关于旁切圆半径和角平分线的两个不等式

筑 1 3卷 第 4期 2 0 0 2年 8月 贵 州 教 育 学 院 学 报 JOURNAI OF GUIZHOU EDI．JCA fl{)NAI C()I．LE{ E Vo1． 1 3．No．4 Aug． 2002 关于旁切圆半径和角平分线的两个不等式 吴善和 (龙 岩 师范 高等专 科学 校 数学 系 ．福 建 龙岩 364{}I 2) 摘要 ：建立两个涉及两个三角形的有关旁切圆半径和角平分线的不等式 。 关键词 ：三角形；旁 切圆半径；角平分线；不等式；指数 中图分 类号 ：Ot22．3 文献标 识码 ：A 文章编 号 ：1002—6983(2oo2)04—001 6～【)3 Two inequalities about radius of escribed circle and bisector of angle W U Shan—he (M athematics Department·1 ．ongyan Tcacl1Prs’College．Longyan．Fujian 364012．CI1ina) Keywords：Triangle；radius of escribed circle；bi eCtOr of angle；inequality；cxp0nent ~AABC、△A B C 的三边长分别为 “、b、‘’和 n 、b 、 ， ．相应边上的 内角平分线长 、中线 长 、高线 长、 旁 切 圆半径 分别 为 W 、叫 tu ， ， h h h ，· 、，-h 、叫 、叫 ，、 、 、^ 、^ ^。，、，． ．、，． ．以∑表示循环和，H表示循环积 。 文[1]建立了不等式 ∑嘉 ≥号( ) (1) <^、u J () 本文将 不等式(1)推广到N+--N形 中。 定理 1 设 a>O，：ff：AABC与△ B C 中．有 ∑ a a - ． a ． a 、~ 23 ． (2) 等号当且仅 ~AABC、△ B C 均为正三角形时成立 。 证 明 设 5~St分 别表示△ 8C、△／1 B C 的半周 长 ，运用 三角形 内角平分线 长公式及 均值 不等式 ． 得 一 一≤ 一 ：：： ≤ 所以 叫：叫 +叫 让， ≤ ( 一 )( ，一6 )]；十 ，(s--c)( ，一c，， 由三角形旁切圆半径公式 得 于是 ∑ ， ==： ，艺，． 一[ (s--b)( 一b )( 一f)( ，一f，)]；×[(S--a)( ，--a' r⋯ a a ， 收 稿 日期 ：2002⋯02 25 ≥∑ [( 一“)( --a ) 号 ———————————————————·—— =——--．————— ．．．———————． ．———————： ———————一 [( 一‘1)( --CI)]一；{[( 一6)( ，一∥)]； 唱 ” 噜 ．苫 舱 w 吣 叫 ．¨ 唱 ． ∞ d a b e A 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 4期 吴善 和 ：关 于旁 切圆半 径 和角平 分线 的 两 个不等 式 ·1 7· 一 3十吉[∑ ]× ∑r( 一 ) ( ，一 ，) +( 一 ) ( ，一c，) ] 运用Caucl Y不等式，得 ∑i ≥一3+ (1十1+1) 一号 运用 l 不等式，得 i ≥一3+专‘1十1+1) 一号 故不等式 (2)成立 。 从证 明过程可知 ，(2)式 中等 号当且仅 当△．一～B(、、△， ‘B ( 均 为正三角形时成立 。 在 (2)式中 ．令 “ 一“， 一 ， · 一c·或取△ ，1 8 ( 为正三角形 即得 (1)式 。 运用 三角形 中熟知的不等式 ∞． ≥ ^ 7．td ≥ ^ ≥ ^ 可得如 下： 推论 1．1 设 >O，在△ ，1BC 与△ B C 中，有 ，· ，· 、 3 干 (3)式推广了文E2]中的不等式 ∑ ≥萼Ol>0) 干 再在 (4)式 中，令 一1，即得 R．R．Janic不等式 。j[ ， 、 3 下 面再 给 出一个涉及 两个 三角形的有关旁切 圆半 径和角平 分线的不等式 。 定理 2 设 >0，在△,4BC 与△／l B C 中，有 Ⅱ (，． +，． ) I1( I ／+ j ) 等号 当且仅 当AABC、△A B C 均 为正三角形 时成立 。 证明 因为，．I一,Fh，+，． ，一 1(，． ， +，．亍， )z+ 1(，． ，于一，· ， )：≥ 1(， r +r ， )。 运用均 值不等式 ，得 ，- ，+， ，‘ ≥ (，‘_， +， ， l_)(， _f7 t)了 】 j j ^ 于是 J=I(，{ +，．j， )≥(i1， ，于)II(， ， +， ， )一11[(，． ，．^){(，． ，， )÷+( 、；( ) ] 由三 角形旁切 圆半径 公式 ，得 r— — — — —— — — — —— — — — — —— — — — —— — 一 r — — — — — —— — — — — —— —— — — — —— — — 一 ／ ( 一 )( 一(’) ／ ( —f)( 一“) ——— 二I_一 一 √^一—— 二万—— 由三 角形 内角平分线 长公式及均值不等式 ，得 一 ≤ 厕 j } ／ 所 以 √r‘ r^≥ ， 同 理 可 证 Fhl ≥ ≥t n 因此 II( n)告(r ) q-( ) )；]≥Ⅱ ( 4- ) 由(7)、(8)式，得 ：¨(，． ，+，．j，． )≥儿( + j叫j) 定理 2得 证 。 从证 明过程 可知 ，(6)式 中等号 当且仅当△／1BC、△A B C 均 为正三 角形时成 立。 在 (6)式 中 ，令 “ 一“。 一 ， c 一c立得 推论 2．1 设 2>0，在△ABC 中，有 儿(，．：+，． )≥ll( + ，j) 另外 ，据 均值 不等式 ，有 (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 维普资讯 http://www.cqvip.com ·18· 贵 州教 育学 院学报 第 l3卷 ∑ 糍 ≥3 I 厢 面 J I II(， r +，0，．j) I工(砌 I／"~-YU r ’ Yt-，j) 利 用 (6)式 ·即 得 推 论 2．2 设 >O．在△ABC 与△ B C 中．有 A ．J 蒜 ≥3 J 在 (10)式 中 ．令 n 一日． b 一6， C 一f． 得 ∑杀 ≥3( ) _ J ，w (11)式类似于文[5]中建立的不等式 ∑ ≥3 ( ≥1) J ¨ 对 于不 等式 (12)考虑形如 (10)式 的推 广 ．笔者提 出如下猜想 若 ≥ t ．则在△A8c 与△ c 中．有 ∑ ≥3 丽 J 参 考 文 献 [1]杨学枝．不等式研究[M]．拉萨：西藏人r屯出版社．2000．580 581． [2]宋庆．Janic不等式的推广[J]．搦建lII学数学．1999．【4)。13． E3]Bottema．O．几何不等式[M]．北京：北京大学fB版社．1991，78—79． E4]~-善和．Janic不等式的一个加强[J]．福建中学数学．2001．【6)：15． [s]钟威．关 于三角形旁切圆-,T,--径的 一纽新不等式． ：单蝣 主编．几何不等式在r}I国rM]．南京：￡l：苏教育出版杜．1996．55 61 (10) (11) (12) (13) 维普资讯 http://www.cqvip.com