正交变换法和配方法化二次型标准形hfuu

正交变换法和配方法化二次型形1配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：情形1:如果二次型fx,x,,x含某文字例如x的平方项，而a0,12n111则集中二次型中含x的所有交叉项，然后与x2配方，并作非退化线性替换11ycxcxcx11111221nnyx22（cP）ijyxnn则fdy2gy,,y,其中gy,y是y,,y的二次型。112n2n2n对gy,y,,y重复上述方法直到化二次型f为标准形为止.23n情形2:如果二次型fx,x,,x不含平方项，及a0i1,2,,n,12n11但含某一个a0ij，则可先作非退化线性替换ijxyyiijxyyjijxyk1,2,,n;ki,jkk把f化为一个含平方项y2的二次型，再用情形1的方法化为标准形.i例1.1：用配方法化二次型fx,x,x=x22xx2xxx22xxx2123112132233为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：先对x配方消去所有含有x的项x2，xx，xx：1111213fx,x,x=x2+2xxx+x2-2xx-x212312312233=xxx2-xx2+x2-2xx-x2123232233=xxx2-4xx-2x21232331再对x配方消去所有含x的项x2；xx：33323fx,x,x=xxx2-2x22xx123123323=xxx2-2xx22x2123232yxxx1123作线性替换yxx223yx32把二次型化为标准形fx,x,x=y22y22y2123123注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为2xyyyxxx112311232y2x或xy22222y2xx22323xyy32223则二次型化得标准形是fx,x,x=y2y2y2123123例1.2：用配方法化二次型fx,x,x=2xx+2xx-6xx为标准形，并123121323写出所用的非退化线性替换.xyy112解：作非退化线性替换xyy212xy33则fx,x,x=2yyyy+2yyy-6yyy1231212123123=2y22y24yy8yy121323先对y配方，fx,x,x=2y22yy-2y2+8yy1123113223=2yy2-2y2+8yy-2y2132233再对y配方，fx,x,x=2yy2-2y24yy-2y22123132233=2yy2-2y2y2+6y2132332zyy113作线性替换zy2y223zy33把二次型化为标准形：fx,x,x=2z22z26z21231232正交变换法化二次型标准形正交变换法化二次型标准形的一般步骤：(1)写出A的特征方程EA0,求出A的全部特征值.(2)对于各个不同的特征值，求出齐次线性方程组EAx0的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化.(3)把上述求得的n个两两正交的单位特征向量作为矩阵T的列向量，XTY就是使二次型X'AX化为标准形y2y2y2的正交变换.1122nn例2.1：用正交变换化二次型fx,x,x=3x2+3x2+4xx+8xx+4xx12313121323为标准形，并求所作的正交变换.324解:二次型的矩阵A202,求出A的特征值:423324由EA=22=1280423得特征值1，8123其次，求属于-1的特征向量把1代入3x2x4x01232xx2x0（1）1234x2x3x01231(,1,0)求得基础解系12(1,0,1)231(,1,0)把它正交化，得112,4221(,,1)22,5511121(,,0)155再单位化，得14252(,,)24545452再求属于8的特征向量，把8代入（1），求得基础解系(2,1,2)3212把它单位化得(,,)333314254531221于是正交矩阵为TT'AT154538520453作非退化线性替换XTY,二次型的标准形为fx,x,x=8y2y2y21231233两种方法的比较例3.1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形.fx,x,x=xxxxxx123122331解：方法1)用配方法xyy112作非退化线性替换xyy212xy33fx,x,x=yyyy+yyy+yyy1231212123123=y2y22yy1213=yy2y2y213234zyy113令zy22zy33则二次型的标准形为fx,x,x=z2z2z2123123方法2)用正交变换法1102211二次型的矩阵A=022110221122111由EA==(1)()222211221得特征值1，12231把代入211xxx01222311xxx0（1）2122311xxx021223(1,1,0)求得基础解系1(1,0,1)2(1,1,0)11正交化，得,1121(,,1)22,2211111(,,0)122再单位化，得11122(,,)26662把1代入（1），求得基础解系(1,1,1)35111把它单位化得(,,)33331001令T,,,则T为正交矩阵，且T'AT001232100211作非退化线性替换XTY,二次型的标准形为fx,x,x=y2y2y2123122236