1时是双曲线,那么当e=1时是什么曲线呢,这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲
线—抛物线,以及它的定义和标准方程(
二、讲授新课
1(抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F叫做抛物线的
焦点,定直线l叫做抛物线的准线(
2(抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p>0)(
(1)建系设点
(2)点的集合(几何关系)
(3)代数方程
2 (4)化简方程得 y=2px(p>0)
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,如下表:
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
三、例题
2 例1(1)已知抛物线的标准方程y=ax,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。
例2 点M与点到(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程(
15 例3 求焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为的抛物线的标准方程.
2例4 斜率为1的直线经过抛物线y=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.
pp2说明:抛物线y=2px(p>0)上一点A(x,y)到焦点的距离这就是抛物线的F(,0)||AFx,, oo 022焦半径公式。焦点弦长|AB|=x+x+p. 12
四、课堂练习
1(根据下列条件写出抛物线的标准方程
1 ?焦点是F(3,0);?准线方程是;?焦点到准线的距离是2 x,,4
2(求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
12222 ?y=20x ?xy, ?2y+5x=0 ?x+8y=0 2
p2 3(?抛物线y=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是,则点M到准线的距离是aa(), 2__________,点M的横坐标是__________,
2 ?抛物线y=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是_________.
五、作业 同步练习 08051
椭圆的简单几何性质(3) 教学目标:
1(能利用椭圆中的基本量a、b、c、e熟练地求椭圆的标准方程(
2(掌握椭圆的参数方程,会用参数方程解一些简单的问题( 教学重点:掌握椭圆的参数方程,会用参数方程解一些简单的问题( 教学难点:椭圆参数方程的应用.
教学过程
一、复习引入 椭圆的几何性质
2222xyyx,,,,1(0)ab,,,,1(0)ab 2222abab方程
图形
||,||xbya,, ||,||xayb,,范围
对称轴:x轴,y轴 对称性 对称中心:原点O(0,0)
焦点 F(-c,0)、F(c,0) F(0,-c)、F(0,c) 1212
A(-a,0),A(a,0) (0,-a),A(0,a) A1212
顶点 B(0,-b),B(0,b) B(-b,0),B(b,0) 1 21 2
长轴长 = 2a 短轴长=2b
ceac,,,(0) 离心率 a
准线
焦半径 r=a+ex,r=a-ex 1o2o
二、讲授新课
例1 如图,以原点心圆心,分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆 的交点,过点A作AN?Ox,垂足为N,过点B作BM?AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋 转时点M的轨迹方程(
点评:这道题还给出了椭圆的一种画法,按照这种方法,在已知椭圆的长、短轴长的情况下,
给出离心角的一个值,就可以画出椭圆上的一个对应点,利用几何画板画椭圆都用此法(
xa,cos,,例2 已知椭圆上的点P(x,y),求: 3x+4y的取值范围( ,ybab,,,sin,(0,0,为参数),,,
x,3cos,,例3 把参数方程(φ为参数)(写成普通方程,并求出离心率( ,y,4sin,,
22xy,,1例4 求椭圆上的点到直线l:3x-2y-16=0的最短距离,并求取得最短距离时椭圆上的到47
点的坐标.
2xx21,,y1例5 设A(x,y)为椭圆上一点,过A作一条斜率为的直线l,又设d为原点到,1122y1直线l的距离,r,r分别为A点到椭圆两焦点的距离,求证:为常数. rrd,,1212三、作业 同步练习 08023
抛物线的几何性质(4) 教学目标:能综合应用有关知识解决抛物线的综合问题(
教学重点:抛物线知识的综合应用.
教学难点:如何结合平几知识解题.
教学过程
例1(00)过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ
的长分别是p、q,则等于
4 (A)2a (B) (C)4a (D)
a
2例2.(95).直线l过抛物线y=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为
4,则a= .
