2极限与连续
第2章 极限与连续
第2章 极限与连续
(1)数列的极限:,(正整数),当时,恒有 x,A,,,,,0,Nn,Nn
x,A 或 (n,,)limx,Annn,,
几何意义:在,,xx,x,?,x之外,至多有有限个点 (A,,,A,,)n12N
(2)函数的极限
x,,的极限:,,当时,恒有 x,Xf(x),A,,,,,0,X,0
或 f(x),A (x,,) limf(x),Ax,,
几何意义:在(,X,x,X)之外,f(x)的值总在(A,,,A,,)之间。 xx,的极限:,,当时,恒有 0,x,x,,f(x),A,,,,,0,,,000
(x,x)f(x),Alimf(x),A 或 0x,x0
几何意义:在xxxxx,,,(,)(,),,f(x)(A,,,A,,)邻域内,的值总在之间。 0000
(3) 左右极限
左极限:x,,,x,x,,当时,恒有 f(x),A,,,,,0,,,000
f(x),f(x,0),Alimf(x),A 或 ,00,x,x0
右极限:x,x,x,,,,当时,恒有 f(x),A,,,,,0,,,000
f(x),f(x,0),Alimf(x),A 或 ,00,x,x0
极限存在的充要条件:lim()lim()fxAfx,, ,,xxxx,,00
(4)极限的性质
唯一性:若limf(x),A,则唯一 Ax,x0
保号性:若xlimf(x),A,则在的某邻域内 0x,x0
(0)A,fx()0,(()0)fx,fx()0,(()0)fx,(0)A, ; A,0A,0,,
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第2章 极限与连续
x有界性:若,则在的某邻域内,有界 f(x)limf(x),A0x,x0
(1)定义:以0为极限的变量称无穷小量;以,为极限的变量称无穷大量;同一极限
过程中,无穷小(除0外)的倒数为无穷大;无穷大的倒数为无穷小。
注意: 0是无穷小量;无穷大量必是无界变量,但无界变量未必是无穷大量。 例如当x,,时,是无界变量,但不是无穷大量。 xsinx
(2)性质:有限个无穷小的和、积仍为无穷小;无穷小与有界量的积仍为无穷小;
xxx,,,(,),,成立的充要条件是(,) f(x),A,,limf(x),Alim,,000x,x0
(3)无穷小的比较(设 ,): lim,,0lim,,0
,若,,,则称是比高阶的无穷小,记为;特别称为,o(),,,,,,,,o()lim0,,
的主部
,若,,则称,是比低阶的无穷小; lim,,,
,若,,则称,与是同阶无穷小; lim,C,
,若,,则称,与是等价无穷小,记为,,~; lim1,,
,若,,(C,0,k,0)则称,为的阶无穷小; lim,Ckk,
u(4)无穷大的比较: 若uv,,且,则称是比高阶的lim,,limu,,limv,,v无穷大,记为uvovv,,,()ov()u;特别称为的主部 11
,,若同一极限过程的无穷小量,,lim,~,,,且存在,则 ,~,,,
,,,fxfx()()limlim, ,,,gxgx()()
,,sin,,,,21tan1cos~,,,,,,,2,,,arcsin,,,,1,,11~,,,,,常用等价无穷小arctan~,,,2,, 1,,,(lim0),,,ln(1)1,,,n,(1)1~,,,,,,,,e1n,,,,,,,,,1~ln,aa,,,11,,,,
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第2章 极限与连续
注意:(1)无论极限过程,只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换; (2)无穷小的替换一般只用在乘除情形,不用在加减情形; (3)等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用,即
若,,ff()~(),,,,则 lim()(0)ff,,,~,
(设 ,) limf(x),Alimg(x),B(1) ,,limf(x),g(x), limf(x),limg(x),A,B(2) ,,limf(x),g(x), limf(x),limg(x),A,B
nnn特别地,,,,,limf(x),limf(x),A,,limCf(x),Climf(x),
f(x)limf(x)A(3) lim,() B,0,g(x)limg(x)B
(,lim0,,) lim0,,
准则1:(夹逼定理)若,(x),f(x),,(x),则
lim,(x),lim,(x),A limf(x),A ,
准则2:(单调有界数列必有极限)
若单调,且(),则存在(收敛) limxxxM,xM,0,,,,nnnnn,,
准则3:(主部原则)
