武汉艺术生文化课武昌区华英艺考补习立体几何

武汉艺术生文化课武昌区华英艺考补习立体几何 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 2009年高考数学试题分类汇编——立体几何 一、选择题 1.(2009年广东卷文)给定下列四个命题: ?若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ?若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直; ?垂直于同一直线的两条直线相互平行; ?若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A(?和? B(?和? C(?和? D(?和? 【】D 【解析】?错, ?正确, ?错, ?正确.故选D 2.(2009广东卷理)给定下列四个命题: ?若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ?若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直; ?垂直于同一直线的两条直线相互平行; ?若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直( 其中，为真命题的是 A. ?和? B. ?和? C. ?和? D. ?和?【解析】选D. 3.(2009浙江卷理)在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的ABCABC,111 DADBBCC中心，则与平面所BBCC成角的大小是 ( ) 1111 ,,,,30456090A( B( C( D(答案:C AE,？,AEDEAD【解析】取BC的中点E，则面BBCC，，因此与平面BBCC所成角即1111 a30ABa,DE,，ADE为，设，则，，即有(AEa,tan3,60，,？，,ADEADE22 l4.(2009浙江卷文)设是两个不,同的平面，是一条直线，以下命题正确的是( ),, A(若，则 B(若，则 l,,,,,,l,,l//,//,,,l,,C(若，则 D(若，则 l,,,,,//l,,l//,,,,,l,,4(C 【解析】对于A、B、D均可能出现l//,，而对于C是正确的( ABCDABCD,AB5.(2009北京卷文)若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60?11111 AC角，则到底面ABCD的距离为 11 ( ) - 1 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 3A( B( 1 C( D(【答案】D 323 【解析】考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. 属于基础知识、基本运算的考查. :: 依题意，，如图，，故选D. BB,，,1tan603，,BAB6011 6.(2009北京卷理)若正四棱柱的底面边长为1，与底面成6ABCDABCD,AB11111 ABCDABCD0?角，则到底面的距离为 ( ) AC11 3 A( B(1 3 3C( D(【答案】D 2 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图) 属于基础知识、基本运算的考查. :: 依题意，，如图，，故选D. ，,BAB60BB,，,1tan60311 7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). 2323223,，423,，A. B. C. D. ,，,，2433【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 2 2 2,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 212332边长为，高为，所以体积为 ，，,23，，33 2 23,，所以该几何体的体积为.答案:C 23 本题考查了立体几何中的空间想象能力, 【命题立意】:2 2 侧(左)视图 正(主)视图 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 8. (2009山东卷理)已知α，β示两个不同的平面，m为平面α内的 一条直线，则“,,,”是“m,,”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 俯视图 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的 m,,,,,,,,m,,一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.答 - 2 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 案:B. 9. (2009山东卷文)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”,,,是“”的( ) m,, A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反m,,,,,过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件答案:B. ,,,m,, 2ABE10.(2009全国卷?文) 已知正四棱柱中，=，为重点，则异ABCDABCD,AAAA111111 BE面直线与所形成角的余弦值为 CD1 1310310(A) (B) (C) (D) 答案:C 551010 解析:本题考查异面直线夹角求法，方法一:利用平移，CD’?BA',因此求?EBA'中?A'BE即可，易 31052知EB=,A'E=1,A'B=,故由余弦定理求cos?A'BE=，或由向量法可求。 10 11.(2009全国卷?文)设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45?角的平面截球 ,7O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 × 答案:8π 4 解析:本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由 7,224S,4,R,4,(4),8,. 14, AABCABC,12.(2009全国卷?理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的1111 ABCBCABCC射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( D )1 3357(A) (B) (C) (D) 4444 BCABACC,,，AAB解:设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角111 ADAD3,,，，,,,,余弦定理，易知.故选DcsoscosAADDABco1AAAB41 - 3 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ C 1AB 11 C D BA o 13.(2009全国卷?