---函数压轴题
1、 (本小题满分14分)
已知数列,, {}aaa,,2aaan,,,2(2)n12nnn,,11
(1)求数列的通项公式. {}aann
111(2)当时,求证: ,,,,n,2...3aaa12n
2*(3)若函数满足:, fx()fafnfnfnnN(1),(1)()().(),,,,,1
n11 求证: ,.,fk,()12,1k
解: ,两边加得: , aaa,,2aaaaan,,,,2()(2)nnn,,11nnnnn,,11
是以2为公比, 为首项的等比数列. ?,{}aaaa,,4nn,112
nn,1---------? --------2分 ?,,,aa4222nn,1
由两边减得: aaa,,22aaaaan,,,,,2(2)(2)nnn,,11nnnnn,,11
是以,1为公比, 为首项的等比数列. ?,{2}aaaa,,,22nn,121
nn,1-----------?--------4分 ?,,,,,,aa22(1)2(1)nn,1
nn?-?得: 32[2(1)]a,,,n
2nn所以,所求通项为--------6分 a,,,[2(1)]n3
nn,111311322,,,,,[]nnnnnn,,,111aa22121222221,,,,,nn,1 (2) 当为偶数时, nnnnn,,11322322311,,n,,,,,()(2)nnnnnnn,,,,,,
1,1n1113111312--------8分 ?,,,,,,,,,,,,...(1...)3332nn1aaa22222212n,12
21nn当为奇数时,,,又为偶数 a,,,,n?,,an,1[2(1)]00,0n,1na3n,1
1111111?由(1)知, --------10分 ,,,,,,,,,......3aaaaaaa12121nnn,
2(3)证明: fnfnfn(1)()()0,,,,
?,,?,,,,,,,,,,,fnfnfnfnfnf(1)(),(1)()(1)(1)20
11111又 ,,,,2fnfnfnfnfnfnfn(1)()()()[()1]()()1,,,,
111--------------------------------12分 ?,,fnfnfn()1()(1),,
n1111111?,,,,,,,,,,[][][],fkfffffnfn,,()1(1)(2)(2)(3)()(1),1k
1111,,,,.ffnf,(1)(1)(1)2
---14分
2、(本小题满分14分)设函数( fxxpx()ln1=-+p,0,,
(?)求函数的极值点,并判断其为极大点还是极小值点; fx()
(?)若对任意的x,0,恒有,求p的取值范围; f(x),0
2222ln2ln3lnn2n,n,1 (?)证明:,,?,,(n,N,n,2).( 2222(n,1)23n
( 解:(1), ?f(x),lnx,px,1,?f(x)的定义域为(0,,,)
11,px,f(x),,p,, …………2分 xx
1,,f(x),0,?x,,(0,,,),f(x)、f(x)随x令的变化情况如下
: p
111(0,) (,)+ x ppp
fx'()+ 0 ,
fx() ? 极大值 ?
1x,从上表可以看出:当p>0 时,有唯一的极大值点( …………5分 fx()p
111x=(?)处取得极大值,此极大值也是最大值, f()ln=ppp
11要使恒成立,只需, ? fx()0?p?1f()ln0= pp
?p的取值范围为[1,+?(数学驿站:www.maths168.com …………9分 )
(?)令p=1,由(?)知, lnx,x,1,0,?lnx,x,1,?n,N,n,2
22?, lnn,n,1
22lnnn,11? …………11分 ,,1,222nnn
222nln2ln3ln111,,?,,,,,,?,,? (1)(1)(1)222222nn2323
111,n,,,,?, (1)()222n23
111,(n,1),(,,?,) 2,33,4n(n,1)
111111 ,(n,1),(,,,,?,,)2334nn,1
2112n,n,1,(n,1),(,), 2n,12(n,1)
?结论成立( …………14分
3、(本小题满分14分)
11111bb,,bb,,,()nn,1nn,1*n,N24222解:(1)对任意,都有,所以
111b,{}b,,3n1222则成等比数列,首项为,公比为…………2分
1111n,1n,1b,,,b,,,3()3()nn2222所以,…………4分
11n,1b,,,3()n22 (2)因为
1,3(1)nnnn11112T,,,,,,,,,,,3(1...)6(1)n21,nn12222222,12所以…………7分
12k,,27n(122),,nTn因为不等式,
27n,k,*nn,N2化简得对任意恒成立 ……………8分 27n,2(1)72792nnn,,,,c,cc,,,,nnn,1nnnn,,112222设,则
{}ccc,n,5nn,1n当,,为单调递减数列,
{}ccc,15,,nnn,1n当,,为单调递增数列 …………11分