,,,,o(),,,,oo()()11111limlim,limlim,; ,,,,o(),,,,oo()()21212
sinxsin,公式1: lim1, lim1,,x,0x,
11,,,,,x,lim(1)x,,,lim(1),,,0,,,,x,公式2: ,,ee,,,, ,11n,,,,,,lim(1),lim(1)n,,,,,,,,,,,n
,,,lim,fflim,,公式3: lim(1),,,elim(1),,,e,一般地,
,0nm,
,nnn,1axaxaaxa,,,,nnnn,10公式4: limlim,,,nm,mmm,1xx,,,,bxbxbbxb,,,mmmm,10,
,,,nm,
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第2章 极限与连续
(0,1)aa,,
xxnn(1),; (2),; lima,1limn,1limx,1limx,,,,n,,n,,,,,xx,0
11xx(3),; (4); lime,,,lim0e,limlnx,,,,,,x,0x,0x,0
,,01q1,,limarctan,,,,,,,q1x,02,xn(5),; (6) limq,,1,,n,11q,,limarctan,,,,x,0,2,x,不存在q,,1,
(设U(x)f(x)在有定义)0
(1)若x,x,则称f(x)在处连续 lim,y,00,x,0
(2)若x,x,则称f(x)在处连续 limf(x),f(x)00x,x0
连续的三条件:f(x)A,f(x)limf(x),A,limf(x)由定义;; 00,,x,xx,x00
(3)若x,xlimf(x),f(x)limf(x),f(x),则称f(x)在处左连续;若,则000,,x,xx,x00称x,ax,xf(x)f(x)(a,b)在处右连续;若在内连续,在处右连续, 在处左连x,b0
续,则称,,a,bf(x)在 上连续。
xxf(x)f(x)(1)若在处不连续,则称点为的间断点。 00
(2)左右极限都存在的间断点称为第一类间断点(跳跃间断和可去间断);左右极限至
少有一个不存在的间断点称为第二类间断点(无穷间断和振荡间断)。
fx()(1)若g(x),0xf(x)g(x)f(x),g(x)fxgx()(),均在处连续,则;;(),00gx()在x处也连续。 0
(2)若lim()()fgxfa,lim()gxa,,,则,且 lim()()fufa,,,xx,xx,ua,00
,,lim()lim()fgxfgx,(交换符号次序); ,,,,xxxx,,00,,
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第2章 极限与连续
(变量代换) lim()lim()fgxfu,,,xxua,,0
特别地,若,,则 lim()()fgxfgx,lim()()gxgxa,,lim()()fufa,,,,,00xx,xx,ua,00
,1(3)若函数y,f(x)在某区间上单值、单调、连续,则其反函数在相应区 y,f(x)
间上也单值、单调、连续。
有界与最值定理:若,,,,在a,b 上连续,则在a,b上有界,且必有最大值f(x)f(x)(fM,fm,)与最小值()。 maxmin
介值定理:若,,c在a,b上连续,则对介于两端点之间的任意实数,至少有一点f(x)
,使得,或,至少有一点,使得 f(,),cf(,),c,,ab,,,cmM,,,ab,,,,,,,
零点定理:若,,a,bf(x)在上连续,且f(a)f(b),0,则至少存在一点,,(a,b),
使得f(,),0。
注意:基本初等函数在其定义区间内连续;一切初等函数在其定义区间内连续。
利用恒等变形和不等式的缩放化简n,,求出与的关系或利fnA(),,,用已知关系,确定的取值。 N
求证下列各题
(2)已知,,证明 ; limxa,limxa,limxa,2n21n,nn,,n,,n,,
由于,N22nN,,,,当时,有; limxa,xa,,,,,,0112n2nn,,
由于,N2121nN,,,,,,当时,有; limxa,xa,,,,,,02221n,21n,n,,
取,则当时,有,即 limxa,NNN,,max2,21xa,,,nN,,,n12nn,,
(3)已知xay,,,且,证明 。 lim()0yx,,limlimxya,,nnnnnnn,,nn,,,,
由于,,,当时,有 lim()0yx,,yx,,,,,,0,NnN,nnnnn,,
又xay,,,则 nn
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第2章 极限与连续
0,,,,axyx limxa,xayx,,,,,,,nnnnnnnn,,
或,,,,,yax,则 nn
0,,,,yayx limya,yayx,,,,,,,nnnnnnnn,,
