变上限积分求导
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变上限定积分求导法则:
,x例如:原函数存在定理: ftdtfx,,,,,,,,0
如果该函数再添一个变量,那么公式就变为 ftx,,
,xx xftdtftdtxfx,,,,,,,,,,,,00
x相当于:是一个常数,提取在变上限定积分的前面。 ftdtx,,,0举例:(2008年高职升本试卷)
x若在,,,,,内连续,Fxxtftdt,,2 fx(),,,,,,,,,0
证明:(1)若为奇函数,则Fx为奇函数。 fx(),,
Fx (2)若非增,则非减。 fx(),,
FxFx,,证明:(1)若为奇函数,则证明=0即可。 fx(),,,,
,,,xxx,,,,,,,Fxxtftdtxftdt,,,,22tftdt ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000,,,,,,
xxftdtxfxxfxftdtxfx,,,,2 = ,,,,,,,,,,,,00
,,,,,xx,x,,,,,,,Fxxtftdtxftdt2()2tftdt ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,000,,,,,,,,,,,,
,,xx,,,,,,,,,,,,,ftdtxfxxfxftdtxfx()(1)2()(1) = ,,,,,,,,,,,,00
xx,,,FxFxftdtxfxftdtxfx ,,,,,,, 故: ,,,,,,,,,,,,,,00
xx0,,,, 0ftdtftdtftdt ,,,,,,,,,,,0xx
,,FxFxC,,, 由拉格朗日定理,可知:(C为常数) ,,,,
x,0FxFx,,当时代入,可得:=0。 ,,,,
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,(2)若非增,则证明。 Fx,0fx(),,
x,由 Fx,ftdtxfx,,,,,,,,0
由积分中值定理,可得: ,,0,x,,
, 上式 Fx,fxxfxxfxfxxffx,,,,,,,,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
x,0 依
意,得:不妨设,则 xffx,,,0,,,,,,,,
即:命题得证.
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