海岸线与分形

海岸线与分形 海岸线与分形 摘要:本文以海岸线的测量为线索通俗易懂地介绍了规整几何图形的测量及其相关特征，引出分维的概念，最后由海岸线过渡到分形，展示了分形在生活中无处不在和应用。 关键字:海岸线;规整几何;分形 英国科学家理查逊曾探索过大量关于自然复杂现象的问题，并对海岸线和国境线的测量问题感到怀疑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书，发现这些国家对他们共同边界的长度的估计相差竟达20%～他向世界提出了海岸线的问题，难道是海岸线不可以测量吗,为了探讨这个问题，先来谈谈我们对平时所学的几何对象是如何测量的。 一、规整几何图形的测量 所谓规整的几何图形是指，直线与直线段;平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、三角形以及正多边形;三维空间中的长方体、正六面体与正四面体等。另一类就是由曲线或 [1] 曲面所围成的几何图形;平面上的圆与椭圆;空间中的球、椭球、圆柱、圆台与圆锥等。 2在规整几何中，为了测量一块平面图形的面积，可以用一个边长为，面积为l的“标准”l 2方块去覆盖它。所得的方块数目就是它的面积(以l为单位): 平面图形面积[2] ,有限数,面积。2l 因此，也就是说，先确定一个“标准”，然后求得的含有这样“标准”的个数就是测量的结果。这个“标准”也就是特征尺度。 下面，我们用这个方法去测量海岸线的长度吧～设想测量员用两脚规，把它张成一定的 Nr长度，例如，然后沿着海岸线一步一步地测量，所得数为，则海岸线在这一尺度下的r11 l,N，rr近似长度为，说“近似”，是出于为测量时忽略了小于的那些曲曲弯弯的曲线。1r111 rrr,r如果把两脚规张成较小的长度，比如()，再沿着海岸线一步一步地测量，所得2211 Nl,N，r的数为，则海岸线在该尺度下的近似长度为，“近似”理由同上，此时，那r2r222 r些小于的弯弯曲曲的海岸线仍被忽略了，„„，如此 ，会得到关于海岸线长度的一系列2 [3]l,l,l,l,l,l,不同的结果:„，，„，并且显然有„„。 nn1212 难怪不同的国家对它们的共同边界的估计误差达20%。在规整几何图形的测量中，完全依赖这些特征尺度，每种事物都有其特定的特征尺度，例如天体物理学家描写的宇宙结构，大约在数百万光年的范围上，生物学家认识的微生物的结构大约有微米的长度，物理学家研究的夸克，约在10—13厘米的数量级上，在规整几何中，每一个具体的事物都与特定的尺度相关。但是这对于海岸线并不适用。作为一种实际事物，海岸线在大小两个方向都有自然的限制。取不列颠岛外缘的几个突出点，用直线把它们连起来，得到的海岸线的长度的一种下界，另一方面，海边沙石的最小尺度莫过于原子和分子的大小，在这两个自然限度之间，存在着可以变化的许多个数量级的无标度区，在无标度区内，长度显然不是海岸线很好的定 [4]量特征。那像这种以“无标度性”为特点的问题该如何解决呢, 二、海岸线的测量 用规整几何图形测量的方法去测量海岸线失败的原因在于随着测量尺度的变小，测出的海岸线的长度无限增大，小湾内有小湾，小岛内有小岛，究其原因就在于海岸线结构的复杂，不象规整几何图形那样平滑。上述方法的失败也告诉我们对于海岸线的测量问题用“长度”作为定量特征是不适宜的。因此，必须重新寻找海岸线的定量特征。 现在我们还以规整几何为出发点重新方式思考这个问题。在规整几何中，如果要在平面 x轴、轴两个方向上确定这图形上确定一个点，我们需要先建立一个直角坐标系，然后从y 个点的位置，用两个独立坐标去描述这个点的位置，独立坐标的个数实际上就是这个平面图形的维数。维数是几何对象的一个重要特征量，直观地说，维数就是为了确定几何对象中一 [2]个点的位置所需的独立坐标的数目，或者说独立方向的数目。例如，如果要在空间中确定一个点就需要三个独立坐标，因此空间的维数就是3。 2把一个正方形的每个边长增大为原来的3倍，得到一个大正方形，它恰好等于3,9个 33,27原来的正方形。类似地，把一个正方体的每个边长增大为原来的3倍，就得到个原来大小的立方体。推而广之，一个维几何对象的每个方向都增大为原来的倍，结果得到dl dl,N个原来的对象，这三个数的关系是。对于一切普通的几何对象这个关系都是成立N 的。