高等数学下册试题库
一、填空题
1. 平面 01 kzyx 与直线
112
zyx
平行的直线方程是___________
2. 过点 )0,1,4( M 且与向量 )1,2,1(a 平行的直线方程是________________
3. 设 kibkjia 2,4 ,且 ba ,则 __________
4. 设 1)(,2||,3||
a
bba ,则
),( ba ____________
5. 设平面 0 DzByAx 通过原点,且与平面 0526 zx 平行,则
__________________,_______, DBA
6. 设直线 )1(
2
21
z
y
m
x
与平面 025363 zyx 垂直,则
___________________, m
7. 直线
0
1
y
x
,绕 z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________
8. 过 点 )1,0,2( M 且 平 行 于 向 量 )1,1,2( a 及 )4,0,3(b 的 平 面 方 程 是
__________
9. 曲面
222 yxz 与平面 5z 的交线在 xoy面上的投影方程为__________
10. 幂级数
1 2
n
n
n
n
x
的收敛半径是____________
11. 过直线
1 3
2
2 2
x z
y
且平行于直线
1 1 3
0 2 3
x y z
的平面方程是
_________________
12. 设 ),
2
ln(),(
x
y
xyxf 则 __________)0,1('
y
f
13. 设 ),arctan(xyz 则 ____________,__________
y
z
x
z
14. 设 ,),( 22 yxyxxyf 则 ),(' yxf
x
____________________
15. 设 ,
y
x
z 则 dz _____________
16. 设 ,),( 32 yxyxf 则
)2,1(
|dz ______________
17. 曲线 ttztytx cossin,sin,cos ,在对应的 0t 处的切线与平面
0 zByx 平行,则 B __________
18. 曲面
22 yxz 在点 )2,1,1( 处的法线与平面 01 zByAx 垂直,则
BA ________, ______________
19. 设 }2,0,1{ a , }1,1,3{b ,则 ba =________, ba =____________
20. 求通过点 )4,1,2(0 M 和 z轴的平面方程为________________
21. 求过点 )0,1,0(0M 且垂直于平面 023 yx 的直线方程为_______________
22. 向量 d
垂直于向量 ]1,3,2[ a
和 ]3,2,1[ b
,且与 ]1,1,2[ c
的数量积为 6 ,则
向量 d
=___________________
23. 向量 ba
57 分别与 ba
27 垂直于向量 ba
3 与 ba
4 ,则向量 a
与 b
的夹角为
_______________
24. 球 面 9222 zyx 与 平 面 1 zx 的 交 线 在 xOy 面 上 投 影 的 方 程 为
______________
25. 点 )1,`1,2(0 M 到直线 l:
032
012
zyx
zyx
的距离 d 是_________________
26. 一直线 l 过点 )0,2,1(0M 且平行于平面 : 042 zyx ,又与直线 l :
1
2
2
1
1
2
xyx
相交,则直线 l的方程是__________________
27. 设 ____________b3a2则,
3
π
ba2,b5,a
28. 设知量 b,a
满足 1,11,ba3,ba
,则 ____________b,a
29. 已知两直线方程
1
3z
0
2y
1
1x
:L1
,
1
z
1
1y
2
2x
L :2
,则过 1L 且平行 2L 的
平面方程是__________________
30. 若 2ba ,
π
( )
2
a,b ,则 ba 2 , ba ____________
31.
x
z
,xz y 则 ______________.
