利用边界元法计算无界声场中结构体声辐射

利用边界元法计算无界声场中结构体声辐射 V o l. 34 N o. 4 上 海 交 通 大 学 学 报第 34 卷 第 4 期 A p r. 2000 2000 年 4 月 JOU RN A L O F SHA N GHA I J IA O TON G U N IV ER S IT Y () 文章编号: 100622467 20000420520204 利用边界元法计算无界声场中结构体声辐射 闫再友,姜楫,严明 ()上海交通大学 建筑工程与力学学院, 上海 200030 摘 要: 建立了无界声场中结构体声辐射的边界元数学模型. 计算中以八节点曲边四边形等参元模 拟结构体表面. 利用复合亥姆霍兹积分方程解决了边界元方法在计算声学外问时解的不唯一现 象. 同时利用正则化关系式将复合亥姆霍兹积分方程中的超奇异数值积分转化为弱奇异数值积分. 最后以脉动球和振荡球声辐射为例, 验证了数值计算结果, 表明利用边界元方法计算声学外问题时 必须考虑解的不唯一问题. 关键词: 声辐射; 边界元法; 等参元; 外问题; 超奇异积分 中图分类号: O 421; O 313; O 427 文献标识码: A C a lc u la t ing A c o us t ic R a d ia t io n f rom O b je c t in U nb o und e d S o und F ie ld U s ing B o und a ry E lem e n t M e tho d 2, , YA N Z a iy ou YA N M in g J IA N G J i Schoo l o f C iv il E n g. an d M ech an ic s, Sh an gh a i J iao to n g U n iv. , Sh an gh a i 200030, C h in a A b s t ra c t: A m a th em a t ica l m o de l abo u t aco u st ic rad ia t io n f rom st ru c tu re su bm e rged in u n bo u n ded so u n d . 2f ie ld w a s deve lop ed u sin g bo u n da ry e lem en t m e tho dE igh tno ded cu rv ilin ea r qu ad r ila te ra l isop a ram e t r ic . e lem en t s w e re app lied to m o de l th e su rface o f th e st ru c tu reT h e no n u n iqu en e ss p ro b lem o ccu r r in g in bo u n da ry e lem en t m e tho d w h en so lv in g th e aco u st ic ex te r io r p ro b lem s w a s e lim in a ted u sin g th e com po site . , H e lm ho ltz in teg ra l fo rm u la t io n sA t th e sam e t im eth e h yp e r sin gu la r n um e r ica l in teg ra t io n in th e com po s2 ite H e lm ho ltz in teg ra l fo rm u la t io n s w a s co n ve r ted in to w eak ly sin gu la r n um e r ica l in teg ra t io n u sin g a regu2 . , la r iza t io n re la t io n sh ipT o va lida te th e m a th em a t ica l m o de lp u lsa t in g sp h e re rad ia t io n an d o sc illa t in g . , sp h e re rad ia t io n w e re ca lcu la tedA s a re su ltth e n um e r ica l re su lt s ag ree ve ry w e ll w ith th e co r re spo n d in g . , , an a ly t ica l so lu t io n sIn co n c lu sio n th e no n u n iqu en e ss p ro b lem m u st b e co n side redw h en bo u n da ry e le2 .m en t m e tho d is u sed to so lve aco u st ic ex te r io r p ro b lem s : ; ; ; ;Ke y w o rd s aco u st ic rad ia t io nbo u n da ry e lem en t m e tho d sisop a ram e t r ic e lem en tex te r io r p ro b lem h yp e r sin gu la r in teg ra t io n 自 50 年代以来, 亥姆霍兹边界积分方程被广泛, 大大减少了计算工作量, 而且分析的问题降低一维 该方法自动满足无限远处的边界条件. 