理)已知二面角α-l-β为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离60 3为，Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为( C ) (A) (B)2 (C) 23 (D)4 解:如图分别作 QAAAClCPBB,,,,,于于于,,, PDlD,于，连 CQBDACQPBD,60,则，,，,: ？,,ACPD2， AQBP,,23,3 222？PQAQAPAP,，,，,1223又 AP,0点与点AP当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。 ABCD14.(2009江西卷文)如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错PQMN( 误的为 (A ACBD,ACAB. . ?截面 PQMN N,CACBD,DPMBD45. . 异面直线与所成的角为答 DP案:C M ACACBDBDA【解析】由?，?，?可得?，故PQPQQMQM BQCACACB正确;由PQ?可得?截面，故正确; PQMN PNPMBDPMD异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确; CC综上是错误的，故选. ABCDCOxAB15.(2009江西卷理)如图，正四面体的顶点，，分别在两两垂直的三条射线， OzOy，上，则在下列命题中，错误的为 (( OABC,OBACDA(是正三棱锥 B(直线?平面 ,,OBDOBA,,AD4545C(直线与所成的角是为答D(二面角 - 4 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 案:B 【解析】将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B z C D OBy Ax P,ABCDEF16.(2009四川卷文)如图，已知六棱锥的底面是正六边形， 则下列结论正确的是 PA,平面ABC,PA,2AB PB,AD A. 平面PAB,平面PBC B. BC平面PAE C. 直线? PD与平面ABC D. 直线所成的角为45?【答案】D 【解析】?AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB?平面PAE，所以也 BC平面PAB,平面PBC平面PAE不成立;BC?AD?平面PAD, ?直线?也不成立。在 Rt,PAD中，PA,AD,2AB，??PDA,45?. ?D正确 A、B、C，ABCBA,BC17.(2009四川卷文)如图，在半径为3的球面上有三点，=90?，, 32ABCB、C 球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是 2 ,4, A. B. ,C. D.2,【答案】B 33 【解析】?AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点。 3232,223()，BOC,2,, O’C,，AC,3，?BC,3，即BC,OB,OC。?，则两点的322 ,B、C，3,,球面距离, 3 EABCDABCD,AAAB,2，AA18.(2009全国卷?理)已知正四棱柱中，为中点，则异面111111 BECD直线与所成的角的余弦值为 1 - 5 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 1310310 A. B. C. D. 551010解:令则,连? 异面直线与所成的角即 BEAB,1AA,2AB？CDABCDAB？111111 310与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C BE,ABEcos，,ABE111019.(2009辽宁卷理)正六棱锥P,ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D,GAC与三棱锥P, GAC体积之比为 E D (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2 【解析】由于G是PB的中点,故P,GAC的体积等于B,GAC的体积 F C H 3 在底面正六边形ABCDER中BH,ABtan30?,AB 3 B A 3 而BD,AB 故DH,2BH 于是V,2V,2V【答案】C D,GACB,GACP,GAC 20.(2009宁夏海南卷理) 如图，正方体的棱 线长为1，线段上有两个动点E，F，ABCDABCD,BD111111 2且，则下列结论中错误的是 EF,2 ACBE,(A) EFABCD//平面(B) ABEF,(C)三棱锥的体积为定值 (D)异面直线所成的角为定值 AEBF, 解析:A正确，易证B显然ACDDBBACBE,,平面，从而;正确，11 ;C正确，可用等积法求得;D错误。选D. ？EFBDEFABCD//,//？平面易证 2m21.(2009宁夏海南卷理)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位:c)为 2222)48+12(A (B)48+24 (C)36+12 (D)36+24解析:选A. 0022.(2009湖北卷文)如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，?ACB=90,?ACC=60,11 0?BCC=45,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于1 12A. B. 22 33C. D. 23 - 6 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 【答案】A 【解析】过顶点A作底面ABC的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长. 23.(2009湖南卷文)平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条ABABCDABCD,CC11111数为【 C 】 A(3 B(4 C(5 D(6 D1C1 B1A1DC ABBCCD解:用列举法知合要求的棱为、、、、故选CDBBAA1111C. 024.(2009辽60宁卷文)如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为 (A)0.8 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25 1060【解析】设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60?,R 2 060 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.【答案】C A25.(2009全国卷?文)已知三棱柱ABCABC,的侧棱与底面边长都相等，在底面上的1111 ABCBCABCC射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 1 3357(A) (B) (C) (D) 4444 BCABACC,,，AAB解:设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角111 ADAD3,,，，,,,,余弦定理，易知.