y
z
=_________________
32. 设 ____________2,1z,xyx,sinx11yz x
32 则
33. 设 1ylnxxlnyyx,u 则 ______________________du
34. 由方程 2zyxxyz 222 确定 yx,zz 在点 1,0,1 全微分 dz ______
35. 222 yxfyz ,其中 uf 可微,则 ___________
y
z
x
z
y
36. 曲线
1
,2 22
z
yxz
在 xOy平面上的投影曲线方程为 _________________
37. 过原点且垂直于平面 022 zy 的直线为__________________
38. 过点 )2,1,3( 和 )5,0,3( 且平行于 x轴的平面方程为 _________________
39. 与平面 062 zyx 垂直的单位向量为______________
40. )
y
x
(xz
2
, (u) 可微,则 ____________
y
z
y
x
z
2
41. 已知 22ln yxz ,则在点 )1,2( 处的全微分 _________________dz
42. 曲面 32 xyez z 在点 )0,2,1( 处的切平面方程为 ___________________
43. 设 yxzz . 由方程 02 zxy eze ,求
x
z
=________________
44. 设 xyxgyxfz ,2 ,其中 tf 二阶可导, vug , 具有二阶连续偏
导数 有
yx
z2
=___________________
45. 已知方程
y
z
ln
z
x
定义了 yxzz . ,求
2
2
x
z
=_____________
46. 设 zyxfu .. , 0..2 zex y , xy sin ,其中 f ,都具有一阶连续
偏导数,且 0
z
,求
dx
dz
=______________________
47. 交换积分次序
221
0
),(
y
y
dxyxfdy _______________________________
48. 交换积分次序 dxyxfdydxyxfdy
yy
2
1
2
0
1
0 0
),(),( =___________________
49. _________ dxdyxeI
D
xy 其中 }10,10),({ yxyxD
50. I ________)23( dxdyyx
D
,其中 D 是由两坐标轴及直线 2 yx 所围
51. I ________
1
1
22
dxdy
yx
D
,其中 D 是由 422 yx 所确定的圆域
52. I ___________222 dxdyyxa
D
,其中 D: 222 ayx
53. I ________)6( dxdyyx
D
,其中 D 是由 1,5, xxyxy 所围成的区域
54.
22
0
2
x
y dyedx = _____________________
55. ___________)(
2
2
1
22
1
0
x
x
dyyxdx
56. 设 L 为 922 yx ,则
jxxiyxyF )4()22( 2 按 L 的逆时针方向运动一周所
作的功为 .___________
57. 曲线
1,2,7
y3xz
2xy
22
在 点处切线方程为______________________
58. 曲面 2
2
y
2
x
z 在(2,1,3)处的法线方程为_____________________
59.
1
1
n
pn
,当 p 满足条件 时收敛
60. 级数
1
2 2
1
n
n
nn
的敛散性是__________
61.
n
n
n xa
1
在 x=-3 时收敛,则
n
n
n xa
1
在 3x 时
62. 若
1
ln
n
n
a 收敛,则
a的取值范围是_________
63. 级数 )
2
1
)1(
1
(
1
n
n nn
的和为
64. 求出级数的和
1 1212
1
n nn =___________
65. 级数
0 2
)3(ln
n
n
n
的和为 _____
66. 已知级数
1n
nu 的前n项和
1
n
n
sn ,则该级数为____________
67. 幂级数 n
n
n
x
n
1
2 的收敛区间为
68.
1
12
12n
n
n
x 的收敛区间为 ,和
数 )(xs 为
69. 幂级数
0
)10(
n
p
n
p
n
x
的收敛区间为
70. 级数
0 1
1
n
na
当 a 满足条件 时收敛
71. 级数
2
1
2
4
n
n
n
x
n
的收敛域为 ______
72. 设幂级数
0
n
n
n
a x
的收敛半径为 3,则幂级数 1
1
( 1)nn
n
na x
的收敛区间为 _____
73.
23
1
)(
2
xx
xf 展开成 x+4的幂级数为 ,收敛域为
74. 设函数 )21ln()( 2xxxf 关于 x的幂级数展开式为 __________,该幂级数
的收敛区间为 ________
75. 已知 1lnlnln xzzyyx ,则
z
y
y
x
x
z
______
76. 设
xyyxz )1( 22 y ,那么
x
z
_____________,
y
z
_____________
77. 设D是由 2xy 及 3 yx 所围成的闭区域,则
D
dxdy _______________
78. 设 D 是 由 1|| yx 及 1|| yx 所 围 成 的 闭 区 域 , 则
D
dxdy _______________
79.
C
dsyx )( 22 ________________, 其 中 C 为 圆 周
)20(sin,cos ttaytax
80.
L
dxyx )( 22 ________________,其中 L 是抛物线 2xy 上从点 0,0 到点
4,2 的一段弧。
二、选择题
1. 已知a与b都是非零向量,且满足 baba ,则必有( )
(A) 0ba ; (B) 0 ba ; (C) 0ba (D) 0ba
2. 当a与b满足( )时,有 baba ;
(A) a b; (B) a b ( 为常数); (C) a∥b; (D) a b a b .
3. 下列平面方程中,方程( )过 y轴;
(A) 1 zyx ; (B) 0 zyx ; (C) 0 zx ; (D) 1 zx .
4. 在空间直角坐标系中,方程 22 21 yxz 所表示的曲面是( );
(A) 椭球面; (B) 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面; (D) 单叶双曲面
5. 直线
1
1
12
1
zyx
与平面 1 zyx 的位置关系是( ).