例3(98)如图所示,直线l和l相交于点M,l?l?,点N?l,以A、B为端点的曲2121 1
||7AM,线段C上的任一点到l的距离与到点N的距离相等,若?AMN为锐角三角形,,2
|AN|=3,且|BN|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程(
222例4 如图所示,设抛物线y=2px(0|FF|)之差的绝对值为定值12
的点的轨迹 2a(0<2a<|FF|)的点的轨12
迹
2(与定点和直线的距离之2(与定点和直线的距离与定点和直线的距离相等的
比为定值e的点的轨迹.之比为定值e的点的轨点的轨迹.
(01)
图形
标准2222xyxy2方 方程 =2px ,,1,,1y(>0) (a>0,b>0) a,b2222abab
参数,,x,acosx,asec,,2,x,2pt,,,,y,bsiny,btan (t为参数) 程 方程 ,,,y,2pt,(参数,为离心角)(参数,为离心角)
范围 ?a,x,a,?b,y,b |x| , a,y,R x,0
中心 原点O(0,0) 原点O(0,0)
顶点 (a,0), (?a,0), (0,b) , (a,0), (?a,0) (0,0)
(0,?b)
对称轴 x轴,y轴; x轴,y轴; x轴
长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a, 虚轴长2b.
p焦点 F(c,0), F(?c,0) F(c,0), F(?c,0) 1212F(,0) 2
焦距 22222c (c=) 2c (c=) a,ba,b
cc离心率 e=1 e,(0,e,1) e,(e,1) aa
p准线 22x,, aa,,x= x= 2cc
b渐近线 y=?x a
pr,a,ex焦半径 r,,(ex,a) r,x,2
通径 2222bb2p aa
焦参数 22aaP cc
2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
3. 等轴双曲线
4. 共轭双曲线
225. 方程y=ax与x=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
二、几种常见求轨迹方程的方法
1(直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法(
222例1(1)求和定圆x+y=k的圆周的最小距离等于k的动点P的轨迹方程;
222(2)过点A(a,o)作圆O?x+y=R(a,R,o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹(
2(定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做定义法(
22A(3,0),例2 设Q是圆x+y=4上的动点,另有点线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P,当Q点在圆周上运动时,求点P的轨迹方程(
3(相关点法
若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x,y)的变动而变动,且x、y可用x、y表示,则将Q0000
点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P的轨迹方程(这种方法称为相关点法(或代换法)(
2例3 已知抛物线y=x+1,定点A(3,1)、B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP?PA=1?2,当B点在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程(
2例4.垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y=2(x–1)分别交于点A和点P,点B在y轴上且点A分的比OB为1:2,求线段PB中点的轨迹方程.
4(待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求(
2例4 已知抛物线y=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点,又
25直线y=2x被双曲线截得线段长等于,求此双曲线方程(
三、课堂练习
1(两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程(
2(动点P到点F1(1,0)的距离比它到F2(3,0)的距离少2,求P点的轨迹(
223(已知圆x+y=4上有定点A(2,0),过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|,求动点P的轨迹方程(
24(求抛物线y=2px(p,0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程(
四、作业 同步练习 080F1
椭圆的简单几何性质 (2)
教学目标:
进一步掌握椭圆的几何性质,掌握椭圆的第二定义,能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题,明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的,可以互相推出( 教学重点:掌握椭圆的第二定义,能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题. 教学难点:应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题.