故选D csoscosAADDABco1AAAB41 P,ABCDEF26.(2009四川卷文)如图，已知六棱锥的底面是正六边形， PA,平面ABC,PA,2AB则下列结论正确的是 PB,AD A. - 7 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ B. 平面PAB,平面PBC BC C. 直线?平面PAE D. 直线所成的PD与平面ABC角为45?【答案】D 【解析】?AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB?平面PAE，所以也 BC平面PAB,平面PBC平面PAE不成立;BC?AD?平面PAD, ?直线?也不成立。在Rt,PAD中，PA,AD,2AB，??PDA,45?. ?D正确 A、B、C，ABCBA,BC27.(2009四川卷文)如图，在半径为3的球面上有三点，=90?，, 32ABCB、C 球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是 2 , A. B. ,3 4, C. D.2【答案】B ,3 【解析】?AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中 点。 3232,223()，BOC,2 O’C,，AC,3，?BC,3，即BC,OB,OC。?，则两,,322 ,B、C，3,,点的球面距离, 3 228.(2009陕西卷文)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 2322(A) (B) (C) (D) 答案:B. 3363 解析:由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长 2的正四棱锥)，所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积为2 1222, 故选B. VV,，，，2=21=正四棱锥323 ABCDABCD,BD29.(2009宁夏海南卷文) 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个111111 1EF,动点E，F，且，则下列结论中错误的是 2 ACBE, (A) - 8 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ (B) EFABCD//平面 (C)三棱锥的体积为定值 ABEF, (D),,AEFBEF的面积与的面积相等【答案】D 【解析】可证故A正确，由?平面ABCD，可知ACDDBBACBE,,平面，从而;BD1111EFABCD//平面，B也正确;连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，ABEF, 1111122,，，1,S，三棱锥的体积为为定值，C正确;D错误。ABEF,，，,,BEF22434224选D. 230.(2009宁夏海南卷文)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位:)为 cm (A) (B)48242， 48122， (C) (D)36242，【答案】A 36122， 【解析】棱锥的直观图如右，则有PO,4，OD,3，由勾股定理，得 11122PD,5，AB,6，全面积为:×6×6，2××6×5，×6222 2×4,48，12，故选.A。 31.(2009湖南卷理)正方体ABCD—ABCD的棱上到异面直线AB，C的距1111 离相C等的点的个数为(C) 1 A(2 B(3 C. 4 D. 5【答案】:C DBD【解析】解析如图示，则BC中点，点，点，点分别到两异面直线的11 距离相等。即满足条件的点有四个，故选C项。 PABCDEF,川卷理)如图，已知六棱锥32.(2009四的底面是正六边形，PAABCPAAB,,平面,2，则下列结论正确的是 PBAD,,. PABPBC,平面,.平面 BCPAEC. 直线?平面 - 9 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ :,. 直线与平面所成的角为PDABC45 【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。(同文6) AG,PBG解:由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A;作于， 因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排PAB, BC//EF除B;由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。 解析2:设低面正六边形边长为，则，由平面可知aADaPAABa,,,2,22 ABCRtPAE,，PA且AD，所以在中有直线与平面PDPAE所成的角为PA,PAAD, :，故应选D。 45 :33.(2009四川卷理)如图，在半径为3的球面上有三点，，球心ABC,,，,,ABCBABC90, 32OABCBC、到平面的距离是，则两点的球面距离是 2 ,4,2,A. B. C. D. ,33 解析:由知截面圆的半径 18322,BC、r,9,,,BC,,32,3，BOC,，故，所以两点的球面距离3422 ,3,,,为，故选择B。 3 OABCACDD解析2:过球心作平面的垂线交平面与，，则在直线上，，,ABCBABC, 323222,ABCAC,32由于OD,，，所以，由为等腰直角三角形CDOCOD,,,22 ,BC,3,OBC，3可得，所以为等边三角形，则两点的球BC,面距离是。 3 0PP5034.(2009重庆卷理)已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与,,,,l 025,,平面和平面所成的角都是的直线的条数为( ) A(2 B(3 C(4 D(5【答案】B 0FGAFE为，，AFE50【解析】是度数为的二面角的一个平面角，的平分线，当过P的直线与平 FG行时，满足条件，当过点p的直线与AD平行，也是满足条件直线，与AD直线类似，过点的直 线与 BE平行也是满足条件得共有3条。 - 10 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 35.(2009重庆卷文)在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面ABCDABCD,B11111 dh的距离分别为和，则下列命题中正确的是( ) BDABCD111 hA(若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 (0,1)d h223B(若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 (,)d23 h23C(若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为 (,2)d3 h23D(若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为【答案】C (,)，,d3 解析;设底面边长为1，侧棱长为，过作。 