考研数学概率笔记[1]...

第一章 事件与概率（一次半） 基础班（8次 学时8×3=24小时） 概率论：它是研究随机现象统计规律性的一门数学科学。 简史：起源于赌博。17世纪法国Pascal和Fermat解决Mere（公平赌博）问题等并提出了排列与组合的新知识。18世纪早期J.Bernoulli提出了概率论历史上第一个极限定理（贝努里大数定理），19世纪初Laplace提出了古典概率定义。20世纪30年代Kolmogorov建立了概率的公理化定义（19世纪末Cantor集合论和20世纪30年代Lebesgue测试论）。历史上Gauss、De Moirve、、Chebeshev 、Liapunov 、Borel、Khinchine、Markov、K.Pearson、Fisher、Cramer、Wiener、Doob、Ito、许宝禄、Rao等人亦对概率统计发展作出了重要贡献。 1.1随机事件、空间 ①、②、③、④例子，称满足、、条件的试验为随机试验，记为E，基本事件（样本点）：用e表示;随机事件：用“A,B,…”表示;样本空间（必然事件）：用S表示。 Remark：（1） 发生 ，ei出现了；（2）S引入意义。 1.2事件的关系与运算（两种语言刻划） 一、六种关系： 二、四个运算性质： Remark：（1）两个事件互斥（互不相容） 两个事件互为对立事件； （2）A－B= =A－AB； （3）事件的假设与事件的相互表示是学好概率论与数理统计的基本功。 例1 某人向一目标射击三次，Ai表示第i次命中（i=1,2,3）,Bj表示命中j次（j=0,1,2,3）,用Ai表示Bj。 例2 设A,B,C为E中三个事件，用之表示： （1）仅C发生； （2）A,B,C至少有一个发生； （3）A,B,C仅有两个发生； （4）A,B,C中不多于两个发生； （5）A,B,C中不多于（或至多）一个发生；（6）A,B,C中不少于两个发生。 1.3古典概率 P（A）：事件A发生的可能性大小数值。它是抽象集函数且是客观存在的。例子（4个） 定义（古典概型E） 例子： 例1（电话号码）. 从0~9中有重复抽取5个数组成五位数的电话号码，求： （1） 的概率；（2） 的概率； （3） 的概率； 例2（抓阄问题）．某袋中有6个白球，4个黑球，依次一个接一个摸出，求A=“第 次摸得白球”概率。（实用范围：竞赛分组，两种手法）。 例3（分配问题）．现有N个房子，n个人，每个房子足以容纳n个人，每人以等概率进入每个房子，今将n个人随机分配到N个房子中，求A=“指定n个房子各一人”概率；B=“恰有n个房子各有一人”的概率；求C=“某一指定房子恰有k人”概率。（分配原则；实用范围：分房、分球、分信、生日问题）。 例4 （超几何概率与二项概率）袋中10个产品，其中6个正品，4个次品，从中按两种方式（不放回和有收回），任取3个产品，求其中恰有2个正品A之概率。（实用：产品检验。） Theorem：古典概率满足7条。 利用古典概率性质计算概率的例子 例5 （电话号码）从0~9中抽取5个数随机组成电话号码，求五个数的电话号码中至少有二个数相同A之概率。 例6 某袋中有180件产品，其中次品8件，从中任取4件，求A=“次品数超过1”概P（A）=0.010。 例7 从0,1,2,…,9等10个数字中任意选出三个不同数字，B1不含0；B2不含5。 求A1=“三个数中不含0和5”； A2=“三个数中不含0或5”； A3=“三个数中含0，但不含5”概率； 1.4几何概率 定义（几何概型E） 例1 （约会问题）甲乙两人约定在 内会面，若一人先到，则等 小时后即离去，求此两人在 内会面的概率。 例2 （三角形构成问题）将一根为 之线段随机地截为三段，求三线段构成一个三角形A的概率。 例3（Buffon投针问题（1777年））在一个平面上画一些距离为 的平行线，然后再向此平面投一根长为 的针（ ，求针与平面相交的概率。 Theorem：几何概率满足（1）~（7） 1.5 统计概率与公理化定义 例1 掷硬币n次E； 定义1（频率定义） Remark（1）.n充分大时fn(A)稳定性；（2）不确定性；一般 。 定义2（统计概率） P（A）=P (A)=p Remark（1）适合一切E；（2）无法定p但n很大时 。 Theorem： 满足(1),(2),(3)，利用Th及Def2，统计概率满足（1）~（7）。 