多项式的分解

多项式的分解 4.5 多项式的分解 授课题目:4.5多项式的分解 教学目标:理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理 授课时数:2学时 教学重点:不可约多项式的概念及性质、多项式唯一因式分解定理 教学难点:多项式分解的唯一性的证明(定理4.5.2的证明) 教学过程: 一、可约多项式与不可约多项式 1、平凡因式与非平凡因式 称为f(x)的平凡因式，除平凡因式外的因式(如果还有的话)c,cf(x)(c,F,c,0)fx() 叫做的非平凡因式。 fx() 设f(x),0，若fx()有非平凡因式gx(),则0,,:(g(x)),,:(f(x)) 2、可约多项式与不可约多项式 1)定义1 设fx()是一个次数大于零的多项式，如果fx()在F[x]中只有平凡因式， 就称fx()为F[x]中的不可约多项式，或说fx()在F上不可约。否则称fx()为F[x]中的可 约多项式，或说fx()在F上可约。 2)两个例子 例1 一次多项式总是不可约多项式 2例2 x，1在C上可约，但在R上不可约 3)等价定义 为了判断和应用，我们给出下面等价说法 fxFfxgxhxgxfx()()()(),(())(()),在上可约,,,:,,:,:(h(x)),,:(f(x)). 4)两点注意 (1)零多项式与零次多项式不在讨论之列 (2)可约与不可约同数域有密切关系 二、不可约多项式的性质 1)若不可约，则 (c,c也不可约。 px()cpx(),0),F 2)设不可约而是任意一个多项式，那么或者与互素，或者整除px()fx()px()fx(). fx() 3)可约多项式px()整除fxgx()(),那么px()至少整除fxgx(),()之一。 pxfff()|,pxfxis()|(),1,,4) 设px()是不可约多项式，那么|. 1si2 三、因式分解定理 1、唯一因式分解定理 FxnnfxFx[](1)()[]中每个次多项式都可以分解成中,定理4.5.1 不可约多项式 的乘积. 分析: 用数学归纳法(第二数学归纳法) n证 对多项式的次数可用数学归纳法证明. ,nfx()时,显然命题成立.假设次数的多项式命题成立,设是 当n,1 nFx[]中的次式项式. gxhx(),(),使fx()若不可约,则存在 fxgxhxgxhxfxn()()(),0(()),(())(()).,,,,,,, gxhx(),()fx()由归纳假设都可以分解成不可约多项式的乘积,因而能分解 成不约多项式之积. 多项式的分解不是绝对唯一的。若不考虑零次多项式的差异，也不考虑因式的排列次序， 分解是本质唯一的。 定理4.5.2 若有以下分解式 Fxnnfx[](1)(),中任一个次多项式, fxpxpxpxqxqxqx()()()()()()(),,, 1212rs pxqx(),()此处都是 中的不可约多项式,则 Fx[]irjs,,1,2,,;1,2,,.ij rs,1); q(x)2) 适当调整的次序后(足标重新编号)，可使 i qxcpxcFir()(),0,1,,.,,,,( iiii 分析:对第一个分解式里包含的不可约多项式的数r用数学归纳法(也可对s用数学归 纳法)。 r证 对用数学归纳法. fxpxqxqxqx()()()()(),,当时,,此时必有,否则 r,1s,1112s px()就是可约多项式,故命题成立. 1 r假设时,命题成立.再看的情形,设 r,1 fxpxpxpxqxqxqx()()()()()()().,, (1) 1212rs pxqxqxqx()|()()(),px()qxqxqx()()()因而,所以必整除 112s112s pxqxqx()|(),()由于0,,,cF中之一,不妨设是不可约的,必存在使 1111 qxcpx()().,代入式(1),则有 111 pxpxpxcpxqxqx()()()()()()., (2) 12112rs px(),消去(2)式两边的得 1 pxpxpxcqxqxqx()()()(())()()., (3) 23123rs 由归纳假设及(3)式,有 1) rsrs,,,,11,.于是 ,qx()cccF,,,,使得 2) 适当调换的次序后,存在 j23r ,cqxcpxqxcpxqxcpx()(),()(),,()().,,,1222333rrr ,c2令则命题得到证明cqxcpxir,,,,()(),1,2,,..2iiic1 2、典型分解式与准典型分解式 1)典型分解式 kkkt12f(x),ap(x)p(x)？p(x)设 (5) 12t p(x),p(x),？,p(x)k是正整数，i,1,？,t,是两两不同的首项系数为1的不可约多项12ti 式。(5fx())式叫做的典型分解式 五个特点: 1( 两两不同 2( k>0 i 3( 首1 4( 两两互素 kkji5( (p(x),p(x)),1ij2)准典型分解式 0px()1,,k,ok,0在(5)式中，若将的限制换成(，并约定这样的分解i,1,？,r)iii式称为准典型分解式。 在准典型分解式中，可约随意添上一个不可约多项式的零次幂，在分析关系及应用时较方便 3)实际应用 ?判断整除 kkkt12f(x),ap(x)p(x)？p(x)例3 设 12t lllt12gxbpxpxpx()()()(),(,0,1,,)klit,, ，那么的充要条件是 fxgx()|()12iit klit,,,1,, ii ?求最大公因式 设 fxgx(),()的准典型分解式如上例。那么 mmmt12((),())()()(),min{,},1,2,,fxgxpxpxpxmklit,,,。 12tiii 唯一因式分解定理很重要，使我们在理论上对因式分解作了彻底的讨论，(回答了中学中悬而未决的问题，在理论研究及实际应用有指导意义。美中不足的是并没有给出分解一个多项式成不可约因式的乘积方法。 42f(x),x，x,2例5、求在R[x]中的典型分解式 2(利用唯一分解定理证x，2在R上不可约) 作业:P146，1—8题