BBHBDBGAB,,,,,(0),11111 2BDBD,,，2,2,在中，，由三角形面积关系得wRtBBD,11111 ,BDBB2,111设在正四棱柱中，由于， BCABBCBB,,,hBH,,,112BD，2,1 BC,所以平面，于是，所以平面，故为点到平面AABBBCBG,BG,ABCDBG1111111 的距离，在中，又由三角形面积关系得ABCDRtABB,1111 2ABBBh211,，,,,111dBG于是，于是当,,,,21,,,1222ABd，2,1，2，,1, 21h232,,1,，,,,,23,11，所以，所以,(,1)2，32,d3 二、填空题 江卷理)若某几何体的三视图(单位:cm1.(2009浙)如图所示，则此几何体的体积是 3cm(答案:18 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 1339，，,3319，，,，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18 ABCDAB,22.(2009浙江卷理)如图，在长方形中，，BC,1DCECEF，为的中点，为线段(端点除外)上一动 ,AFDAF点(现将沿折起，使平面平面 - 11 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ ABCAKt,(在平面内过点作，为垂足(设，则的取值范围ABDDKABD,DKAB,t是 ( 1,,答案: 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对,1,,2,, t,1于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因 CBBD,ADB平面，即有，对于CBABCBDKCB,,？,,, ，又，因此有ADAB,,1,2CDBCBD,,？,2,1,3 11,,t,ADBD,，则有，因此的取值范围是t,1,,22,, 3.(2009浙江卷文)若某几何体的三视图(单位:)如图所示，cm 3cm则此几何体的体积是 ( 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 1339，，,3319，，,，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18 4.(2009江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为 . 【解析】 考查类比的方法。体积比为1:8 5.(2009江苏卷)设和为不重合的两个平面，给出下列命题:,, (1)若内的两条,相交直线分别平行于内的两条直线，则,平行于,;(2)若外一条直,, lll线与内的一条直线平行，则和,平行;(3)设和相交于,直线，若内有一条,直线垂,, lll直于,,,，则和,垂直;(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 (写出所有真命题的序号).真命题的序号是(1)(2) (( ABCABC,6.(2009全国卷?理)直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若111 ，,:BAC120ABACAA,,,2,，则此球的表面积等于 。 1 ,ABCABAC,,2，,:BAC120BC,23解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆 ,,,ABCOORTOBO,R,5半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此 - 12 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 2球的表面积为. 420,,R, 7.(2009安徽卷理)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________ (写出所有正确命题的编号)。 12?相对棱AB与CD所在的直线异面;?由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的,交点; 34?若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面;?分别作三组相对棱中,, 点的连线，所得的三条线段相交于一点;?5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 [解析]??? 8.(2009安徽卷文)在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。 222【解析】设由可得故 My(0,,0)y,,1M(0,1,0),141(3)1，，,，,,，yy 【答案】(0,-1，0) 9.(2009安徽卷文)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。 ?11相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;?22由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的 33若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合;三条高线的交点;? ?44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;?55分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。 【解析】由空间四面体棱,面关系可判断???正确,可举例说明??错误.【答案】??? 210.(2009江西卷理)正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为ABCABC,AB,111 8，则正三棱柱的体积为 (答案: , ,23OABCAOB，,AB,22【解析】由条件可得，所以，到平面的距离为，所以所求体23 8积等于( ABCABC,11.(2009四川卷文)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中M111 CCABBM和点，则异面直线所成的角的大小是 。11 【答案】90? 【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN?平面BCCB， 11 连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影， ABBM和?BN?BM，?AB?BM.即异面直线所成的角的大小是90111 ? OAOOAOAMM12.(2009全国卷?理)设是球的半径，是的中点，过且与成45?角的平面截 7,OCCO8,球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 . 4 - 13 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ ,7722C解:设球半径为，圆的半径为， R由,,,,得4rr.r44 22R21722222O 因为。由得.故球的表面积R,2OCR,,,RRrR,，,，()224484 8,等于. 13.(2009辽宁卷理)设某几何体的三视图如下(尺寸的 长度单位为m)。 