利用已知展开式、分子分母同乘共轭因子、变量代换、恒等变形等求解 求下列极限
nnxa,(1)lim(3)nnnn,,,lim; (2)(0)a,22xan,,,xa,
,x2(3)limsin(1)n,,; (4); lim(1)tanx,n,,x,12
xarctanxxxe,xx(5)lim; (6) (x,0)limcoscos?cosxnx,,n,,e,x242
nnnnnnn,,,,,12211xaxaxaxaxanan,,,,,,()()n,2(1)limlim,,,a 2222xaxa,,xaxaa,,22
44n(2)原式,,,limlim2 nn,,,,31nnnn,,,3 11 ,,,
nn
2n2,,,,(3)原式 ,,,,,,,,limsin1)nnn,,lim(1)sin(1)nn,nn,,,,,,,,
,n,,,lim(1)sin0 n2,,nn,,1
yx,,1,x,,,yy2(4) lim(1)tanx,limtan()limcot()yy,,,,, x,1yy,,002222,
xxexxxex,,arctan1(/)arctan(5) limlim1,,; xx,,,,,,xxexxe,,1/
xxxexxexx,,arctan/arctan,arctane,xx limlimlim,,,故不存在 xxxx,,,,,,,,xxe,xexex,,/12
xxxxn2sincoscoscosnnsinsinxx2242(6) 原式 limlim,,,,,,,nnxxxnn2sin2sinnn22
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第2章 极限与连续
fx()(1)利用极限,确定是x的n阶无穷小; fx()lim0,,An,0xx
(2)熟记等价无穷小的公式。一般乘除情形才能替换,加减情形:若拆项分别极限存
在(分母不为零)可替换,若拆项分别极限不存在可考虑用无穷小的主部原则或泰勒展开式
求解。
求解下列各题
6x(1)当x时,是的多少阶无穷小; x,021cos,x
6266xxxx(1cos)2,2 x是的二阶无穷小 (0)x,,,4x222211cos,x1cos,x()x2
n,2(3)当(1)x,n时,与是同阶无穷小,求的值 x,1321lnxxx,,,
2(31)(1)ln(11)xxx,,,,,321lnxxx,,, limlim,nn,,,,xx11(1)(1)xx,,
3234ln(1)uuuu,,,3令,,lim2limn,,原式 ux,,1,nn,,uu,,00uu2
求下列极限(a,0,a,1)
mn11,,,,,xxlim(2) x,0x
mmnn11,,,,,xx11,,,x11,,,,,x(2) lim,,,,limlim xxx,0,,00xxxmn
xx()axa,,(4)lim 2x0,x
xxxln(1),ax111x,,,,xa(4)原式lim(1)1lim(1)e,,,,,,,,limln(1)x 22,,2xx,,00,,0x,xax,,xaa,,
2ln(cos1)xx,(5)lim; x,0tanln(1)xx,
1122ln(1sin)ln(1),,,xx22sin,,xx22(5) 原式limlimlim1,,,,, 222xxx,,,00022xxx
xxn (6)lim(cossin),k ,,nnn
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第2章 极限与连续
nxxlim(cos1sin),,nkxx,,kxn,,nn(6)原式,,,,,,keelim1(cos1sin),,n,,nn,,
xxxxxnnnnkx lim(cossin)lim(cos)(1tan),,,kk,,,lim(1tan)ke,,,,,,nnnnnnnn
,,,lim(),lim(1),,,e
求下列极限
11xx(1) lim()e,,,xx
11111xtttxt(1)令,,,tlim()lim()lim1(1)eetet,,,,,,,, ,,,,,,xtt00xx
t111e,1tx2xlim(1)lim(1)2et,,,,, lim()ee,,,tt,,00,,xttx
1xlim()11x,,11xxx2xxelim()lim(1)eeeee,,,,, 1,,,,xxxxxe
xxx,lnxln(2)lim() x,,,xx,ln
xxxxx,ln2lnxxlnln(2)lim()lim(1),, xx,,,,,,xxxx,,lnln
xxx,ln2ln22xxxx2xlnlim(),e limlimlim2,,,,,x,,,xxx,,,,,,,,,xx,lnxxxxxx,,lnlnln
1xxxabc,,x(3)lim() 0x,3