1933年Kolmogorov 公理化定义（1~3） 三个推论 补充： 例1 （1）r个人生日全不同概率；（2）教室里4个人至少有两人生日在同一个月概率； 例2 6个人中生日在星期几等可能，求其生日在一星期中某两天但不在同一天A概率； 例3 从编号为1~10任取三个，求（1）最小号码为5 这一事件A的概率；（2）最大号码为5这一事件 B的概率； 例4 若A1,A2,A3同时发生必然导致A发生，则 ； 例5 若 ，P（AB）=0=P（AC），P（BC）= ，求 ； 例6 设P（A）=p，P（B）=q， ，求 。 第二章 条件概率与独立性（一次半） 2.1条件概率 乘法定理 发生的条件下，B发生的条件概率。 例1 袋1（4个白球，2个黑球）；袋2（4个黑球，2个白球），掷硬币一次E，若出现正面（H），从袋1中任取一球；否则（T），从袋2中任取一球，A表示任取一球为黑球。求已知H信息条件下A发生的概率（两件事：几何概率—条件频率;条件统计概率）。 定义（P（B）>0）比值 为~. 记 。 Remark：（1） ；（2）一般意义。 Theorem1.条件概率满足三条公理（P（B）>0），由之推出(4),(5),(6),(7)； Theorem2.设P（A），P（B）>0，则 ， ； Theorem3.设P（A1…An-1）>0，则 。 例1 某包装了器皿今扔三次，第一次扔下器皿损坏的概率为0.4；若第一次未损坏，第二次扔下器皿损坏的概率为0.6；若第二次未损坏，第三次扔下器皿损坏的概率为0.9，求A=“器皿损坏”概率（0.976）； 例2 某袋中有10个球，其中6黑4白，从中任取3个，求第三次取到白球概率和第三次才取到白球概率 。 2.2全概率 例1 某袋中有10个球，其中6白4黑，甲,乙,丙三人依次摸一球，求甲,乙,丙三人分别摸到白球的概率。 Theorem1.设A1,…,An,…是可数无穷多个互斥事件， 且 ，A S，则有： ； 例2 甲袋（3个白球，2个黑球）；乙袋（4个白球，4个黑球），从甲袋任取2个，放入乙袋，再从乙袋任取一球，A表示取到白球，求 ； 例3 某袋中15个乒乓球，其中9个新球，第一次比赛时任取3个，然后放入原袋中，求第二次比赛时取出三个新球A的概率（0.089）； 2.3 Bayes公式 1763年英国牧师Bayes《论机遇理论中一个问题的解决》（普赖斯），Bayes 曾师从D.Moirve； 例1 发射台发出“·”,“－”信号比例为5：3，由于干扰，发出“·”,“－”信号的失真率分别为 ，求接受到“·”信号时亦发出“·”信号概率； Theorem2.(Bayes)条件同Th1, P(B)>0,则 P（Ai）…先验概率， 专门科学知识， 后验概率。 例2 上节例2中若已知A发生条件下，A1发生的概率 。 例3 设某袋中有m+n枚硬币，其中m枚为次品（两面均为国徽），从中任取一枚，掷r次均得到国徽，求它是正品这一事件的概率。 2.4 独立性 一般 ，特殊 ，即P（AB）=P（A）P（B） 定义1（两个事件独立） Remark：（1），（2） Th1 Th2 定义2（三个事件独立） A.B.C满足(1),(2),(3),(4).则称~; 两两独立（(1).(2).(3)） Remark: 1)一般地，由（1）（2）（3）成立推不出（4）成立；（Bernstain反例） 2）一般地，由（4）成立推不出（1）（2）（3）全成立 例1.1)(Bernstein反例); 2)若一个均匀对称色子;若1点(红,白,黑),2点(红),3点(红,黑), 4点(红,白),5点(白),6点(黑)或红(1;2;3;4);黑(1;3;6);白(1;4;5); 用A,B,C分别表示色子出现红,白,黑事件,问A,B,C是否相互独立?为什么? 例2 几何概型E , M1,M2,M3是否两两独立？为什么？ 定义3 （n个事件独立性（n≥2））( ) 例3.甲、乙、丙三人各自向一飞机射击一次，他们命中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7;若飞机中一弹而被击落的概率为0.2；若飞机中两弹而被击落的概率为0.6；若飞机中三弹必然被击落。求飞机被击落的概率。 例4（可靠性问题），每个同类型的元件可靠性为r，n个元件是否正常工作相互独立，试求下面两个系统（1）（2）的可靠性并比较两个系统的可靠性. 1 n … 1 n (2) (1) 例5 （图书馆借书）某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每个图书馆而言，有无此书概率相等；若有，能否借到的概率亦相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该考生能借到书的概率。 2.5 二项概率公式和泊松近似公式 定义1（n次重复独立E） 定义2（n重贝努里E） Remark： ①贝努里E：A—成功： —失败； ②n重贝努里E： ； ③转化条件。 