江苏省栟茶高级中学2010届高三高考模拟测试1（数学）

江苏省栟茶高级中学2009-2010学年度 数 学 一.填空: 本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合 ={ | －2≤ ≤7 }, ，若A∪B=A，则函数 的取值范围是 ． 2．已知复数 的实部为 ，虚部为 ，则 的虚部为 ． 3．已知幂函数 的图象过点 ，则 = ． 4．已知直线 的充要条件是 ． 5．设 为两个不重合的平面， 为两条不重合的直线，给出下列的四个命题： （1）若 ，则 ； （2）若 与 相交且不垂直，则 与 不垂直 （3）若 则 （4）若 则 其中，所有真命题的序号是 ． 6．设双曲线 的两条渐近线与直线 围成的三角形区域（包含边界）为D，点 为D内的一个动点，则目标函数 的最小值为 ． 7．从长度为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率为 ． 8．若样本 的方差为3，则样本 的方差为 ． 9．各项均为正数的等比数列 的公比为 ,且 成等差数列,则 ． 10．如图，半圆的半径OA＝3，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为 ． 11．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ． 12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利 润 （单位：万元）与年数 满足如图的二次函数关系. 要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用___________年． 13．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 14．设 ，若仅有一个常数 使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时， 的取值的集合为 ． 二.解答题: 本大题共5小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分16分) 已知向量 , , . (Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ) 若 , , 且 , 求 . 16．(本小题满分18分)如图，在等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝ ，A为PB边上一点，且PA＝1，将ΔPAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD。 （1）求证：平面PAD⊥平面PCD。 （2）试在PB上找一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA:VMACB＝2:1。 （3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD。 17．(本小题满分18分)在直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ，直线 与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）若 ，求k的值； （Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有| |>| |． 18．(本小题满分20分)在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起. (1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢? (2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的? （Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？ 19．（本小题满分20分） 已知函数 ，在区间 上有最大值4，最小值1， 设 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）方程 有三个不同的实数解，求实数 的范围． 江苏省栟茶高级中学2009-2010学年度 高考模拟测试1 参考答案 一.填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 1． 2．1 3． 4． 5．（4） 6． 7． 8．27 9．1 10． 11． 12．5 13． ， 14． 二．解答题: 本大题共5小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解:（Ⅰ） , , . , , 即 , . （Ⅱ） , , , , . 16．解:（1）证明：依题意知CD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PAD 又DC 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD （2）解：∵ ，∴VM－ABC= VP－ABCD 设P、M到底面ABCD的距离分别为h、hM，则 ·(· SABCD)·hM= ·( ·SABCD·h) ∴hM= h，∴M为PB中点 （3）∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，∴AB∥平面PCD 若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，∴平面ABM∥平面PCD 这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾 ∴AM与平面PCD不平行 17．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ， 故曲线C的方程为 ． （Ⅱ）设 ，其坐标满足 消去y并整理得 ， 故 ． 若 ，即 ． 而 ， 于是 ， 化简得 ，所以 ． （Ⅲ） ． 因为A在第一象限，故 ．由 知 ，从而 ．又 ， 故 ， 即在题设条件下，恒有 ． 18．解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放 层,则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于 根，从而由 且 得，当 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢； （2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放 层,则从上到下每层圆钢根数是以 为首项、1为公差的等差数列，从而 ，即 ，因 与 的奇偶性不同，所以 与 的奇偶性也不同，且 ，从而由上述等式得： 或 或 或 ，所以共有4种方案可供选择。 （Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知： 若 ，则 ，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400 cm，上下底之长为280 cm和680cm，从而梯形之高为 cm， 而 ，所以符合条件； 若 ，则 ，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm和640cm，从而梯形之高为 cm，显然大于4m，不合条件，舍去； 综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地。 19．解:（Ⅰ）(1) 当 时， 上为增函数 故 当 上为减函数 故 即 . . （Ⅱ） 方程 化为 ， 令 ， 则方程化为 （ ） ∵方程 有三个不同的实数解， ∴由 的图像知， 有两个根 、 ， 且 或 ， 记 则 或 ∴