11xxxxxxabcabc,,,,,3xx(3)lim()lim(1),, ,,xx0033
xxxxxx1111abc,,,,,,31abc因为 lim(),,,(limlimlim) ,,,000,0xxxxx33xxx
13,,,,(lnlnln)lnabcabc 3
1xxx3abc,,lnabc3x所以 lim(),eabc, 0x,3
1nnn(4) lim(123),,n,,
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第2章 极限与连续
1121,,nn1,lim()()n,,21,,nnnnn,,n33,,nelim(123)3lim1()()33,,,,,,,(4)1 ,,nn,,,,33,,
xxx2ln23ln33ln3,11xxlimlimlimln(123),,xxxnn1233,,xx,,,,,,x,,,nx2 lim(123)3,,,,,,eee ,,n
1111nnnnnnnn3 3,(1,2,3),3,3,且,故 lim(1,2,3),3lim333,,n,,n,,
求下列极限
(1),,; lim()()xpxqx,,,,,x,,,
2()()()xpxqxpqxpq,,,,,(1)原式,,,limlimxx,,,,,,xx,2()()xpxqx,,,
2()()()xpxqxpqxpqpq,,,,,,原式,,,limlim xx,,,,,,2()()xpxqxpq,,,xx(1)(1),,,xx
2411xxx,,,,(2); lim2x,,,xx,sin
2241142xxxxxxx,,,,,,,(2)原式 ,,,,limlimlim122xxx,,,,,,,,,,xxxx,sin
1111141(41),,,,,,,,,,xxx22xxxxx原式limlim1,,, xx,,,,,,sinsinxx11,,,,xx22xx
(3) lim(x,x,x,x)x,,,
xxx,1(3) lim()limlimxxxx,,,,,,xxx,,,,,,,,,2xx,xxxx,,,
xxe,2(4) limxxx,,e,2
xxxxxxxxee,2e,,22e,2(4);; limlim1,,limlim1,,lim1,xxxxxxxxxx,,,,,,xx,,,,,,x,,ee,2e,22e,2
求下列极限
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第2章 极限与连续
222arctansin1cosxxx,,,sinsin(1/)xxx,limlim(1); (2) 3x00xx,,sin(sin)2xx,ex,,1sin2
1223当时,,;,,;xsinsinx2xx,0sinsin~xx1cos,xarctan~xxx
x均是的高阶无穷小,求极限时可略去
2arctan()2arctan2xoxxx,(1)原式,,,,limlimlim2 xxx,,,000sin(sin)()sin(sin)xoxxx,
sin()sinxoxxx,(2)原式 ,,,limlimlimxxx,,,000xxxexexex,,,,,,1sin21sin21sin2
111 ,,,limx,0xex,1sin2123,,xx
利用已知不等式和函数的缩放,或考虑fx()的最值建立不等式。证明下列极限
f(x)2(1) 设总有,求证:; lim,0f(x),x,xx,0x
222因为,x,f(x),x,即 f(x),x
f(x)f(x)当时,, ,x,,xlim(,x),limx,0lim,0x,0,,,,x,0x,0x,0xx
f(x)f(x)当时,, x,,,xlimx,0lim,0lim(),,xx,0,,,,x,0x,0x,0xx
f(x)由夹逼定理知 lim,0 x,0x
1nnnn(2)设a,0ik,1,2,,,,求 lim()aaa,,ik12,,n
设,则 aa,max,,i1,,ik
nnnnnnnaaakaak,,,,, 12m
nnnnn limlim(1)0aaaaak,,,,,,,,k12nn,,,,
nnnn由夹逼定理知 limmaxaaaaa,,,,,ik,1,2,,,,,ki12nik1,,,,
22xxnnn(5), xlim1(),,,x,2n,,22
由于,则 x,2
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第2章 极限与连续
222nxxxxnnnnn,nnn xxx,,,,,,,1()(1)2()n2222
2222xxxxnnnnn , xlim2(),lim1(),,,x,2,n,,n,,2222
22xxnnn 1()(),,x, ()n,,22
222xxxnnnnn xlim1()lim(),,,,nn,,,,222