Theorem1：（二项概率） ，k=0,1,2,…,n 推论： 例1 从一批次品为30%任取5件；求：（1）恰有2个次品概率（0.309）；（2）至少有2个次品概率（0.472）。 例2 昆虫产卵k个卵的概率为 ；各个孵化为虫的概率为P；各个卵是否孵化为虫相互独立。求该昆虫下一代有 条虫的概率。 例3 某数字传输器：512×103个0或1/秒，由于干扰，每传送一次产生误码的概率为 p=10-7, 求10秒内产生一个误码概率（0.30）. n充分大， p很小， =p,A-稀有事件。这是一个计算的复杂性问题，这类问题是21世纪数学乃至是计算领域的重要问题（陈省生大师）。1837年法国人Possion解决了上述具体问题。 Theorem2. n重贝努里E，nPn= （常数）,成功概率为pn, 则对： Remark： 例4 （保险问题）某保险公司有 2500人 参加保险，每人交纳保险费 12元/年，假定每人在一年内死亡的概率为p=0.002，若一人在一年内死亡，其家属可领丧葬费2000元。 求（1）保险公司亏本A之概率(0.000069)；（2）公司获利不少于10000元B之概率（0.986305）。 补充： 例1 考试时有四道选择，每题附4个，其中一个正确，一个考生随意地选择每题答案，求他至少答对三道A的概率 ； 例2 设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件亦不合格的概率 例3 从52张扑克牌中任取5张，求在至少有3张黑桃条件下，5张均为黑桃的概率 例4 证：若A，B，C独立，则 及A－B都与C独立。 第三章 随机变量及其布 3.1随机变量的概念 与赌博有联系 S可能为数值集合亦可能不是，怎样利用数学中函数来刻划事件的概率，需要引入 概念；随机试验结果的函数（一般有两类：一类随机试验的结果直接是数值；另外一类随机试验的结果不是数值（需要引入映射才可与数值对应）。） 例1 掷硬币一次E，S={正面，反面} 建立：X： e r 正面 1 反面 0 （X=1）—“正面”；（X=0）—“反面” X：S → H对应 例2 掷硬币两次E，S={（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）} e (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) X 0 1 1 2 X表示出现正面次数 X:S→ {0,1,2}单质对应 定义：E—S—e，都有唯一实数X（e）与之对应，则称X（e）为随机变量，记 Remark ①X为定义于S上一个函数；②值域通常含两个or两个以上数集。 事件A的示性函数：称 为A之~ ； . 可用示性函数表述事件的6种关系： 3.2离散型 定义1（分布列） Pi满足（1），（2）反之，亦成立（3） 例1 （几何分布）在相继独立贝努里E中，每次成功概率均为p，求首次成功所需贝努里试验的次数X分布；并求当 时 例2 某袋中有a+b件球，其中a个白球，b个黑球，从中任取r个，求白球个数X的分布列； 三个特殊分布： （1）两点分布（贝努里分布）；（2）二项分布；（3）泊松分布； 3.3分布函数 例1 向（a,b）内掷一随机点，几何概型E，求落点坐标X的分布。 ，用离散型随机变量分布列的办法无法描述其概率分布。需考虑随机变数在一个区间上的取值的概率问题，何区间？ 利用Halmos 测度论 Halmos 测度论 定义：设X为 ，称 ， ,为 X分布函数，记 Remark：（1）F（x）是R上实函数；（2） Real Analysis； 例1．解： X 0 1 2 3 P 例2 设 X分布列为 求 F（x） Remark（1） ； （2）反问题：已知离散型 X的分布函数，可求其分布列。 补充定理:已知 X的分布函数 ，则有： 例3 设 X 为 并且 X一切可能值 有 求 X分布列。 F（x）满足：（1） ; （2） ; （3） ; （4） 反之，亦有。 例4 设 X 求A,B=？ 3.4 连续型 X 例1 （上节例1） 定义 定义.设随机变数 X ，其 ， 则称X为连续型 ，pdf f(x) f(x)满足： （1）f(x)≥0；（2） ；反之，也成立。 （3） ； （4） 是R上 ；（5）若f(x)在 点连续，则 ； （6） ；（7）f(x)在 点连续时，则f(x)在此点函数值大小表明 在 点附近取值概率的大小。 例2 设 Xpdf为： 求（1）A=？；（2）F(x)；（3）P(1证明

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