矢量张量公式及推导

现形式的导数，协变导数:可ij由张量的导数，定义张量的协变导数：巧T：=Tjk；i=三早+T*Gi為—，cX由张量的协变导数和克里斯托夫的坐标转换公式可以证明协变导数是张量的分量。3.^x1；:xk::xi;：2XI'为了证明这点，先注意ji[7kjr■|k■kexexexexexex；：2x'；：2xi'I'；~L?II；T-j-i1-j-i；x；x；x；x证明:千i'-jx.xj:xj；xj匚r、iexi&丿:xj；xji_X.j-2i':X;xFijjrx:X:Xi-2i'需甘V二Fl••⑴次exSx■ijk-2I'-kcxex"；'啪皿+亠j一exexex两边同乘-k并遍历k求和，得:i'i'J,j-lj-，代入⑴式得:.:Fi':xj'Fm\I='■!■-i'm'j'j'iF；］八jj'：；F；j由于协变导数是张量分量，所以gj、jF，=gkjF；\二Fi；k=、jFi—"T同样Ij可由一丄导出，称为逆变导数cTcTj逆变导数及协变导数构成的张量实体：gj-gjcxjex梯度散度和旋度：梯度:IT弋1迂,「斗g1:X:X散度：：・T二g1下，T丁*glexexLI氓厂战I旋度：IT=gI「，T「gIexex几个协变导数：由于张量实体不因坐标变化而变化，如果某张量的各分量在直角坐标系下为0，则该张量为0。容易知道在任意标系下有，'igj二'igjk=0,、i「k-°，‘；二'i-jkm=°,由于协变导数是张量分量，在任意坐标系下上三式成立。几个微分向量公式：'■*(hA)=h*AA八h\jhA)WA，A\h'、(hA)=hA_A5；j\(hAj)「jkhSAj•；jkAjSh「jkhjAj-朮A'h''*(AB)二B*0AA*0B)4.'、（AB）=（B八）A-C*A）BA（■、•B）-（A八）BijkIm、ijklmijklm；lj（；kimAB）二；；klm'jAB-:；kimAVjB十；、yj）「A1Bm（.|l.m-「kij）A1「Bm-'■jAiB^VjAjBiA%jBj-A儿jB，5.'（A・B）=（B八）A（A八）BBA）A（、B）BPjA+APjBi*汕好％几+知爪严京耳二BjJAAjj•（—「）B\Am（；、{—jim）Aj5Bm二Bj「AAj「BiBj\iAj-Bj「AA%,Bj-A%jB,二BjlAA*jBj=\j（AjBj）6.2可xA）=灯（灯*A）_可A叫j（屛1Am）=耶屛j」Am=（「im-7.（A八）AACA）八AAj\jAm•；ijkAjwmJAm=Aj」Amcm一爲珅）Aj^Am=jjAm-样％-A"jAm=A,mAj「、mAjAj/2张量的积分定理：1.对封闭曲面a有：da=0，由于对任意常矢量k有［k*da=0由k的任意性可知i24已g）2・-i-Xj-j-}-/-i_：ggi.g：g_；-gg，g，gk_；、gg,；ggkigg—iig一gikg厂g厂g-X:X:X:X:X3.dv：--da,va证明：da:.a1「⑴+二（Jg1半）dx1"dx2dx3_侖g1半⑴dx2dx3+:x=样（屈g^?）dx1dx2dx^7gg.x^^mdx1dx2dx3.x■：G9gm）：dx1dx2dx3-m；x列出类似关系式：dv：-da和vadv'•二：da•和vadv'、=■-da和va斯托克斯公式da：I）=df•afdvI-davadv•'二«davadv'、=dava和C：；?）・da二i:・dfaf123一-m「X=..ggmdxdxdxg证明：三角区域ds,dt,d(s-t)边上的张量取边中点的值,111-df*二ds*（ds八）-（ds—dt）*[（dsdt”'）]-dt*（dt八）f222111dt・（ds八）ds*（dt八）（dsdt-dtds）八：记反对称张量l（dsdt-dtds）-Q2Q的反偶矢量为3二--£：Q=--£：-（dsdt-dtds）=dsdt二-da2222又Q=-£*3=da*£TOC\o"1-5"\h\z；df■二Q:-da•£'■-da■（、）f6.da、「--dr和汽dadfafaf证明：三角区域ds,dt,d(s-t)边上的张量取边中点的值,TOC\o"1-5"\h\z111-df二ds(「一ds八)—(ds—dt)[「一(dsdt)八)]—dt(「一dt八)HYPERLINK\l"bookmark17"\o"CurrentDocument"f222111dt(ds八)ds(dt八)(dsdt-dtds)八'2221记反对称张量—(dsdt-dtds)-Q21111Q的反偶矢量为3£*Q£：一(dsdt-dtds)dsdt=-da2222又Q--£*3=da*£df=Q八=da*£•'■=-da'、‘