。 解:设AC与BD交于点O，连结AO，CO 11 ?与都是等腰三角形 ,ADB,CBD11 ? ，则向量与所成的角, 即为面与面所成的AOCOAO,BD,CO,BDABDCBD111111 二面角的平面角。 以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图(8)所示，设正方体的棱长为1，则 11 O()，，， A(1,0,1)C(0,1,1),,011 2211 CO,,,(,,1)122 z 11D1C1 AO,,,(,,1)122 B1A161? ， ， AO,AOCO,,11122 D 6C CO,Y12A B(8)1 AOCO,1112X? cos,AOCO,,,11 366AOCO11，22 1arccos? 所求的二面角为 3 例6 已知正方体ABCD-ABCD中，P，M为棱DD，DC的中点，求平面PAC与平1111111 面PAM所成的二面角的大小。 1 分析:显然这是一个典型的无棱二面角，传统方法是先作出二面角的棱，再利用三垂线定理等解答，但这需要一定的技巧性，一般学生难以解决，引入向量能避开这一难点。 6 解:如图(9)所示，建立空间直角坐标系D-XYZ不妨设正方体的棱长为2，则 1 A(2，0，2)，C(0，2，2)，A(2，0，0)， 1 P(0，0，1)，M(0，1，0) ? =(2，0，1)， =(0，2，1，) PAPC =(2，0，-1)， =(0，1，-1)， PMPA1 z设平面PAC的法向量 =(x ,y ,z ), mDC? ， mPA,,0mPC,,0 BA ? 2 x + z = 0 P 2 y + z = 0 令 z = -2 , 则 D1 MC1Y=(1，1，-2) m A1 B1(9)同理，可求得平面PAM的一个法向量 =(1，2，2) n1 X ? 6? ,,,mn,arccos18 6? 所求的二面角为 arccos18 说明:本题引入向量法解题，思路清晰，易解，避免了作辅助线。值得注意的是对于无棱二面角一般采用方法2求解。 从以上的例子，我们可以发现，应用向量法求空间角时，避免了要作出所求角这一难点，充分体现了向量工具的优越性。 7 8