3 则该几何体的体积为 m 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这 1边上的高为3, 体积等于×2×4×3,4【答案】4 6 OAO14.(2009全国卷?文)已知为球的半径，过的中 OAOA3,O点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面MMM 积等于__________________. R2222R,(),3R解:设球半径为，圆M的半径为，则,r,3,，即r,3由题得，所以r222R,4,4,R,16,。 15.(2009四川卷文)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中ABCABC,M111CC点，则异面直线所成的角的大小是 。ABBM和11 【答案】90? 【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN?平面BCCB，连接B1N，则B1N是11 AB1在平面BCC1B1的射影，?BN?BM，?AB?BM.即异面直线11 ABBM和所成的角的大小是90? 1 O16.(2009陕西卷文)如图球O的半径为2，圆是一小圆，，OO,211 ,2,O，AOB、B是圆上两A点，若=，则A,B两点间的球面距离为 .答案: 1132 OAOB,圆O解析:由OO,2,=2由勾股定理在中 11 O1 ,,AOB中AB,2，AOB则有OAOB,,2, 又= 则 所以在， 111A B 2 O ;OAOBAB,,,2,AOB为等边三角形，,AOB60，则，那么 ,,2ABlr两点间的球面距离,,，,,2lrr,,()为半径由弧长公式,得. AB3317.(2009湖南卷理)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 - 14 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ (1)球心到平面ABC的距离为 12 ; (2)过,，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 3 ,ABC【解析】(1)由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径ABC,, 222d即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，d，,513 d,12ABC可得。(2)设过三点的截面圆的圆心是中点是点，DOAB,1 O球心是点，则连三角形，易知就是所求的二面角的一个OOD，ODO11 ABOO12221ODOA,,,()4平面角，，所以，即，,,,ODO31112OD41 正切值是3。19.(2009四川卷理)如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是ABCABC,M111侧 棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 CCABBM和11 AN,取BC中点N，连结，则面，?是在面上的射影，由几何知识BNBCBNABBC11111 o知90，由三垂线定理得，故填写 BN,BMAB,BM11 20.(2009年上海卷理)如图，若正四棱柱的底面连长为2，高 为4，则异面ABCDABCD,1111 直线与AD所成角的大小是______________(结果用反三角函数表示). BD1 arctan5【答案】 【解析】因为AD?AD，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A角，即?A1D1B， 111D1所在 55arctan5由勾股定理，得AB,2，tan?A1D1B,，所以，?A1D1B,。 1 RR，2R,3RSRR21.(2009年上海卷理)已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，3123121 SSSS，,23S，，满足的等量关系是___________.【答案】 32123 S12S,2,RS,2,RS,2,R【解析】，，同理:，即R,，RS,4,R12331122112, - 15 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ SS32,，R,，由得 R，2R,3RSSS，,2331231232,2, 三(解答题 2.(2009广东卷理)(本小题满分14分) 如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形ABCDABCD,z 1111 GE的中心，点F、分别是棱的中点(设点分别BCCBCDAA,11111 EG1 1 G是点E，在平面内的正投影( EG,DCCD1111 FGAE(1E)求以为顶点，以四边形在平面内的正 y 投影为底面边界的棱锥的体积; DCCD11 x (2)证明:直线平面; FG,FEE11 (3)求异面直线所成角的正弦值.. EGEA与11 PAC,ABC,ABC3.(2009浙江卷理)(本题满分15分)如图，平面平面， ACPA是以为斜边的等腰直角三角形，分别为， EFO,, ACAC,16PAPC,,10PB，的中点，，( GOCFG//BOE (I)设是的中点，证明:平面; ,ABOMFM, (II)证明:在内存在一点，使平面 BOEOAOBM，并求点到，的距离( DC,ABCEBDC//4.(2009浙江卷文)(本题满分14分)如图，平面，， ,ACBCEBDC,,,,22，,ACB120，，分别为的中点((I)证明:PQ,AEAB,PQ// ACDADABE平面;(II)求与平面所成角的正弦值( 1,ABEPQ//BE(?)证明:连接， 在中，分别是的中点，所以， 又P,QDP,CQAE,AB,,2 1PQ//DCDC//BE，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD PQ,PQ//,,,,,2 ,ABC(?)在中，，所以 AC,BC,2,AQ,BQCQ,AB EB//DC,EB, 而DC平面ABC，，所以平面ABC EB,, 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ACQ,BE 由(?)知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ DP, 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， ，DAP 所以直线AD与平面ABE所成角是 - 16 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 2222Rt,APD 在中， ，所以AD,AC，DC,2，1,5DP,CQ,2sin，CAQ,1 DP15 sin，DAP,,,AD55 5.(2009北京卷文)(本小题共14分) PABCD,如图，四棱锥的底面是正方形，PDABCD,底面，点E AECPDB,平面在棱PB上.(?)求证:平面; (?当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角PDAB,2 的大小. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力( (?)?四边形ABCD是正方形，?AC?BD， PDABCD,底面AECPDB,平面?