教学过程
一、复习引入
椭圆的几何性质
二、讲授新课
1.探索研究
2aclx:, 点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离的比是常数,求(0)ac,,ca点 M的轨迹(
2.椭圆的第二定义:
c动点 M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时,这个点的eac,,,(0) a轨迹是椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e是椭圆的离心率(
说明:
222xya,,,,1(0)ablx:, 对于椭圆,相应于焦点F(c,0)的准线方程是(根据椭圆的对22cab
2ax,,称性,相应于焦点F`(-c,0)的准线方程是,所以椭圆有两条准线( c
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几
何意义(
三、例题
22xy,,,,1(0)ab例1 设M(x,y)是椭圆上的一点,r,r分别是点M与点 F(-c,0),F(c,0)oo121222ab
的距离,.求证:r=a+ex,r=a-ex,其中e是离心率. 1o2o
例2 选择:
22yx,,1 (1)在椭圆上取三点,其横坐标满足x+x=2x,三点顺次与某一焦点连接的线段13222ab
长是r, r, r,则有 123
(A)r, r, r成等差数列 (B)r, r, r成等比数列 123123
111111,,,, (C)成等差数列 (D)成等比rrrrrr123123
y数列 l(2)如图,已知椭圆中心在原点,F是焦点,A为顶点,P准线l交x轴于点B,点P, Q在椭圆上,且PD?l于D,DQx||PF||QF? QF?AO, 则椭圆的离心率是? ;? ;AOBF||PD||BF
||AO||AF||FO;? ;? ,其中正确的个数是 ||BO||AB||AO
(A)1个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
22xy,,1例3 已知椭圆上一点 P到其左、右焦点距离的比为1:3,求P点到两条准线的距离( 10036
22xy,,1例4 已知椭圆内有一点P(1,-1), F是椭圆的右焦点,在椭圆上有一点M,使 43
|MP|+2|MF|的值最小,求M的坐标(
3P(1,)340x,,例5 求中心在原点,过点,一条准线方程为的椭圆方程( 2
22xy,,1例6 求椭圆的通径长. 43
椭圆的几何性质
2222xyyx,,,,1(0)ab,,,,1(0)ab 2222abab方程
图形
||,||xbya,, ||,||xayb,, 范围
对称轴:x轴,y轴 对称性 对称中心:原点O(0,0)
焦点 F(-c,0)、F(c,0) F(0,-c)、F(0,c) 1212
A(-a,0),A(a,0) (0,-a),A(0,a) A1212
顶点 BB(0,-b),B(0,b) (-b,0),B(b,0) 1 21 2
长轴长 = 2a 短轴长=2b
ceac,,,(0) 离心率 a
准线
焦半径 r=a+ex,r=a-ex 1o2o
四、作业 同步练习 08022
双曲线的几何性质 (2) 教学目标:
掌握双曲线的第二定义,双曲线的准线概念(
能利用已知条件熟练地求双曲线的标准方程(
教学重点:双曲线的第二定义.
教学难点:双曲线第二定义的应用.
教学过程
一、复习引入
1(双曲线几何性质;
2(椭圆的第二定义(
2aclx:, 平面上点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到直线的距离的比是常数的(0)ac,, ca点的轨迹是椭圆(
二、讲授新课
双曲线的第二定义
2aclx:,探索:平面上点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到直线的距离的比是常数.(0)ca,, ca求点M的轨迹方程.
c 定义:当点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ee,,(1)时,这个 a点的轨迹是双曲线(通常称为双曲线的第二定义(定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数是双曲线的离心率(
222xya,,1x, 对于双曲线,相应于焦点F(c,0)的准线方程是,根据双曲线的对称性,相22cab
2ax,,应于焦点F’(- c,0)的准线方程是,所以双曲线有两条准线( c
因此,双曲线离心率的几何意义是双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比(
双曲线的几何性质
标准方程
图形
范围 , ,
对称性 对称轴:轴、轴,对称中心:原点
离心离
顶点
焦点
准线
渐近线
三、例题
22xy,,,,1(0,0)ab例1 设M(x,y)是双曲线上的一点,r,r分别是点M与点 F(-c,0),F(c,0)oo121222ab
的距离,.求证:r=|a+ex|,r=|a-ex|,其中e是双曲线的离心率. 1o2o
,例2 求中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐近线的倾斜角为,一条准线方程为x=6的双曲6
线的标准方程(
引申:若把“一条准线方程为x=6”改为“两条准线间的距离为12”,结果如何,
22xy,,30例3 已知双曲线与椭圆x+4y=64共焦点,它的一条渐近线方程为,求双曲线的方程(
思维启迪:(1)从“共焦点”入手;(2)由已知渐近线切入. 例4 双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列,右准线方程是x=1(且经过点A(2,2)((1)
双曲线的离心率e;(2)双曲线的右焦点的轨迹方程(
xa,sec,,
,例5 化参数方程(θ为参数)为普通方程 yb,tan,,
四、课堂练习
22xy,,11(双曲线的两条准线的距离等于( ) 34
A(B(C(D(
22xy,,12(如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是8,那么P到右准线的距离是( ) 6436
A(10 B( C(D(
3(以曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分,则它的离心率是( )
A(B( C(D(
五、作业 同步练习 08042
抛物线的几何性质(1) 教学目标:1(掌握抛物线的几何性质、能根据抛物线的几何性质画出抛物线图形;
2(能利用抛物线的几何性质解决有关问题(
教学重点:物线的几何性质及其应用.
