向量法求空间角
广东信宜中学 李平
大家知道,立体几何是高中学生学习的一个难点,以往
教师在教导学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即要求学生根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且,引入向量,对于某些立体几何问题能提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因而降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程的理念。
为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题,以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。
1 预备知识。
,,axyz,()a空间向量夹角:设,为空间的两个向量,, 的夹角bxyz,()b1,1,12,2,2
,,a为〈, 〉,则 b
由向量内积
:
,,,,,,a,bcosa,ba= 得: b
,,,a,bxx,yy,zz,121212cosa,b,,,, 222222a,bx,y,zx,y,z111222
0,,,ab, 其中
向量法求空间角的具体解题思路如下:
向量的内积公式和
运算法则 建立空间直角 向量法求 坐标系 已知条件及图形性质 空间角
求出空间向
量及点的有关坐标
1
2 求异面直线所成的角。
axyz,()方法:已知两条异面直线, ,可分别在, 上取向量,llll1 2 1 21,1,1
,,设两条异面直线所成的角为,则 bxyz,()(0),,,,2,2,22
,,,?当时,; ,,ab,ab,0,,,,2,,
,?当时,; ,,,,ab,ab,(,),,2
例1 在正方体中,M是AB的中点,试求异面直线DM与BD的夹角。 ABCDABCD,11111
:本题传统的解法是先通过平移找出所求的异面直线所成的角,即作出与平DM
行且与BD相交的直线,构造三角形,利用余弦定理求解,步骤繁多,而引入向量能简化运算,1
提高解题效率。
解:设正方体棱长为1,如图(1)所示,
以D为原点,建立空间直角坐标系,则
1向量,, BD,,,(1,1,1)DM,(1,,0)12
5易得 BD,3, , DM,12
13 DMBD,,,,,,,,,,,1(1)(1)011 22
3,DMBD,1512? cos,DMBD,,,155DMBD1,32
,15,,DMBD,易知,, ? ,,,arccos,1,,25,,
例2 在直棱柱中,底面是以为直角的等腰三角形,AC=2,BB=3,ABC,ABC,ABC1111
求直线BC与AC所成的角。 11
分析:本题中要求异面直线AC与BC所成的角,首先必须作出这个角,但用传统的解法,11
很难作出,需要一定的技巧,而向量法能轻而易举把问题解决。
解:如图(2)所示,以B为原点,建立空间直角坐标系 ,则 B(0,0,0), ,,A(2,0,3) C(0,2,3)C(0,2,0)11
2
? ,, 则 BC,(0,2,3)AC,,,(2,2,3)11
, , BC,32AC,6BCAC,,,,,,,,,,,0222337,,,,1111
BCAC,7143 11B1z?,,,cos,BCAC 11
143BCAC11A1C1
,? BCAC,(,),,112
B7143A? ,,arccosY 143(2)Cx
3 求直线与平面所成的角。
,,,,,,方法:设直线与平面,的夹角为(0,),设向量?,向量, 即是,ab,,al,l,,,2,,
,
的方向向量,是,的法向量,则 bl
,,,,?当时,; ab,0,,,ab,,,,,22,,
,,,,?当时,; ab,,,,ab,,,,,,22,,
例3 如图(3),在直三棱柱OBC-OBC中,OB=1,OC=2,OO=3,,,,BOC901111
求直线CB与平面OCB所成的角。 111
分析:传统方法是作出直线BC在平面OCB上的射影,则直线BC与射影所成的角就1111是直线和平面所成的角;本题中,不易作出直线在平面上的射影,应用向量法能避开这一难点,
达到求解的目的。
解:建立空间直角坐标系O-XYZ ,则
zO1 ,,,C(0,2,0,), C(0,2,3)B(1,0,3,)O(0,0,3)111
B1C1? ,, BO,,(1,0,3)OC,(0,2,0)111
CB,,(1,2,3) 1
3 O
BY (3)C
x
,设平面OCB的法向量为,则 n,(x,y,z)11
nBOxz,,,,,301
nOCy,,,2011
x = 3 z
y = 0