(A) 垂直; (B) 平行; (C) 夹角为
π
4
; (D) 夹角为
π
4
.
6. 若直线(2 a +5) x +( a -2) y +4=0 与直线(2- a ) x +( a +3) y -1=0 互相垂直,则
( ):
(A). a =2 (B). a =-2 (C). a =2 或a =-2 (D). a =±2 或a =0
7. 空间曲线
5
,222
z
yxz
在 xOy面上的投影方程为( )
(A) 7
22 yx ; (B)
5
722
z
yx
; (C)
0
722
z
yx
;(D)
0
222
z
yxz
8. 设
2
1 cos
, 0
1
, 0
2
x
x
x
f x
x
,则关于 f x 在 0 点的 6阶导数 6 0f 是( )
(A).不存在 (B).
1
6!
(C).
1
56
(D).
1
56
9. 设 ),( yxzz 由方程 0),( bzyazxF 所确定,其中 ),( vuF 可微, ba, 为常数,则
必有( )
(A) 1
y
z
b
x
z
a (B) 1
y
z
a
x
z
b
(C) 1
y
z
b
x
z
a (D) 1
y
z
a
x
z
b
10. 设函数
0,0,0
0,0,
1
sin
, 22
yx
yx
yx
xy
yxf ,则函 yxf , 在 0,0 处( )
(A).不连续 (B).连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在
11. 设函数 yxf , 在点 00 , yx 处偏导数存在,则 yxf , 在点 00 , yx 处 ( )
(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立
12. 设 dtex
yx
t
2
2
0
,则
x
( )
(A). e -x
4
y
2
(B). e -x
4
y
2
2xy (C). e -x
4
y
2
(-2t) (D). e -x
4
y
2
(-2x
2
y)
13. 已知 yxf , 在 ba, 处偏导数存在,则
h
bhafbhaf
h
,,
lim
0
(A).0 (B). baf x ,2 (C). baf x , (D). baf x ,2
14. 设
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf ,则在 )0,0( 点关于 ),( yxf 叙述正确的是
( )
(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在
(C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在
15. 函数 0,0
0yx
0yx
0
xy
y4x
yx,f
22
22
224
42
在
极限( )
(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立
16. 设
4
arctan
xyz ,则
x
z
(A)
)
4
(1
xy
xy
(B)
2)
4
(1
1
xy
x
(C)
2
2
)
4
(1
)
4
(sec
xy
xyxy
(D)
2)
4
(1
xy
y
17. 关于 x的方程 21 xkx 有两个相异实根的充要条件是( )
(A).- 2 k 2 (B). - 2 ≤k≤ 2
(C).1 k ≤ 2 (D). 1≤ k 2
18. 函数
0,0,0
0,0,
1
sin
, 22
yx
yx
yx
xy
yxf ,则函 yxf , 在 0,0 处( )
(A).不连续 (B).连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在
19. 设
x
y
xf , =
22
sin
yx
xy
x
,则
f(x,y)
x
= ( )
(A).
22
sin
yx
xy
+
22
cos
yx
xy
x
222
22
yx
xyy
(B).
21
sin
y
y
x
(C).
21
sin
y
y
(D).
21
cos
y
y
x
20. 函数 22 yxz 在点 0,0 处 ( )
(A).不连续 (B).连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值
21. 设
y
x
xyz ln ,则
yx
z
2
= ( )
(A).0 (B).1 (C).
x
1
(D).
