2017年高考理科数学全国2卷-含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（）A．B．C．D．2.设集合，．若，则（）A．B．C．D．3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5.设，满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．D．6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．2B．3C．4D．59.若双曲线EMBEDEquation.DSMT4（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2B．C．D．10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11.若是函数的极值点，则的极小值为（）A.B.C.D.112.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．14.函数（）的最大值是．15.等差数列的前项和为，，，则．16.已知是抛物线EMBEDEquation.DSMT4的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）的内角的对边分别为,已知．(1)求(2)若,面积为2,求18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01） P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828EMBEDEquation.DSMT419.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.（1）证明：直线平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角M-AB-D的余弦值20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.（12分）已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，证明：（1）；（2）．2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(Ⅱ)试题答案一、选择题1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B二、填空题13.1.9614.115.16.6三、解答题17.解：（1）由题设及，故上式两边平方，整理得解得（2）由，故又由余弦定理及得所以b=218.解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”由题意知旧养殖法的箱产量低于的频率为故的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于的频率为故的估计值为0.66因此，事件A的概率估计值为（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66由于故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，箱产量低于的直方图面积为故新养殖法箱产量的中位数的估计值为．19.解：（1）取中点，连结，．因为为的中点，所以,,由得，又所以．四边形为平行四边形，．又，，故（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则，，，，,则因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）²+y²-z²=0又M在棱PC上，设由①，②得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取m=（0，-，2）.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,由得因为M（x0,y0）在C上，所以因此点P的轨迹方程为（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则，由得，又由（1）知，故3+3m-tn=0所以，即又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.解：（1）的定义域为设，则等价于因为若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故综上，a=1（2）由（1）知设当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点由由得因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得所以22.解：（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知由得的极坐标方程因此的直角坐标方程为（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是△OAB面积当时，S取得最大值所以△OAB面积的最大值为23.解：（1）（2）因为所以，因此a+b≤2._1586624127.unknown_1586624128.unknown_1586624129.unknown_1586624130.unknown_1586624131.unknown_1586624132.unknown_1586624133.unknown_1586624134.unknown_1586624135.unknown_1586624136.unknown_1586624137.unknown_1586624138.unknown_1586624139.unknown_1586624140.unknown_1586624141.unknown_1586624142.unknown_1586624143.unknown_1586624144.unknown_1586624145.unknown_1586624146.unknown_1586624147.unknown_1586624148.unknown_1586624149.unknown_1586624150.unknown_1586624151.unknown_1586624152.unknown_1586624153.unknown_1586624154.unknown_1586624155.unknown_1586624156.unknown_1586624157.unknown_1586624158.unknown_1586624159.unknown_1586624160.unknown_1586624161.unknown_1586624162.unknown_1586624163.unknown_1586624164.unknown_1586624165.unknown_1586624166.unknown_1586624167.unknown_1586624168.unknown_1586624169.unknown_1586624170.unknown_1586624171.unknown_1586624172.unknown_1586624173.unknown_1586624174.unknown_1586624175.unknown_1586624176.unknown_1586624177.unknown_1586624178.unknown_1586624179.unknown_1586624180.unknown_1586624181.unknown_1586624182.unknown_1586624183.unknown_1586624184.unknown_1586624185.unknown_1586624186.unknown_1586624187.unknown_1586624188.unknown_1586624189.unknown_1586624190.unknown_1586624191.unknown_1586624192.unknown_1586624193.unknown_1586624194.unknown_1586624195.unknown_1586624196.unknown_1586624197.unknown_1586624198.unknown_1586624199.unknown_1586624200.unknown_1586624201.unknown_1586624202.unknown_1586624203.unknown_1586624204.unknown_1586624205.unknown_1586624206.unknown_1586624207.unknown_1586624208.unknown_1586624209.unknown_1586624210.unknown_1586624211.unknown_1586624212.unknown_1586624213.unknown_1586624214.unknown_1586624215.unknown_1586624216.unknown_1586624217.unknown_1586624218.unknown_1586624219.unknown_1586624220.unknown_1586624221.unknown_1586624222.unknown_1586624223.unknown_1586624224.unknown_1586624225.unknown_1586624226.unknown_1586624227.unknown_1586624228.unknown_1586624229.unknown_1586624230.unknown_1586624231.unknown_1586624232.unknown_1586624233.unknown_1586624234.unknown_1586624235.unknown_1586624236.unknown_1586624237.unknown_1586624238.unknown_1586624239.unknown_1586624240.unknown_1586624241.unknown_1586624242.unknown_1586624243.unknown_1586624244.unknown_1586624245.unknown_1586624246.unknown_1586624247.unknown_1586624248.unknown_1586624249.unknown_1586624250.unknown_1586624251.unknown_1586624252.unknown_1586624253.unknown_1586624254.unknown_1586624255.unknown_1586624256.unknown_1586624257.unknown_1586624258.unknown_1586624259.unknown_1586624260.unknown_1586624261.unknown_1586624262.unknown_1586624263.unknown_1586624264.unknown_1586624265.unknown_1586624266.unknown_1586624267.unknown_1586624268.unknown_1586624269.unknown_1586624270.unknown_1586624271.unknown_1586624272.unknown_1586624273.unknown_1586624274.unknown_1586624275.unknown_1586624276.unknown_1586624277.unknown_1586624278.unknown_1586624279.unknown_1586624280.unknown_1586624281.unknown_1586624282.unknown_1586624283.unknown_1586624284.unknown_1586624285.unknown_1586624286.unknown_1586624287.unknown_1586624288.unknown_1586624289.unknown_1586624290.unknown_1586624291.unknown_1586624292.unknown_1586624293.unknown_1586624294.unknown_1586624295.unknown_1586624296.unknown_1586624297.unknown_1586624298.unknown_1586624299.unknown_1586624300.unknown_1586624301.unknown_1586624302.unknown_1586624303.unknown_1586624304.unknown_1586624305.unknown_1586624306.unknown_1586624307.unknown_1586624308.unknown_1586624309.unknown_1586624310.unknown_1586624311.unknown_1586624312.unknown_1586624313.unknown_1586624314.unknown_1586624315.unknown_1586624316.unknown_1586624317.unknown_1586624318.unknown_1586624319.unknown_1586624320.unknown_1586624321.unknown_1586624322.unknown_1586624323.unknown_1586624324.unknown_1586624325.unknown_1586624326.unknown_1586624327.unknown_1586624328.unknown_1586624329.unknown_1586624330.unknown_1586624331.unknown_1586624332.unknown_1586624333.unknown_1586624334.unknown_1586624335.unknown_1586624336.unknown_1586624337.unknown_1586624338.unknown_1586624339.unknown_1586624340.unknown_1586624341.unknown_1586624342.unknown_1586624343.unknown_1586624344.unknown_1586624345.unknown_1586624346.unknown_1586624347.unknown_1586624348.unknown_1586624349.unknown_1586624350.unknown_1586624351.unknown_1586624352.unknown_1586624353.unknown_1586624354.unknown_1586624355.unknown_1586624356.unknown_1586624357.unknown_1586624358.unknown_1586624359.unknown_1586624360.unknown_1586624361.unknown_1586624362.unknown_1586624363.unknown_1586624364.unknown_1586624365.unknown_1586624366.unknown_1586624367.unknown_1586624368.unknown_1586624369.unknown_1586624370.unknown_1586624371.unknown_1586624372.unknown_1586624373.unknown_1586624374.unknown_1586624375.unknown_1586624376.unknown_1586624377.unknown