,,取 ,即, n,10n,(3,0,1)
, CB,14nCB,,611
nCB,63351? cos,nCB,,,1101435,nCB1
,,, nCB,0,,1,,2,,
,335? 直线CB与平面OCB所成的角为 ,arccos111235
,例4 如图(4),在直三棱柱ABC-ABC中,底面是等腰直角三角形,,,ACB,90111侧棱AA=2,D,E分别是CC,AB的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。 ,111
(1)求AB与平面ABD所成的角的大小。 1
(2)求点A到平面AED的距离。(2003高考题) 1
分析:本题中,要作出直线AB在平面ABD上的射影比较困难,一般学生不易作出,1
而应用向量能避开这一难点。
解:(1) 如图(4),建立空间直角坐标系 C-XYZ, 设CA = CB =,则 a
,,, Ba(0,,0)D(0,0,1)Aa(,0,0)
,易得 Aa(,0,2)1
aaaa1, E(,,1)G(,,)22333aa2?,, ADa,,(,0,1)GE,(,,)
663
ABaa,,(,,0)
?平面ABD GE,
4
? GEAB,GEAD,
由 得 GEAD,
aa2 GEADa,,,,,,,,,()010
663
所以 =2 a
112, AB,,,(2,2,2)GE,(,,)1
333
GEAB,21? cos,GEAB,,,13GEAB1
,,,? GEAB,,,,1,,2,,
? AB与平面ABD所成的角为 1
,,22, ,arccosarcsin,,,,,,,323,,
(2)略。
说明:本题是先设出各点的坐标,然后利用向量垂直的充要条件,求出坐标中的未知量,这在向量法解决立体几何问题中经常用到。
4 二面角的求法。
方法1:如图(5),二面角--的棱上有两点A,C,,,B,,,D,,,AB,,lll
,,,,,设 AB=, = ,则二面角的平面角。 CD,laCDb,,a,b
,,,,方法2:如图(6)(7),,分别为平面,的法向量),则当或,a,,,b,,,a,b,,
,,,,,绕其棱转到与另一半平面重合时,若a,b方向一致或相反,则二面角的平面角或l,,a,b
。 ,,,,ab,
5
例5 在正方体ABCD-ABCD中,求平面ABD与平面CBD所成的二面角。 111111
分析:本题中,我们易于作出两平面所成的二面角,但用传统方法求解,计算量大,学生易于出错,所以我们用方法1求解。
解:设AC与BD交于点O,连结AO,CO 11
?与都是等腰三角形 ,ADB,CBD11
? ,则向量与所成的角, 即为面与面所成的AOCOAO,BD,CO,BDABDCBD111111
二面角的平面角。
以点D为坐标原点建立空间直角坐标系,如图(8)所示,设正方体的棱长为1,则
11
O(),,, A(1,0,1)C(0,1,1),,011
2211 CO,,,(,,1)122 z
11D1C1 AO,,,(,,1)122
B1A161? , , AO,AOCO,,11122
D 6C CO,Y12A B(8)1
AOCO,1112X? cos,AOCO,,,11 366AOCO11,22
1arccos? 所求的二面角为 3
例6 已知正方体ABCD-ABCD中,P,M为棱DD,DC的中点,求平面PAC与平1111111
面PAM所成的二面角的大小。 1
分析:显然这是一个典型的无棱二面角,传统方法是先作出二面角的棱,再利用三垂线定理等解答,但这需要一定的技巧性,一般学生难以解决,引入向量能避开这一难点。
6
解:如图(9)所示,建立空间直角坐标系D-XYZ不妨设正方体的棱长为2,则 1
A(2,0,2),C(0,2,2),A(2,0,0), 1
P(0,0,1),M(0,1,0)
? =(2,0,1), =(0,2,1,) PAPC
=(2,0,-1), =(0,1,-1), PMPA1
z设平面PAC的法向量 =(x ,y ,z ), mDC? , mPA,,0mPC,,0
BA
? 2 x + z = 0 P
2 y + z = 0 令 z = -2 , 则 D1 MC1Y=(1,1,-2) m
A1 B1(9)同理,可求得平面PAM的一个法向量 =(1,2,2) n1
X ?
6? ,,,mn,arccos18
6? 所求的二面角为 arccos18
说明:本题引入向量法解题,思路清晰,易解,避免了作辅助线。值得注意的是对于无棱二面角一般采用方法2求解。
从以上的例子,我们可以发现,应用向量法求空间角时,避免了要作出所求角这一难点,充分体现了向量工具的优越性。
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8