但边界元方 地 用 来 分 析 无 界 声 场 中 结 构 体 声 辐 射. 70 年 代 以 法在计算声学外问题时也存在一些缺点. 其中最主 后, 基于亥姆霍兹边界积分方程的边界元方法更是 要的是解的不唯一性和奇异、超奇异的数值积分. 解 被许多学者视为计算无界声场中声辐射的最好方 的不唯一性是指当用边界元法计算声学外问题时, 法. 因为该边界元方法具有完美的数学形式, 它将所 在对应内问题的某些特征频率下数值解不唯一. 处 收稿日期: 1999205210 理不唯一性的方法已有许多, 其中最常用的两种方 基金项目: 美国艾默生电气公司资助项目 1( ) 作者简介: 闫再友 1972, , 男, 博士生. 法是由 提出的组合亥姆霍兹积分方程式Sch en ck 2 其算子表达式为和由 等构造的复合亥姆霍兹积分方程式. B u r to n 方法只适用较低的激励频率, 而 等 5 p 1 T Sch en ck B u r to n ( ) + M N p =9 k k 2 5 n 人的方法对任意激励频率均有效. 有关这方面的详 T 式中, 算子 和定义为N k M k 细论述请参见文献3 . () 5 5 G P , Q S d ()QN Λ = ΛQ k 1 边界积分方程 n5 P? Q5 n ()10 ()本文所考虑的是无界声场中具有光滑表面结构 5 G P , Q T()dS Λ = ΛQ NQ k ? 5 n P 体声辐射问题. 假设一切时变量均随时间按简谐规 等 人 证 明 方 程 只 要 耦 合 常 数 选 得 合 适, 式B u r to n 律变化, 即所考虑的问题是定常问题. ( )( ) ( ) 6、9的线性组合式 11将对任意激励频率均有 声压均满足亥姆霍兹方程唯一解: 2 2 ) ( ()+k p = 0 1 5 p 1 T 1 式中, 波数 = ƒ, , 为声速. 在流体为角频率- I + M k + ΑN kL k + Α I + Mk cΞ c = Ξk p 5 n 2 2 与 ()11 固体边界上声压满足如下边界条件:()5 p 5 n = 2 ƒiΞΘv 式中: , 是一个纯虚数, 一般取- ; 算为耦合常数ƒΑik n式中: 为表面声压; ; 为结构体的为流体密度p Θv n T 子 、和 有弱奇异积分核, 而算子 有超L kM k M N k k此外,法向振动速度; n 为结构体表面外法线方向. 奇异积分核. 算子 的存在是应用 等人的N k B u r to n 在 无 穷 远 处 外 问 题 还 要 满 足 辐 射 条Somm e rfe ld 2 ( )方 法的困难所在. 本文利用正则化关系式 式 12 件: 将算子 k 降为弱奇异积分:N 2 5 p ()3 lim -ik p dS = 0 1 1 r???5 r L N = I +I +()- 00 M 12 M 00 2 2 ( ) 利用 公式可得方程 1对应的亥姆霍兹积分 G reen 式中, 算子 、和 分 别 与 算 子 、和 L 0N 0 M 0 L kN k M k 方程为 相对应, 只是积分核中 变为 , 即G G 0 ()()5 G P , Q 5 p Q ()()- G P , Q p Q dS Q = ( ) () 13 1ƒ4Πr G 0 r=5 n 5 n ?QQ () ()根据式 12, 有 P ?Ep P 2 1 1 P ?S ()14 ()()L N = L [N - N +p 4 KK 0 K 0 M - IP 0 4 2 弱奇异 P ?D 从而算子 中的超奇异性被降为弱奇异.0 N k 式中: 、、分别指结构体外部空间、结构体表面积分研究得比较透彻, 由于篇幅有限这里不再详述.ES D 及结构体内部空间; 为自由空间格林函数,G 数值离散化2 - ik r ()( ) 5 G r= e4Πrƒ () 本文采用具有较高精度的八节点曲边四边形等 式中, r 为源点 P 和场点 Q 之间的距离. 方程 4中 参元模拟结构体表面. 单元节点分布如图 1 所示. 各 表面亥姆霍兹积分方程利用积分算子可表达为 1 5 p 个节点处的形函数为 ()I + M kp = L 6 - K 2 5 n 1 ) () ((N 1 = - 1- Ν1- Γ1+ Ν+ 4 式中, 积分算子M k 和 L k 定义为 )Γ 1 2 5 G ) ((N = Ν1- 1- 2 ()7 M Λ = Λ dS , L Λ = ΛG dSk k 2 ??5 n )Γ1 用边界元计算声学外问题有很多优点, 如将所 () () (N = 1+ Ν1-ΓΝΓ- 3 4 处理问题降低一维), 只须在表面上划分单元即可. 但 - 1 1 () (N = 1-Ν1- 4 Γ边界元法也存在一个极大的缺点, 就是当某些激励 2 2 ) ()15 频率与内问题的特征频率相等时, 外问题的解不唯 1 2 ) ((N = Γ 1+ Ν1-5 一. 