教学难点:物线的几何性质的应用.
教学过程
一、 复习引入
1. 抛物线的定义;
2. 抛物线的标准方程及主要参数:
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
二、讲授新课 2 1(抛物线y=2px(p>0)的几何性质
(1)范围
因为p>0,由方程可知x?0,所以抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y|也增大,这说 明抛物线向右上方和右下方无限延伸(
(2)对称性
(3)顶点
(4)离心率
(5)通径:过(圆锥曲线)焦点垂直于焦点所在的轴的弦叫做(该圆锥曲线的)通径.
抛物线的通径长:2p
2.四种标准方程抛物线的几何性质:
标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率
轴
轴
轴
轴
三、例题
M(2,22), 例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的标
准方程,并用描点法画出图形(
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处(已知灯口圆的
直径为,灯深,求抛物线的标准方程和焦点位置(
例3 设抛物线的顶点为O,经过焦点垂直于车的直线和抛物线交于两点B、C,经过抛线上 一点P垂直于车的直线和轴交于点Q,求证线段|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项(
2 例4 正三角表的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y=2px(p>0)上,求这个
正三角形的边长(
四、课堂练习
1(求适合下列条件的抛物线方程
?顶点在原点,关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).
?顶点在原点,焦点是F(0,5).
?顶点在原点,准线是x=4.
?焦点是F(0,-8),准线是y=8.
2(一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是1.1m,跨度是2.2m,求拱形的抛物线方程
五、作业 同步练习 08061
双曲线的几何性质 (1) 教学目标:
1(通过对双曲线标准方程的讨论,掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几
何性质(
2(通过类比旧知识,探索新知识,培养学生学习数学的兴趣,探索新知识的能力及勇于创新
的精神(
教学重点:双曲线的几何性质.
教学难点:双曲线渐近线的证明.
教学过程
一、 复习引入
椭圆的几何性质
二、讲授新课
22xy,,,,1(0,0)ab1.双曲线的几何性质: 22ab
1)范围
2)对称性
3)顶点(顶点坐标,实轴,虚轴)
4)离心率
5)渐近线(证明)
2.等轴双曲线与共轭双曲线.
椭圆与双曲线的几何性质
椭圆 双曲线
方程
、、的222 cabab,,,,(0,0)
关系
图形
范围
对称轴:轴、轴 对称轴:轴、轴
对称性
对称中心:原点 对称中心:原点
、 、
顶点 实轴长 、
长轴长,短轴长 虚轴长
离心率 , ,
有两条,其方程为
渐近线 无
三、例题
22xy,,1例1 求以椭圆的两个顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程,并求此双曲线169
的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
22xyA(23,3),,,1例2 求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程. 169
例3 等轴双曲线的两个顶点分别为A、A,垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于M、N两点,12
求证: o(1)?MAN+?MAN=180; 12
(2)MA?AN,MA?AN. 1221
四、课堂练习:
2222xyxy,,1,,,,mba0,01.已知双曲线和椭圆的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边,,2222abmb
的三角形是( )
,(锐角三角形 ,(直角三角形 ,(钝角三角形 ,(等腰三角形
22xy,,12.双曲线的两条渐近线的夹角是( ) 1625
4545,( ,(2 ,( ,( arctan,,,,2arctan2arctan2arctan4545
5,,P3,,23.过点,离心率为的双曲线方程是 。 e,2
五、作业 同步练习 08041