n
(1)用数列求和公式或分项的方法求项和的表达式; n
(2)适当放大缩小用夹逼定理求解;
*(3)用定积分的定义求解;
*(4)用数项级数求和的方法求极限。
求下列极限
111(2)x,,,,limlim() n222nn,,,,nnnn,,,12
nnn1 由于x,,,,且 n,222knnnkn11,,,,
nnlim,1lim,1, lim1x,,n22n,,n,,n,,,,1nnn
1111(3)x,,,,,limlim(1)(1)(1)(1) 2nn222,,,,nn2222
11111(1)(1)(1)(1)(1),,,,,2n222122222 limlimlim2(1)2,,,,xn1,n2nnn,,,,,,12(1),2
111(5)limx,lim(1,,,?,); nn,,n,,,,,,,?,1212312n
1222 由于,,,,则 1,2,?,nn(n,1)nn,1
1111112,,xlimlim12()lim(2)2,,,,,,,,,,, n,,nnn,,,,,,nnn233411,,,,
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第2章 极限与连续
nnn2limlimxa,aaaa,,,,(6)(,,) n,1,2,a,2nk,,kn12nnn,,,,kk1,1,
111n,,,lim()nn242n,,242 limlimlim222xa,,,,,,,22 nk,nnn,,,,,,k1,
n,,11111(1/2)11,其中, lim()lim()1,,,,,,,,nnn,,,,242211/2211/2,,,,
(1)利用参变量的不同取值范围分别求极限;
(2)利用参变量的递推关系求出系数的部分和求解。
nxxx(1sin)sin,,,,求fx()lim,n,,为正整数。 x,,1,1,,nn,,(1sin)1,,x,
nn(1)101,,,1101,,f(1)lim,,,,f(1)lim,,;; f(0)0,nn,,,,nn112,112,
n当时,,,故 fxx()sin,,lim(1sin)0,,,x,,,10x01sin1,,,,x,,n
sin,xx,n1si(,n),xn当fxx()lm,,i时,,,故 lim(1sin),,,,,x01,,x1sin1,,,xn,,,,n1n1,,1si(n)x,
,,,1/21x,
,sin10xx,,,,n,xxx(1sin)sin,,,,,综上所述 , fx()lim,,00x,,n,,n(1sin)1,,x,,xx01,,,
1/21x,,,
xn求fxxa()lim()arctan(),,,() a,1,,na
xn当时,limarctan()不存在; xa,,,,na
xn当,,,axa时,limarctan()0,; ,,na
xn当xa,fxxa()lim()arctan()0,,,时,; ,,na
x,n当xa,limarctan(),时, ,,na2
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第2章 极限与连续
不存在xa,,,
x,n()lim()arctan()0综上所述, fxxaaxa,,,,,,,n,,a,,()/2xaxa,,,
2设fxqfqxx()(),,在的邻域有界,且,,求 fx()01,,qfx()x,0
2 由fxqfqxx()(),,x,用替换,两边乘递推得 qxq
2232223362qfqxqfqxqx()(),,qfqxqfqxqx()(),,;;
nnnnn,,,113(1)2,qfqxqfqxqx()(),, 将上述各式相加得
3n1,qnnn363(1)22,fxqfqxqqqxx()()(1),,,,,,, 31,q
32n,,1,qx2nn fxxqfqx()lim(),,,,,33,,n11,,qq,,
fx()(1)利用已知极限确定常数:一般地,设lim,A, gx()
若gx()0,fx()0,fx()0,gx()0,,则;若,且,则 A,0
(2)利用已知极限存在求极限:设limxA,,对已知关系式再取极限,通过解极限n
方程求出;或利用已知极限同阶无穷小的关系,间接求解; A
(3)利用已知极限求函数的解析式:由已知极限同阶无穷大/小的关系确定函数的多项式结构,带回极限式求出常数。
由下列已知条件求ab,的值
2(2)lim(31)2xaxbx,,,,; x,,,
22(3)(1)xaxbx,,,2(2) lim(31)lim2xaxbx,,,,,2xx,,,,,,31xaxbx,,,
90,,a,a,9,,比较分子分母的系数得 ,,b,,,2b,,12,,3,a,
b12 lim(31)lim(3)2xaxbxxa,,,,,,,, 2xx,,,,,,xx