12 y
y
22. 设 22 zxyfzx 则 z z
x
+ y
z
y
= ( )
(A). x (B). y (C). z (D). 22 zxyf
23. 若函数 yxf , 在点 00 , yx 处取极大值,则 ( )
(A). 0, 00 yxf x , 0, 00 yxf y
(B).若 00 , yx 是D内唯一极值点,则必为最大值点
(C). 0,,0,,, 000000
2
00 yxfyxfyxfyxf xxyyxxxy 且
D、以上结论都不正确
24. 判断极限
yx
x
y
x
0
0
lim
(A).0 (B).1 (C).不存在 (D).无法确定
25. 判断极限
22
2
0
0
lim
yx
yx
y
x
(A).0 (B).1 (C).不存在 (D).无法确定
26. 设 yxf , 可微, 43, xxxf ,则 3,1xf
(A).1 (B).-1 (C).2 (D).-2
27. 设 xeyzzyxf 2,, ,其中 yxgz , 是由方程 0 xyzzyx 确定的隐函数,则
1,1,0xf
(A).0 (B).-1 (C).1 (D).-2
28. 设 zyxf ,, 是 k 次齐次函数,即 zyxfttztytxf k ,,,, ,其中 k 为某常数,则下列
结论正确的是( )
(A) zyxfk
z
f
z
y
f
y
x
f
x t ,,
(B). zyxft
z
f
z
y
f
y
x
f
x k ,,
(C). zyxkf
z
f
z
y
f
y
x
f
x ,,
(D). zyxf
z
f
z
y
f
y
x
f
x ,,
29. 已知 dxyI
D
22 sincos ,其中D是正方形域: 10,10 yx ,则( )
(A). 21 I B. 21 I (C). 20 I (D). 20 I
30. 设 dudvvuyfxyyxf
D
,4,
2 ,其中D是由 ,0, xxy 以及 1y 围成在,则
yxf xy ,
(A). x4 (B). y4 (C). x8 (D). y8
31. 设 0,|, 222 yayxyxD , 0,0,|, 2221 xyayxyxD ,则下
列命题不对的是:( )
(A).
1
22 2
DD
ydxydx (B).
1
22 2
DD
dxyydx
(C).
1
22 2
DD
dxydxy (D). 02
D
dxy
32. 设 yxf , 是连续函数,当 0t 时, 2
222
, todxdyyxf
tyx
,则 0,0f
(A).2 (B).1 (C).0 (D).
2
1
33. 累次积分 rdrrrfd
cos
0
2
0
sin,cos 可写成( )
(A). dxyxfdy
yy
2
0
1
0
, (B). dxyxfdy
y
21
0
1
0
,
(C). dyyxfdx
1
0
1
0
, (D). dyyxfdx
xx
2
0
1
0
,
34. 函数 224, yxyxyxf 的极值为( )
(A).极大值为 8 (B).极小值为 0 (C).极小值为 8 (D).极大值为 0
35. 函数 xyz 在附加条件 1 yx 下的极大值为( )
(A).
2
1
(B).
2
1
(C).
4
1
D.1
36.
de
D
yx ,其中D由 1 yx 所确定的闭区域。
(A).
1 ee (B). 1 ee (C). 2 ee (D).0
37.
DD
dxdyyxIdxdyyxI 22
3
1 )()( 与 ,其中 2)1()2(
22 yxD: 的大小关
系为:( )。
(A). 21 II (B). 21 II (C). 21 II (D). 无法判断
38. 设 ),( yxf 连续,且
D
dudvvufxyyxf ),(),( ,其中 D由 1,,0 2 xxyy 所围成,
则 )(),( yxf
(A). xy (B). xy2 (C). 1xy (D).
8
1
xy
39. dyx
yx
1
5 22
22
的值是( )
(A)
3
5
(B)
6
5
(C)
7
10
(D)
11
10
40. 设D是 1 yx 所围成区域, 1D 是由直线 1 yx 和 x轴, y轴所围成的区域,则
dxdyyx
D
1
(A) dxdyyx
D
1
14 (B) 0 (C) dxdyyx
D
1
12 (D) 2
41. 半径为a均匀球壳 )1( 对于球心的转动惯量为( )
(A) 0 (B)
42 a (C) 44 a (D) 46 a
42. 设椭圆 L: 1
34
22
yx
的周长为 l,则 L dsyx
2)23( ( )
(A) l (B) l3 (C) l4 (D) l12
43. 下列级数中收敛的是( )
(A)
1 8
84
n
n
nn
(B)
1 8
48
n
n
nn
(C)
1 8
42
n
n
nn
(D)
1 8
42
n
n
nn
44. 下列级数中不收敛的是( )
(A) )
1
1(ln
1 nn
(B)
1 3
1
n
n
(C)
1 )2(
1
n nn
(D)
1 4
)1(3
n
n
nn
45. 下列级数中收敛的是( )
(A)
1
1
n
n nn
(B)
1 )2(
1
n nn
n
(C)
1 2
3
n
n
n
n
(D)
1 )3)(1(
4
n nn
46.