为了使解在所有激励频率下均唯一, 本文采用了2 ) 2 等所提出的复合亥姆霍兹积分方程式. 首 B u r to n 1 () () N = 1- Ν1+ Γ1- Ν+ 6 4 先定义表面亥姆霍兹积分方程的法向导数方程: ()- Γ 1 2 () ()5 G , Q 5 p Q 5 P () (N = 7 1- Ν1+ () () = p Q -G P , Q dS Q 2 ?5 nQ5 nQ5 n P )Γ 1 ()1 5 p P ) () ((N = 1+ Ν1+ ΓΝ+ Γ- 8 ()8 4 2 5 n P)1 上 海交通大学 学 报522 第 34 卷 图 1 单元节点分布图 . 1 F igE lem en t no de s co nf igu ra t io n 图 2亥姆霍兹方程算出的脉动球表面声压 根据等参元的定义有. 2F ig Su rface aco u st ic p re ssu re fo r a p u lsa t ing 8 8 5 p 5 p sp h e re u sing H IE ()16 N p , p = =N l l l6 6 5 n 5 n l l= 1 l= 1 () 因此, 用 个单元表面式 6可离散化为 n n 8 1 5 G i j() p i P = N l dS ?p j l - 6 6 2 κ 5 n j = 1 l= 1 ?Sj 5 p G N dS ?()i jl 17 κ 5 n j l ?S j 将上式表达成矩阵形式, 即 5 p 1 ()I + A18 - {p } = B 5 n 2 图 3复合亥姆霍兹方程算出的脉动球表面声压 式中, 、的元素可表达为AB . 3Su rface aco u st ic p re ssu re fo r a p u lsa t ing F ig 5 G i jA = N dS i, k lsp h e re u sing com po site H IE 6 κ 5 n ( ) k = f j , l S ?j()19 球体半径为 a , 以径向速度 v 0 co s Η进行振荡. Η B = G N dS 为振动点的法向与振动速度方向之间的夹角. 图 4i, k i jl 6 κ ( ) k = f j , lS ?j () 给出用表面亥姆霍兹积分方程 6算出的在 = 0 点 Η( ) 式 中: f j , l为单元节点与总体节点关系的映射函 处振荡球表面声压与解析解的比较. 横坐标为波数 数; 为单位矩阵; 和 为以总体节点数为行列数 I A B 半径 , 纵坐标为无量纲声压. 可以看出在内问题 k a () 的方阵. 类似地, 复合亥姆霍兹积分方程 11可以得 特征频率 = 4. 49 和 = 7. 73 附近数值解不唯k a k a 到相应的离散化矩阵形式. 一. 3 数值算例 为了验证所建立边界元数学模型的正确性, 本 文计算了脉动球和振荡球声辐射. 在两个算例中球 体表面均被划分为 96 个八节点四边形等参元, 共有 290 个节点. 3. 1 脉动球声辐射 球体半径为 , 以均匀径向速度 进行脉动. 图a v 0 ( ) 2 给出用表面亥姆霍兹积分方程 6算出的脉动球 表面声压与解析解的比较. 横坐标是波数半径 , k a 纵 坐 标 是 无 量 纲 声 压. 可 以 看 出 在 内 问 题 特 征 频 ()图 4 亥姆霍兹方程算出的振荡球表面声压 = 0 Η4率 = = 2. 图 3 给和 附近数值解不唯一k a Πk a ΠF ig. 4 su rface aco u st ic p re ssu re fo r an o sc illa t ing 出 ()= 0sp h e re u sing H IE Η () 了用复合亥姆霍兹积分方程 11算出的脉动球表面 声压与解析解的比较. 很明显, 解的不唯一现象已经 () 5 给出了用复合亥姆霍兹积分方程 11算出 图 被消除, 数值解与解析解吻合很好. 在 = 0 点处的振荡球表面声压与解析解的比较. 很 Η 3. 2 振荡球声辐射明显, 解的不唯一现象已经被消除, 数值解与解析解 吻合很好.的不唯一性正是利用边界元方法解决声学外问题的 困难之所在. 在算例中用图的形式将边界元解声学 外问题时解的不唯一性清晰地表达出来, 使不唯一 性这一抽象的数学概念更具体、直观. 数值算例表 明, 这一方法是可行的. 参考文献: 1 Sch enck H A. Im p ro ved in teg ra l fo rm u la t io n fo r [ . ,aco u st ic rad ia t io n p ro b lem s J J A co u st So c A m 1968, 44: 41, 58. , . 2 B u r to n A J M ille r G FT h e app lica t io n o f in teg ra l equa t io n m e tho d s to th e num e r ica l so lu t io n o f som e ()图 5 复合亥姆霍兹方程算出的振荡球表面声压 = 0 Η[. ex te r io r bo unda ry va lue p ro b lem sJ P ro c R So c L o n2 5 F ig. Su rface aco u st ic p re ssu re fo r an o sc illa t ing , 210., 1971, 323: 201do n Se rA ()= 0sp h e re u sing com po site H IE Η , , . 