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第2章 极限与连续
b1lim(3)30aa,,,,,, a,9,,2x,,,xx
,,,,bxbxb1原式,,,,limlim2 b,,12,22xx,,,,,,639139xxbxxx,,,,
2 lim(31)lim(3)lim(3)2xaxbxxaxax,,,,,,,, xxx,,,,,,,,,
30,,a a,9,,
,,,,bxbxb1原式,,,,limlim2 b,,12,22xx,,,,,,639139xxbxxx,,,,
an(3)lim2007,; bbn,,nn,,(1)
(3)
aababab,,,,1nnnnlimlimlimlim2007,,,, bbbnnnn,,,,,,,,nnnbnb,,,,,,(1)1(11/)(1/)
12006 b,ab,,,,1ab,,,10,,,20072007
x(2)2x,(4)lim1, 2x1,axbx(1)(1),,,
(4)
(1)ln2lnxxx,,xxx,1,,21e,(2)22(21)xx,,,,limlimlim,, 222xxx,,,111axbxaxbxaxbx(1)(1)(1)(1)(1)(1),,,,,,,,,
(1)ln2ln(1)ln2lnxxxxxx,,,,,,2lim2lim 2xx,,11axbxaxbox(1)(1)(1)(1),,,,,,
,,2(1)ln2ln2(1)xxxxx,,, ,,,limln2lim,,xx,,11axax(1)(1),,,,
2a,,2(ln21),,,(ln21)1 ,任意 b,a
xx,1xxxxxx,,,1ln(2)(1)ln2ln其中,2xee,,lnln(11)~1xxx,,,,(1)x,;
求解下列各题
un(1)若数列uuu,,u,0limlim,x收敛,且,,求; x,,nnnn,,12nnnn,,,,un,1
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第2章 极限与连续
uu11nn设,则,,,, xlimxA,nnn,,,,,uuuuux1/1nnnnnn,,,,1111
,,15,,151两边取极限得A,A, ,(舍去) A,,221,A
2(2)已知 存在,且,求的值; f(x),x,x,2limf(x)limf(x)limf(x)x,1x,1x,2
2 设 f(x),x,x,2A,则,两边取极限得 limf(x),Ax,1
22 A,lim()lim(2)fxxxA,,,A,2,2A,,xx,,113
4414222则,故 fxxxAxx()2,,,,,,lim()lim()fxxx,,,,xx,,22333
ln(1()/sin),fxxf(x)(3)设,求 lim,Alim2x,0xx,0xa,1
f(x)x 由于极限存在,且,可知 ,则 limln(1,),0lim(1)0a,,,0x,0xxsin
fx()f(x)f(x)f(x)f(x) 原式 ln(1,)~~,,limAlim,Alna,,22x,0x,0sinxsinxxxxaln
3fxx()2,fx()设lim1,fx()为多项式,且,,求fx() lim3,2x,,x,0xx
3fxx()2,32 由lim1,fxxxbxc()2,,,,得知分子为二次多项式,故设 2x,,x
fx()又因lim3,,得,即 lim()0fx,x,0x,0x
32 lim()lim(2)0fxxxbxcc,,,,,,xx,,00
32fxxxbx()2,,2则 limlimlim(2)3,,,,,,xxbb xxx,,,000xx
32故 fxxxx()23,,,
f(x)f(x)设f(x)(a,0)fx()是三次多项式,且lim,lim,1,求及x,2ax,4ax2axa,,4f(x)lim x,3ax,3a
f(x)f(x) 因为fafa(2)(4)0,,lim,lim,1,所以,故,x,2ax,4ax,2ax,4ax2axa,,4
f(x)f(x),A(x,2a)(x,4a)(x,B)均为的因式,令, 则
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第2章 极限与连续
fxAxaxaxB()(2)(4)(),,,limlim2(2),,,,AaaBxaxa,,22xaxa,,22
fxAxaxaxB()(2)(4)(),,, limlim2(4),,,AaaBxaxa,,44xaxa,,44
,2Aa(2a,B),1,1 , A,B,3a,,22a2Aa(4a,B),1,
1 fxxaxaxa()(2)(4)(3),,,,22a
1,,,(x2a)(x4a)(x3a)2f(x)12a lim,,,limx,3a3x,ax3a,,x3a2