1n
nu 为正项级数,下列命题中错误的是( )
(A)如果 1lim 1
n
n
n u
u
,则
1n
nu 收敛。 (B) 1lim
1
n
n
n u
u
,则
1n
nu 发散
(C) 如果 11
n
n
u
u
,则
1n
nu 收敛。 (D)如果 1
1
n
n
u
u
,则
1n
nu 发散
47. 下列级数中条件收敛的是( )
(A)
nn
n 1)1(
1
1
(B)
2
1
1
)1(
nn
n
(C)
1
)1(
1
n
n
n
n
(D)
)1(
1
)1(
1
nnn
n
48. 下列级数中绝对收敛的是( )
(A)
nn
n 1)1(
1
(B)
2
1
ln
)1(
n
n
n
(C)
1
1)1(
n
n
nn
(D)
2
1
ln
)1(
n
n
nn
49. 当 )(
1
n
nn ba 收敛时,
1n
na 与
1n
nb ( )
(A)必同时收敛 (B)必同时发散 (C)可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛
50. 级数
1
2
n
na 收敛是级数
1
4
n
na 收敛的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
51.
1n
na 为任意项级数,若 na 1na 且 0lim
n
n
a ,则该级数( )
(A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)敛散性不确定
52. 下列结论中,正确的为( )
(A)若
1n
nu 发散,则
1
1
n nu
发散 )0( nu ; (B)若
1n
nu 收敛,则
1
1
n nu
发散 )0( nu
(C)若
1n
nu 收敛,则
1
100
)
10
1
(
n
nu 收敛;
(D)若
1n
nu 与
1n
nv 发散,则
1
)(
n
nn vu 发散
53. 函数
x
xf
1
1
)( 的麦克劳林展开式前三项的和为( )
(A) 2
4
3
2
1 x
x
; (B) 2
4
3
2
1 x
x
; (C) 2
8
3
2
1 x
x
; (D) 2
8
3
2
1 x
x
54. 设
| |
2
n n
n
a a
p
,
| |
, 1,2,3,
2
n n
n
a a
q n
,则下列命题正确的是( ).
(A)若
1
n
n
a
条件收敛,则
1
n
n
p
与
1
n
n
q
都收敛;
(B)若
1
n
n
a
绝对收敛,则
1
n
n
p
与
1
n
n
q
都收敛;
(C)若
1
n
n
a
条件收敛,则
1
n
n
p
与
1
n
n
q
的敛散性都不定;
(D)若
1
n
n
a
绝对收敛,则
1
n
n
p
与
1
n
n
q
的敛散性都不定.
55. 设 , 则( )
(A) 与 都收敛. (B) 与 都发散.
(C) 收敛, 而 发散. (D) 发散, 收敛
56. 75、 若 在 处收敛, 则此级数在 处( )
(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定
57. 设幂级数 的收敛半径为 3, 则幂级数 的必定收敛的区间为
( )
(A) (-2, 4) (B) [-2, 4] (C) (-3, 3) (D) (-4, 2)
58. 若幂级数 n
n
n xa
1
的收敛半径为R,则幂级数 n
n
n xa 2
1
的收敛开区间为( )
(A) RR, (B) RR 1,1 (C) , (D) RR 2,2
59. 级数
1
)5(
n
n
n
x
的收敛区间( )
(A)(4,6) (B) 6,4 (C) 6,4 (D)[4,6]
60. 若级数
1 12
)2(
n
n
n
ax 的收敛域为 4,3 ,则常数a =( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)以上都不对
61. 若幂级数 n
n
n xa 1
1
在 1x 处收敛,则该级数在 2x 处( )
(A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)敛散性不能确定
62. 函数
2
)( xexf 展开成 x的幂级数为( )
(A)
0
2
!n
n
n
x
(B)
0
2
!
)1(
n
nn
n
x
(C)
0 !n
n
n
x
(D)
0 !
)1(
n
nn
n
x
63. 函数
2
4
1 x
x
xf
展开成 x的幂级数是( )
(A) n
n
x 2
1
(B) n
n
n x 2
1
)1(
(C) n
n
x 2
2
(D) n
n
n x 2
2
)1(
64.下列各组角中,可以作为向量的方向角的是( )
(A)
3
,
4
,
3
2
(B)
3
,
4
,
3
(C)
6
, ,
6
(D)
3
2
,
3
,
3
65.向量 zyx aaaa ,, 与 x轴垂直,则( )
(A) 0xa (B) 0ya (C) 0za (D) 0 xy aa
66.设 1,1,1,1,1,1 ba ,则有( )
(A) ba // (B) ba (C)
3
,
ba (D)
3
2
,
ba
67.直线
12
12
zy
yx
与直线
1
1
0
1
1
zyx
关系是( ).