，?PD?AC，?AC?平面PDB，?平面. (?)设AC?BD=O，连接OE，由(?)知AC?平面PDB于O，??AEO为AE与平面PDB所的角，? 1PDABCD,底面OEPD,O，E分别为DB、PB的中点，?OE//PD，，又?，?OE?底面ABC2 D，OE?AO， 12:，,AOE45在Rt?AOE中，， ?，即AE与平面PDB所成的角的大OEPDABAO,,,22 :45小为.6.(2009北京卷理)(本小题共14分) ::PABC,PA,如图，在三棱锥中，底面， ABCPAABABCBCA,,60,90,，,，, DEBC//DE点，分别在棱上，且 PBPC, BC,PAC(?)求证:平面; PACDPBAD(?)当为的中点时，求与平面所成的角的大小; EADEP,,(?)是否存在点使得二面角为直二面角,并说明理由. (?)?PA?底面ABC，?PA?BC. :，,BCA90又，?AC?BC.?BC?平面PAC. 1DEBC,(?)?D为PB的中点，DE//BC，?， 2 又由(?)知，BC?平面PAC，?DE?平面PAC，垂足为点E.??DAE是AD与平面PAC所成的 角， - 17 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 1?PA?底面ABC，?PA?AB，又PA=AB，??ABP为等腰直角三角形，?， ADAB, 2 1:?在Rt?ABC中，，?. BCAB,，,ABC602 DEBC2?在Rt?ADE中，， sin，,,,DAEADAD24 2PAC?AD与平面所成的角的大小. arcsin4 (?)?AE//BC，又由(?)知，BC?平面PAC，?DE?平面PAC， 又?AE平面PAC，PE平面PAC，?DE?AE，DE?PE，??AEP为二面角的平面ADEP,,角， ,, :?PA?底面ABC，?PA?AC，?.?在棱PC上存在一点E，使得AE?PC，这时，,PAC90 :， ，,AEP90 故存在点EADEP,,使得二面角是直二面角. 7.(2009山东卷理)(本小题满分12分) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, 1111 D1 C1 AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。 111A1 B1 (1) 证明:直线EE//平面FCC; 11 D EC 1 (2) 求二面角B-FC-C的余弦值。 1E A B F 解法:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1， 1111 连接A1D，CF，CF，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， 111 D1 C1 //所以CD=AF，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//AD， 111A F1 1B1 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//AD， 111PD EC 1 EE,CF,所以CF1//EE，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC. 1111111OE A B F (2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,?BCF为正三角形,取CF的中点O,则 OB?CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC?平面ABCD,所以CC1?BO,所以OB?平面CC1F,11111 过O在平面CC1F内作OP?CF,垂足为P,连接BP,则?OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在?BCF11 OPOFOB,3为正三角形中,,在Rt?CC1F中, ?OPF??CCF,?,?1CCCF11 - 18 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 12, OP,，,222222， 2 114OP7222在Rt?OPF中,,,所以二面BPOPOB,，,，,3cos，,,,OPBBP72214 2 7A角B-FC-C的余弦值为. 1 C11 7 B1 8.(2009全国卷?文)(本小题满分12分) D E 如图，直三棱柱ABC-A1B1C中，AB?AC,D、E分别为AA、B1C的中点，DE?平面BCC 111(?)证明:AB=AC A C (?)设二面角A-BD-C为60?,求B1C与平面BCD所成的角的大小 B 解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF?平面BCC,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平1 面DEF?平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。 1，连接EF，则EFBB解法:(?)取BC中点F，从而EFDA。 12 BCCBCC连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE?平面，故AF?平面，从而AF?BC，11即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。 (?)作AG?BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG?BD，故?AGC为二面角A-BD-C的平面角。 20.222由题设知，?AGC=60.设AC=2，则AG=。又AB=2，BC=，故AF=。 3 - 19 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 222ABADAGBD,,,由得2AD=，解得AD=。 2.2AD， 3 故AD=AF。又AD?AF，所以四边形ADEF为正方形。 因为BC?AF，BC?AD，AF?AD=A，故BC?平面DEF，因此平面BCD?平面DEF。 连接AE、DF，设AE?DF=H，则EH?DF，EH?平面BCD。 连接CH，则?ECH为与平面BCD所成的角。 BC1 1因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC==2， BC12 0所以?ECH=30，即与平面BCD所成的角为300. BC1 9.(2009江苏卷)(本小题满分14分) EF如图，在直三棱柱中，分别是、ABCABC,AB1111、 D的中点，点在上，ACBCADBC,11111。 求证:(1)EF?平面ABC; ,(2)平面平面.AFDBBCC111 10.(2009全国卷?理)(本小题满分12分) SABCD,ABCDSD,ABCD如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， DCSD,,2SC，ABMAD,2，点M在侧棱上，=60? SC(I)证明:M在侧棱的中点 SAMB,,(II)求二面角的大小。 MNSDCDNEAB,AB(I)解法一:作?交于N，作交于E， MN,ABCDMEAB,NEAD,,2连ME、NB，则面，, MNx,NCEBx,,设，则, ，,:MBE60RTMEB,？,MEx3在中，。 ？ 22222RTMNE,MENEMN,，？,，32xx在中由 - 20 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 1x,1SC解得，从而 M为侧棱的中点M. MNSD,？2 CD解法二:过作的平行线. M (II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂 线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的 方法求作二面角。 JMJCDSDSHAJ,AJ过M作?交于,作交于H, JMCDJM,SAD作交AM于K,则?,面,面HKAM, SADSH,，SKH,面MBA,面即为所求二面角的AMB？ 补角. BAMF分析二:利用二面角的定义。在等边三角形中过点作ABMBFAM,交于点， GFAM,，GFBF则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角. 另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。 11.(2009安徽卷理) 2如图，四棱锥F,ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2. (I)求二面角B,AF,D的大小; (II)求四棱锥E,ABCD与四棱锥F,ABCD公共部分的体积. ,解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF， ,,,,G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 ,,,于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B,AF,D 的平面角。 ， ,22FCAC,FCAC,,2FAC,由， ，得，由，OG,OBOGOBOD,,,,422 ,，,，,BGDBGO2得 2 - 21 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ (II)连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公 共部分为四棱锥H-ABCD。 过H作HP?平面ABCD，P为垂足。 因为EA?平面ABCD，FC?平面ABCD，，所以平面ACFE?平面ABCD，从而 PACHPAC,,,. HPHPAPPC2，,，,1,由得HP,。 3CFAEACAC 1122SACBD,,,又因为故四棱锥H-ABCD的体积 2,VSHP,,,.菱形ABCD菱形ABCD23913.(2009安徽卷文)(本小题满分13分) 如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直， 平分线段AD:(?)证明:直线垂直且 (?)若?EAD=?EAB=60?，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。 EDABCDEDEC''',？,面【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上. ？'' 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 ？ 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. '' 所以,直线EF垂直平分线段AD. '' (2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分. MEEE,？,3'2设AD中点为M,在Rt?MEE中,由于ME=1, . '' 11422,,,,，，,SABCDEE'22？V—ABCD 四方形E333 111222V,,,，，，,SEE又—BCF=V,BEF=V,BEA=V,ABC '22CCE ABCE3323 - 22 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD，V—BCF= 22？E 14.(2009江西卷文)(本小题满分12分) PABCD,ABCDABCD如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，PA,PAAD,,4 O(以的中点为球心、为直径的球面交于点( BDBDPDMAB,2 PPCD(1)求证:平面?平面; ABM PC(2)求直线与平面所成的角; ABM O(3)求点到平面的距离( ABMM解:(1)证:依题设，,在以,,为直径的球面上，则,,?,,. 因为,,?平面,,,,，则,,?,,，又,,?,,， DA所以,,?平面,,,，则,,?,,，因此有,,?平面,,,，所以 zO平面,,,?平面,,,. PBC(,)设平面,,,与,,交于点,，因为,,?,,，所以,,?平面 M,,,，则,,?,,?,,，由(1)知，,,?平面,,,，则MN是 ，PNMPCPN在平面AABMBM上的射影，所以 就是与平面所 NDA成的角， y，,，PNMPCD 且 OPDtantan22，,，,,PNMPCDarctan22 所求角为 BDCCx (3)因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面 ABM距离的一半，由(1)知，,,?平面,,,于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离. PAAD,,4PDAM,MPDDM,22因为在Rt?PAD中，，，所以为中点，，则O点到 2平面ABM的距离等于。 15.(2009江西卷理)(本小题满分12分) PABCD,ABCDABCDPA,PAAD,,4AB,2在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. ACOACPCNPDM以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点. PCDABM(1)求证:平面?平面; P CDACM(2)求直线与平面所成的角的大小; NMNACM(3)求点到平面的距离. 解:方法一:(1)依题设知，AC是所作球面的直径，则AM?MC。 DA又因为P A?平面ABCD，则PA?CD，又CD?AD， 所以CD?平面,,,，则CD?AM，所以A M?平面PCD， O B所以平面ABM?平面PCD。 C AMPD,PAAD,MPD(2)由(1)知，，又，则是的中点可 得 - 23 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 22， AM,22MCMDCD,，,23 1则 SAMMC,,26,ACM2 h设D到平面ACM的距离为，由即， 268h,VV,DACMMACD,, 26可求得， h,3 h66,设所求角为，则，。 ,,,,,arcsinsin3CD3 PNPA8NCPC:5:9,,(1) 可求得PC=6。因为AN?NC，由，得PN。所以。 ,3PAPC 5故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。 9 5106又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由(2)可知所求距离为。 h,92716.