3 C h ien C C R a jiyah H A t lu r i S NA n effec t ive m e tho d 32fo r so lv ing th e h yp e r singu la r in teg ra l equa t io n s in D 4 结语 ( ) [ . , 1990, 88 2 : 918,aco u st ic s J J A co u st So c A m 937. 本文成功地利用八节点四边形等参边界元计算 , , . 4 W ang W e ip ingA ta lla N o u redd ineN ico la s J eanA 了无界声场中结构体声辐射. 并用复合亥姆霍兹积 bo unda ry in teg ra l app ro ach fo r aco u st ic rad ia t io n o f 分方程消除了数值解的不唯一性. 边界元方法计算 ax isymm e t r ic bo d ie s w ith a rb it ra ry bo unda ry co nd i2 声学外问题时, 数值解的不唯一性必须加以考虑. 否[ . t io n s va lid fo r a ll w ave num be r s J J A co u st So c 则, 数值解将不能正确反映物理问题. 而处理数值解() A m , 1997, 101 3: 1468, 1478. , . 2 L o renze t t i D M N o rfo rd L KM ea su red ene rgy co n2 ()上接第 512 页 22sum p t io n o f va r iab lea irvo lum e fan s unde r in le t van 同时采用两种优化控制时, 系统总体节能 22[. and va r iab lesp eedd r ive co n t ro lJ A SH RA E T ran s2 效果更佳, 夏季、春季和冬季 3 种试验日的节能分别 , 245. , 1992, 99: 238ac t io n s为 4. 9% 、9. 7% 和 17. 3%. . : [ . 3 Co ad W Indoo r a ir qua litya de sign p a ram e te r J () , 1996, 6: 39, 47.A SH RA E Jo u rna l 4 结语 , . 24 W ang S W J in X QCO 2 ba sed o ccup ancy de tec t io n 试验显示, 集成 对 系统的控制优化BM S V A V 2[ . fo r o n line o u tdoo r a ir f low co n t ro l J Indoo r B u ilt 提供了极大的可能.通过系统的优化 送风温 V A V () , 1998, 7 3: 165, 181. E nv iro nm en t 度和 子系统的开停, 在保证和改善室内热舒ƒCA V 晋欣桥, 夏 凊, 陈 刚, 等. 变风量空调系统中的实时 5 () 优化节能控制 [. 节能, 1999, 1: 17, 21.适性的同时, 可减少可观的能耗. 在许多新设计的商 J 6221989, A SH RA E standa rd R V en t ila t io n fo r A ccep t2 6 业建筑中, 实现系统优化控制的器件都是现成的, 并 () [ .ab le Indoo r Q ua lity p ub lic rev iew d raf tS 不需要任何附加投资. . [. : F ange r P OT h e rm a l com fo r t M N ew Yo rkM c2 7 参考文献: 2, 1970.G raw H ill . 2 W ang S W D ynam ic sim u la t io n o f bu ild ing V A V a ir8 1 E ng lande r S L , N o rfo rd L K. Sav ing fan ene rgy in 2co nd it io n ing sy stem and eva lua t io n o f EM C S o n line . 1: 22V A V sy stem sp a r t ana ly sis o f a va r iab lesp eed [ . ,co n t ro l st ra teg ie s J B u ild ing and E nv iro nm en t [ . , 1993, 100:d r ive re t ro f it J A SH RA E T ran sac t io n s () 1998, 33 3: 134, 143. 387, 393.