对上式两边同时取对数，写成， lnN d,lnl 不必再是整数，将其称之为分维。 d 对于规整的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数，然而分形并不限于规整对象。l 在前面关于海岸线长度的讨论中，已经知道总长度与使用的测量单位有关系，为了得到精确 ,,的结果，把测量单位缩小为原来的倍，即，只有不断缩小，才能使结果精益求l,1/, ,精，测得的长度N(,)也随着的减小而增大。分维定义中的和要换成N(,)和，N1/,l ,ln()N,,lim而且还要看不断减小时有没有极限存在，于是d。因此，海岸线的长度为 ,,0ln(1/,) 1,d[5] L,L,L，其中为海岸线的长度，为分形的初始操作长度。L00 三、海岸线与分形 在处理海岸线长度的问题上，我们对海岸线进行了缩小，实际上这是对海岸线理想化的描述，这样使局部形态和整体形态具有了相似形。这种部分以某种形式与整体相似的形状叫 [6]做分形。海岸线的自相似性是通过大量统计而抽象出来的，例如，当我们乘坐飞机俯瞰海岸线时，会发现在不同高度上观察到的海岸线形状是大致相同的，即海岸线的曲折、复杂程度相近，因此说海岸线有自相似性，是一种分形。 分形几何的思想是客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似形，称为自相似性。自然界的许多事物在其内部的各个层次上都具有自相似的结构，在一个花样内部还有更小的同样的花样。“分形”意味着自相似。一个几何图形，如果它的组成部分与整体之间具有某种相似性，就称为“分形”。“自相似”的思想在人类文化的各个方面都有所反映。中国古代就有“袖里有乾坤，壶中有日月”和“一尘一世界”的说法。德国哲人莱布尼兹也曾设想过，在一滴水里包含着多姿多彩的世界，其中又有许多滴水，每滴水又各有新的世界。 分形的自相似性使其内部结构不存在特征长度，也就是说，人们不能象对待普通物体所习惯的那样，通过通常的度量，用长度或重量或体积等参数去刻画分形的特征。针对分形的具有自相似性的结构特征，经过科学家的潜心研究，发现“维数”可以用来作为分形的定量表征，因为“维数”给出了一个集充满空间程度的描述，分形的自相似性使得任一局部“充满空间”程度与整体都是一样的。于是，分维成为描述分形的定量表征，在一般情况下，分维可以是整数，也可以是非整数。 分形几何有广泛的应用范围。它为地震学家描述地球表面崎岖不平提供了强有力的工具。金属学家同样利用分形几何来描述钢铁表面，金属表面的分维数为金属的强度提供了有用的信息。人体的主动脉到毛细血管，形成了另一种分形结构，它们分支再分支，由于生理上的需要，血管进行维数的变化，循环系统把无限的面积挤入有限的体积，美国陆军与杜邦分公司曾经试图合成人造羽绒，研究表明天然羽绒之所以储存大量的空气。其实正是羽绒的蛋白质角蛋白有分形的节点和分支。分形理论作为新兴科学正显示出强大的生命力。 分形指具有多重自相似的对象，它可以是自然存在的，也可以是人造的。花椰菜、树木、山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形。根据英国儿歌改编的一首小诗可以说明 [7] 分形之普遍性: 一个分形的人， 穿过分形的森林， 走过分形的一英里， 分形地捡到了一枚分形的六便士， 买了一只分形的猫， 抓了一只分形的老鼠。 分形的人， 分形的猫， 分形的老鼠， 都挤在分形的小屋里。 分形人分形的大脑里， 构思着分形猫分形地吞下了分形的老鼠， 分形老鼠被分形猫分形的小肠壁分形地吸收着„„ 参考文献 [1]董连科.分形理论及其应用[M].沈阳:辽宁科学技术出版社，1990:4. [2]邓东皋，孙小礼，张祖贵。数学与文化[M].北京:北京大学出版社，2001:324. [3]钱佩玲.从UCSMP引发的思考[J] (数学通报，1997，(10)( [4]邓东皋，孙小礼，张祖贵。数学与文化[M].北京:北京大学出版社，2001:332. [5]董连科.分形理论及其应用[M].沈阳:辽宁科学技术出版社，1990:64. [6]陈凌等.分形几何学[M].北京:地震出版社，2005:5. [7]王庚.数学文化与数学教育—数学文化报告集[M].北京:科学出版社，2005:169—170.