(2009湖北卷理)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) ((((( 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，, 点E是SD上的点，且 ADa,2DEa,,,,,(02) ACBE,(?)求证:对任意的，都有 ,,(0,2] ,(?)设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角 ,为，若，求的值tantan1,,g,, 18.(?)证法1:如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC?BD。 SD?平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC?BE ？？？ (?)解法1:如图1，由SD?平面ABCD知，?DBE= , , SD?平面ABCD，CD平面ABCD, SD?CD。 ？,？ 又底面ABCD是正方形， CD?AD，而SD AD=D，CD?平面SAD. ？, 连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE?AE于F，连接CF，则CF?AE， ,故?CDF是二面角C-AE-D的平面角，即?CDF=。 - 24 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ DE,,a在Rt?BDE中，BD=2a，DE= ？,,tan,？BD2 2在Rt?ADE中, ？ADaDEaAEa,,？,，2,,2,, ADDEa,2,从而 DF,,2AE，2, 2CD,，2RtCDF,在中，由，得tan,,tantan1,,,,,DF, 2,,，222.由，解得，即为所求. ,,2.1222,,，,,,,,(0,2],,2, 20.(2009全国卷?理)(本小题满分12分) E 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，DE,平ABCABC,AABCABACD,,11111面 BCC1 ABAC,(I)证明: ABDC,,BCD(II)设二面角为60?，求与平面所成的角BC1 的大小。 (I)分析一:连结BE，为直三棱柱， ？ABCABC,111 ？，,:BBC90,1 ？,BEEC？EDE,为BC的中点，。又平面BCC， 11 ？,BDDCABCDA,(射影相等的两条斜线段相等)而平面， ？,ABAC(相等的斜线段的射影相等)。 BCAFBC,FAFEDAFDE分析二:取的中点，证四边形为平行四边形，进而证?，， ABAC,得也可。 BCDBDCBCB(II)分析一:求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。 11 AGBD,GGCGCBD,，AGCABDC,,作于，连，则，为二面角的平面角， ，,:AGC60AC,23RTABD,.不妨设，则.在中，由AGGC,,2,4 ADABBDAG,,,AD,6，易得. BDChBBC 设点到面的距离为，与平面所成11 11BCDSDESh,,,,的角为。利用，,,BBCBCD133 - 25 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ h1h,可求得，又可求得 23,,,,？,:BC,43sin30.1BC21 BCD30.:即与平面所成的角为 BC1 BCD分析二:BCAFED,面作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面BC1 AEDF、OAFEDBDC,面。由分析一易知:四边形为正方形，连，并设交点为，AFED ？OCECBDCEOBDC,面？，ECO即为所求则，为在面内的射影。。以下略。 21.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分) 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 (I)若平面ABCD ?平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦; (II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。 (18)(I)解法一: 取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2， 则 2MG?CD，MG=2，NG=.因为平面ABCD?平面DCED，所以MG?平面DCEF，可得?MNG 66CEF所成的角。因为MN=是MN与平面D，所以sin?MNG=为MN与平面DCEF3 所成角的正弦值 „„6分 (?)假设直线ME与BN共面， „„8分 则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN , 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。 , 又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 - 26 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 又AB//CD//EF， 所以EN//EF，这与EN?EF=E矛盾，故假设不成立。 所以ME与BN不共面，它们是异面直线. „„12分 22.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分) 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 2 (?)求证:AC?SD; (?)若SD?平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 (?)在(?)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE?平面PAC。若存在，求SE:EC的值;若不存在，试说明理由。 解法一: SOAC,ACBD, (?)连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以 ACSD,ACSBD,平面,得. 20OPSDa,2，,SOD60(?)设正方形边长，则。又，所以,连，由(?)知aODa,2 ACOP,ACOD,，PODACSBD,平面,所以,且,所以是二面角的平面角PACD,,。 00SDOP,PACD,,SDPAC,平面，,POD3030由,知,所以,即二面角的大小为。 BEPAC//平面(?)在棱SC上存在一点E，使 2SPNPNPD,NPC由(?)可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点PDa,4 SC BDNBNPO//NEPC//BENPAC//平面E即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得 SNNP::,21SEEC::,21BEPAC//平面,由于,故. 23.(2009湖北卷文)(本小题满分12分) - 27 - 阳光教学资源网 ng.com 搜集，仅供学习和研究使用～ 如图，四棱锥S,ABCD的底面是正方形，SD?平面ABCD,SD,AD,a,点E是SD上的点，且 ,,DE,a(0