(A) 垂直; (B) 平行; (C) 重合; (D) 既不平行也不垂直.
68.柱面 02 zx 的母线平行于( )
(A) y轴 (B) x轴 (C) z 轴 (D) zox面
69.设 cbacaba ,,, 均为非零向量,则( )
(A) cb (B) )//( cba (C) )( cba (D) cb
70.函数 xylnz 的定义域为( )
(A) 0,0 yx (B) 0,00,0 yxyx 或
(C) 0,0 yx (D) 0,0 yx 或 0,0 yx
71.
22
,
yx
xy
yxf
,则
1,
x
y
f
(A)
22 yx
xy
(B)
xy
yx 22
(C)
12 x
x
(D)
4
2
1 x
x
72.下列各点中,是二元函数 xyxyxyxf 933, 233 的极值点的是( )
(A) 1,3 (B) 1,3 (C) 1,1 . (D) 1,1
73.
dyyxdx
x21
0
22
1
0
1 ( )
(A)
2
3
(B)
3
2
(C)
3
4
(D)
6
74.设D是由 2x , 1y 所围成的闭区域,则 dxdyxy
D
2 ( )
(A)
3
4
(B)
3
8
(C)
3
16
(D)0
75.设D是由 yx 0,10 所确定的闭区域,则 dxdyxyy
D
cos ( )
(A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)0
三、计算题
1、下列函数的偏导数
(1) 6245 6 yyxxz ; (2) )ln( 222 yxxz ;
(3)
y
x
xyz ; (4) )(cos)sin( 2 xyxyz ;
(5) )sin(cose yxyz x ; (6)
y
x
z
2
tan ;
(7)
x
y
y
x
z cossin ; (8) yxyz )1( ;
(9) )lnln( yxz ; (10)
xy
yx
z
1
arctan ;
(11) )(
222
e zyxxu ; (12) z
y
xu
(13)
222
1
zyx
u
; (14)
zyxu ;
(15)
n
i
ii xau
1
( ia 为常数); (16) jiij
n
ji
jiij aayxau
,
1,
且为常数。
(17) tytxez yx ,sin,2 tytxez yx ,sin,2 ;求
t
z
d
d
2.设 22),( yxyxyxf ,求 )4,3(xf 及 )4,3(yf 。
3.设
2
e y
x
z ,验证 02
y
z
y
x
z
x 。
4.求下列函数在指定点的全微分:
(1) 223),( xyyxyxf ,在点 )2,1( ;
(2) )1ln(),( 22 yxyxf ,在点 )4,2( ;
(3)
2
sin
),(
y
x
yxf ,在点 )1,0( 和
2,
4
。
5.求下列函数的全微分:
(1) xyz ; (2) xyxyz e ;
(3)
yx
yx
z
; (4)
22 yx
y
z
;
(5) 222 zyxu ; (6) )ln( 222 zyxu 。
6.验证函数
0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf 在原点 )0,0( 连续且可偏导,但
它在该点不可微。
7.验证函数
0,0
,0,
1
sin)(
),(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yxf 的偏导函数
),(),,( yxfyxf yx 在原点(0,0)不连续,但它在该点可微。
8.计算下列函数的高阶导数:
(1)
x
y
z arctan ,求
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
;
(2) )cos()sin( yxyyxxz ,求
2
22
2
2
,,
y
z
yx
z
x
z
;
(3) xyxz e ,求
2
3
2
3
,
yx
z
yx
z
;
(4) )ln( czbyaxu ,求
22
4
4
4
,
yx
z
x
u
;
(5) qp byaxz )()( ,求
qp
qp
yx
z
;
(6) ty
t
xyxtz ,
1
),23tan( 22 ,求
rqp
rqp
zyx
u
。
(7) xay sin ,求 u3d ;
9. 计算下列重积分:
(1) ,其中 是矩形闭区域: ,
(2) ,其中 是矩形闭区域: ,
(3) ,其中 是顶点分别为 (0,0), 和 的三角形闭区域.
(4) ,其中 是由两条抛物线 , 所围成的闭区域.
(5) ,其中 是由 所确定的闭区域.
(6) 改换下列二次积分的积分次序
①
②
③
(7)
(8)
(9) ,其中 是由圆周 所围成的区域.
(10) ,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭
区域.
(11) ,其中 是由直线 , 及曲线 所围成的闭区域
(12) ,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的
闭区域.
(13) ,其中 是由直线 , , , 所
围成的闭区域.
(14) ,其中 是圆