(1)证明极限存在:利用数学归纳法或比较相邻项大小确定数列的单调性,由通项式
的递推关系和缩放确定其有界性;
(2)令,代入取极限的通项关系式,化为代数方程求解; limx,Ann,,
(3)若数列不具单调的,则极限的存在性可用定义求证。为从证法获得提示,可先求
极限值,后证存在性。
设x,a,x,a,a,?,a(0)a,,证明x,a,a,?,limx1n2nn,,
存在,并求其值
x,xaxax,,,,设,,则 x,a,x,xkk,1kk,1211
x,x a,x,a,xx,,,,,k,1kkk,1n
2由于xaaaaaa,,,,,,,,,21(1)1,设,则 x,a,12k
2,,a,2a,1,a,1,a,1 x,a,x,a,a,1,k,1k
即,,x,故有界,极限存在。设,则 xa,,1limx,Annnn,,
2A,a,Alima,x A,A,a,0limx,,,n,1nn,,n,,
11解得A,(1,1,4a),负根舍去,所以 lim(114)xAa,,,, n,,n22
11已知x,,22x,2x,,,,,,证明存在,并求其值。 limx12n,1nn,,xx1n
1 若极限存在limlim(2)x,,,,则,即 limxA,n,1nnn,,,,n,,xn
16
第2章 极限与连续
1 ,(舍去) A,,12A,,12A,,2,A
11存在性:由于,x,,,,则 22A,,,,,1222,,,0n,1xAn
Ax,1111n,1 xA,,,,,,,,(2)(2)nxAxAxAnnn,,,111
xAxAxAxA,,,,nnn,,,1231,,,,, 231n,4444
2(12)12,,,21,n(当足够大时) ,,,,,nnn,,,111444
由极限定义知 lim12xA,,,nn,,
(1)若已知函数在某点连续,则该点极限符号与函数符号可以交换次序,函数的极限
值等于函数值;
(2)若已知分段函数在分段点连续求常数,则根据函数连续三条件求解;
(3)讨论分段函数的连续性实际上就是讨论函数在其分段点的左右极限;
设2fxfx()(),fx()在(0,),,上连续, ,,且f(3)5,,求fx() ,,x0
111n2242由于,则 fxfxfxfxfx()()()()(),,,,,
11nn,,22 fxfxfxf()lim()lim()(1),,,,,nn,,,,,,取ff(3)(1)5,,fx()5,x,,,(0,),得,故, x,3
讨论f(x)在处的连续性 x,0
,2x,(cos)0xx,,(1)fx(), ,ax,0,,
,,2221,,,lim(cos1)limxxxx1,,22,2xx,,002xx lim(cos)lim(1cos1)xxeee,,,,,,xx,,00
1,2故当f(x)时,在处连续. x,0fae(0),,
1,,sin0xx,,(2)fx(), x,x,,,0ex,,
f(0)1,,,;
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第2章 极限与连续
0,0,,1x,; lim()1e,,,,,limxsin,,,,,0xx,0不存在,0x,,
当,时,在处连续; ,,,1f(x),,0x,0
当,时,是的第一类(跳跃)间断点; ,,,1f(x),,0x,0
当时,是的第二类(振荡)间断点。 f(x),,0x,0
2n,1x,ax,b设f(x),lim为连续函数,求 a,b2nn,,x,1
由参变量的不同取值范围求极限即的表达式,再根据连续三条件求解 f(x)
1,(1)lim1,,,,f,,ax,bx,1,,,,x1x,,1(1)lim(),,,,,,faxbabx,1,,,,,,x1,x,, ,f(x),1(1)lim(),,,,,faxbab,,,x1(1,a,b)x,1,,,21,1,,(1)lim1,,f,,(,1,a,b)x,,1x1,,x,2,
1,,1,,a,b,(,1,a,b)fff(1)(1)(1),,,,,,,,,2 ,,,1fff(1)(1)(1),,,,,,1,a,b,(1,a,b)2,
a,1,b,0 ,
(1)将方程移项为fx()0,fx()fx(),即为辅助函数;验证在上满足零点定ab,,,理或介质定理的条件;
(2)形如f()0,,fx()或的命题,作辅助函数或;验证Ff,,,()0,Fxfx,(),,,,fx()或在上满足零点定理或介质定理的条件; Fxfx,()ab,,,,,
(3)反证法:若方程不成立(无零点),则区间上函数不变号,由区间端点函数值符号
相异得出矛盾结论。
证明方程xx,a,b(,),至少有一个正根,且。 x,asinx,ba,0b,000
令,,0,a,bF(x),x,asinx,bF(x),显然在上连续,又
