产蛋鸡发生脱肛的原因及其防治措施

反正切和式的裂项相消法佳构 42中学数学研究2011年第9期 反正切和式的裂项相消法佳构 华南师范大学数学科学学院(510631)张俊杰吴康 1反正切函数的两个性质 关于反正切函数有如下两个性质[1](本文以 』J,,示非负整数集,,,,表示正整数集). 性质1若数列{P}(凡?N)满足P20,则 arctanP一arctanP, I :arctan?(n?N一)?瓦n?) 性质2若数列{P(n?N)}满足IPl<1,则 arctanP+arctanP一 1 :rctn(n?N)?一协n瓦'n?) 2反正切和式的裂项相消法举例 应用性质1和性质2往往能使一些形式看似复 杂的反正切和式问转化为形式简短优美的式子, 而应用的主要方法便是裂项相消法. 例l求证:arctanarctan? 证明:易知0?<_(i?N),则 tan(aretan南一arctan)=21由式?得, 一 1 :arctan i— arctan i- . Aarctan ,故一2i2一,故 ~aretan=n(arctani-arctan丁i-1i ) =1二=1I1 =arctan一———=_. /7,+l 评注:关键是逆用式?得aretan=arctan _一arcIan! ,再利用裂项相消法化筒和式. 其实,逆用式?即可构造恒等式 n arctan;主:aretanP.一arctan尸.(n ?N)? 任取数列{P}(n?N),只要P0,代入恒等 式?即可构造一系列的反正切恒等式. 例2设5~aretan南,求5 解:因arctan 1 …ctan 1 = — 十十—l, arctani—aretan(i一1),故 S:?[arctani—aretan(i一1)]=arctanni=l 所以,liraS=limarctann="lJ. 评注:关键是根据丁_的结构形式猜想 arctan了_的裂项转化即arctani—arctan(i—1). 细心的读者可能发现:例2中能直接得到裂项 转化arctan丁——=arctani—arotan(i一1)的原 因是丁_的结构形式比较直观,若遇到复杂的 结构形式可能就难以裂项了!受文[2]启发,下面将 针对这个问题提炼一种探索JD的通项公式的技巧. 3构造一元二次方程,探索P的通项公式 具体题目中往往是给定谎而不能直观 地确定P的通项公式,但通常是分式形 式,对这种情况可以构造一元二次方程来探索P的 通项公式,探索P方法如下: 若题设给定=告,其中凡)和 g(凡)都是关于n的函数.令P=,P.=,于 是,};:告,则必存在常数m(m为待定 系数)使得{一z(n),即 L1+l2=mg(n) f一十(一z)=,,川,故1和Zl一2是一元二次''队H/u—I/\ tx1(一2):1一mg(n) 作者系华南师范大学数学科学学院2010级数学教育研究生 2011年第9期中学数学研究43 方程一n)x+1一mg(n)=0的两个根,且判 别式A=[mf(n)]+4mg(n)一4,由求根公式知判 别式?通常是关于的完全平方式,以m=1,2,3, … 代人判别式?,当?是一个关于的完全平方式 时,将此m值代人方程一mf(n)+1一mg(n)= 0求得两根和一:,再由P=,P=即得 P和P,最后逆用式?即可对题设反正切和式作 裂项相消转化. 9,J3化简.Sarctafl. 解:构造一元二次方程一2mx+1一m(8n一 4n一1)=0,贝0?=4[8mn一4mn+(m一m一1)], 以m=2代人发现?=4(4n一1)是一个完全平方 式,故将m=2代人方程求得=4n+1,一:=4n 一 3,且口P=4n+1,P一】=4n一3,故arctan —— =arctan(4i+1)一arctan(4i一3),贝08i一 4i一1. S=? arctan(4几+1)一arctan1=arctan三. 评注:例3中通过构造一元二次方程求得的P 的通项公式是关于n的一个线性形式,在求得S= arctan(4n+1)一arctanl后继续应用式?可得更简 约的形式arctan,而此时P的通项公式变为 /7,十1 分式形式? 4反正切和式的裂项相消法佳构 上文应用式?构造了一个恒等式?,若利用平 方差公式综合式?和式?容易得到 性质3若数列{P}(n?N)满足0<P<1,则 arctanP一arctanPn一 1: arctan!arctan!兰(n?^,)? 应用式?可构造一个新的恒等式 ~arctan篙arctan篙 =arctanP一arctanP0(n?N).? 任取不同的数列{尸}(n?N),只要0P< 1,代入恒等式?即可构造许多新的反正切恒等式. 例4证明:窆i=1 arctan 2 1 arctan 2i2-1 = arctan. 证明:因arctani— arctan丁i-1=arcta"1, i arctan+arctan:arctan,故arctan__+—_—,敢+1 1 arctan 2i2-1 =arctan丽i-arctan2丁i-1,从而 arctan= n (arctan2i2/"( arctan. 评注:关键是根据反正切之积的形式猜想 12一1 .nn—? =arctan.南一ctan.. 例5设S=? arctan,求 解:构造方程探索P通项公式(见例3,此略), 则arctan=arctan丽2i—arctan 丽2i-2,容易验证arctan1=arctan1Z一 斗一l,+ …ctan,于是 . 2. 8i一4i一2 an=二m组"—_一8一4一14一1 2,2一2 一 盯an, 从而,Js=arctan,故 lim=lira n—?n---~? ~ /arctan22n = 一 limarctan=arctanl=. 一丽. 评注:关键是将与的结 构形式和与的结构形式进行对 比,从而对反正切和式的每一项进行准确裂项. 参考文献 [1]潮斌.两个反正切恒等式及应用[J].数学教学研究,1998. (03). [2]施宝驹.再谈反三角函数求和技巧[J].数学教学通讯,1987,