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第2章 极限与连续
;,, ,a1,sin(a,b),0F(0),,b,0F(a,b),a,b,asin(a,b),b
,若,取即为方程正根; 1,sin(a,b),0xab,,,02
若,,,有,则F(0)F(a,b),,ab1,asin(a,b),0,1sin()0,,,abF(a,b),0
由零点定理有至少存在一点x,(0,a,b)F(x),0,使得 00
2n,12n 证明奇次方程ax,ax,a,0(a,0)ax,?,必有实根。 02n2n,101
2n,12n 设f(x),ax,ax,?,ax,a,则在连续,且 f(x)(,,,,,)2n2n,101
,,,,,()x,21n, fxax(),,0,,,,,()x,
故当充分大时,存在,使得fM()0,,,fM()0,,由零点定理必有 xM,0
f()0,,,,,,,,,,,(,)(,)MM
设nf(x)在上连续,且对任何自然数,f(x)在上严格单调,0,,,nn,1,,,,,
2,若limsin,,,(,1)nnf()0,,nfnfn()(1)0,,,求证存在唯一的,使得,并求 nnn,,,n
由题设条件知,,,,(,1)nnf(x)满足零点定理条件,至少存在一点 ,使得n
f()0,,,f(x)(,1)nn,,又在 上严格单调,故是内的唯一零点,则 nn,1,,,nn
nn2,nlimsinlim22nnn,,,,1,,1,,,, ,,nnn,,,,,,1,,nnnn
设,,a,bf(x),,(a,b)在上连续,且,证明:至少存在一点, a,c,d,b
使得pf(c),qf(d),(p,q)f(,),其中,为任意正常数。 p,q
1 ,,a,bf(x)mfxM,,()在上连续,必有 ,则
pmpfcpM,,()qmqfdqM,,(),
pfcqfd()(),mM,,()()()()pqmpfcqfdpqM,,,,, ,pq,
pf(c),qf(d)由介质定理,至少存在一点,f(,),,(,)ab,使得 p,q
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第2章 极限与连续
2 令,显然在,,上连续,且 a,bF(x),(p,q)f(x),pf(c),qf(d)Fx()
,, F(c),(p,q)f(c),pf(c),qf(d),qf(c),f(d)
,,F(d),(p,q)f(d),pf(c),qf(d),pf(d),f(c) 当时,取或,命题成立; f(c),f(d),,c,,d
2当,,F(c)F(d),,pqf(c),f(d),0时,,由零点定理有 f(c),f(d)
, F(,),0pf(c),qf(d),(p,q)f(,),,(c,d),(a,b),
设,,在上连续,且ff(x),x,证明:存在一点,使得 f(x),f(,),,R
1 设,,,,,显然在x,f(x)或f(x),x上连续,又 F(x),f(x),xF(x)
,,,,Ff(x),ff(x),f(x),x,f(x) 当f(x),x,0时,取,,x,命题成立;
2当,,,,F(x)Ff(x),,f(x),x,0fxx()0,,时,,由零点定理知,至少存在一点
,,(x,f(x)),,(f(x),x)F(,),0f(),,,或,使得,即
2 反证法,设fxx(),fxx(),(,),,,,,则由函数的连续性知在内不变号,不妨设fxx()0,,,则
ffxfx()()0,,ffxfxx()(),,,,,,,
这与,,ff(x),x矛盾,故存在一点,,,,,,(,),使得f(,),,
设,,,,0,10,1f(x)f(0),f(1),在上连续,且。证明:在上至少存在一点,
1使得f(,),f(,,) n
1n,1,, 设F(x)F(x),f(x),f(x,),则在上连续 0,,,nn,,
1F(0),f(0),f(); n
112F(),f(),f(); nnn
;
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第2章 极限与连续
n,1n,1 F(),f(),f(1)nn
12n,1 F(0),F(),F(),?,F(),f(0),f(1),0nnn
11n,故或全为0或至少有两个值异号,由介质定理知: FFF(0),(),,()nn
11n,n,1,,当全为0时,,有 ,,,FFF(0),(),,()0,,,nnn,,
1 F()0,,f(,),f(,,),n
11n,i,1i当不全为0时,至少有两个异号,设,异FFF(0),(),,()F()F()nnnn号,则
ii,11n,1,,F(,),0 , f(,),f(,,),,,(,)0,,,,nnnn,,
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