133,,,cc45cn,5n321632,所以, 时, 取得最大值…………13分
27n,3k,k,*nn,N232所以, 要使对任意恒成立,…………14分
4、(14分)
22Sn数列首项a,1,前项和与之间满足 aSanan,, (2),,n1nnn21S,n
,,1 (1)求证:数列是等差数列 (2)求数列的通项公式 a,,,,nSn,,
,11121,,,,,SSSkn (3)设存在正数,使对于一切都成立,求nN,k,,,,,,12n
的最大值。 k
22Sn解:(1)因为时,得 SSSS,,,2n,2,,?,,aSSSS nnnn,,11,,nnnnn11,21Sn----------------2分
11由题意 Sn,,0 (2)?,,,n2 2,,nSSnn,1
,,11又 是以为首项,为公差的等差数列 -- 4分 2Sa,,1,1?,,11SSn1,,
11,(2)由(1)有 --5分 ?,,SnN,,,,,,nn1(1)221 ,,nSn,21n
112 时,--- 7分 aSS,,,,,,?,n2nnn,1nnnn,,,,,212(1)1(21)(23)
1 (1)n,,, -- (8分) 又aS,,1?,a2,11n,, (2)n,(21)(23)nn,,,
111,,,SSS,,,,,,12n(3)设则 Fn(),
21n,
2(1)21,,SnFnnnn(1)22484,,,,n,1 -11分 ,,,,12Fn()232123nnn,,,483nn,,, 在上递增 故使恒成立只需 ? ()FnFnk(),kFn,()nN,min
2323 又 又 -------13分 k,0?,, 0kFnF()(1),,min33
23 所以的最大值是. ---------------(14) k3
15、(本小题满分14分)已知定义在上的奇函数满足,且对任意(11),,fx()f()1,2
xy,fxfyf()()(),,有( xy、,,,(11)1,xy
(?)判断在上的奇偶性,并加以证明( fx()(11),,
2x1n (?)令,,求数列的通项公式( {()}fx,x,xn1,1n2,1x2n
63,m21n,* (?)设为的前项和,若对恒成立,求的最大值( TnmnN,{}T,nnfx()2n
xy,fxfyf()()(),,解:(?)(对任意有…………? xy、,,,(11)1,xy
令得;………………………………………………,分[来源:学科?xy,,0f(0)0,网ZXXK]
令由?得, fyfy()(),,,x,0
用替换上式中的有………………………………………,分 fxfx()(),,,yx
在上为奇函数(………………………………………………,分 ?fx()(11),,
2x2x1nn(?)(满足,则必有 {()}fx,x,,1x,,1n1,1n2,1x22xnn
否则若则必有,依此类推必有,矛盾 x,1x,1x,1n,1n1
………………………………………………,分 ?01,,xn
2()xxx,,nnn?fxff()()(),,,1n211(),,,,xxxnnn
,,,,,,fxfxfxfxfx()()()()2()nnnnn
fx()1n,1?,又 ,2fxf()()1,,1fx()2n
?是1为首项,2为公比的等比数列,…………………………………,分 {()}fxn
n,1? ………………………………………………,分 fx()2,n
212121nnn,,, (?)(………………………………………………,分 ,,,2nn,1fx()22n
13521n,故……………………………………? T,,,,,2()n23n2222
11352321nn,,………………………? T,,,,,,,2()n2341nn,222222
11111121n,?,?得 T,,,,,,,,2()n2311nn,,2222222
23n,………………………………………………,,分 ,,3n2
23n,?………………………………………………,,分 ,6T,,6nn,12
63,m63,m*?若对恒成立须,解得……………………,,分 nN,m,2,6T,n22
?2的最大值为( ………………………………………………,,分 m
6、(本小题满分14分)已知数列、满足,,{}a{}baaaa,,,,2,1(1)ba,,1nn11nnn,nn
的前项和为. 数列{}bSnnn
(1)求数列的通项公式; {}bn
(2)设,求证:; TSS,,TT,nnn2nn,1
n1,(3)求证:对任意的有成立( nN,1,,,,Snn222
解:(1)由得代入得 ba,,1ab,,1aaa,,,1(1)bbb,,(1)nnnnnnn,1nnn,1
,----------------------------------------------------------------1分 整理得bbbb,,nnnn,,11
?否则,与矛盾 b,0a,1a,2nn1
11从而得, ---------------------------------------------------------------------3分 ,,1bbnn,1
1? ?数列是首项为1,公差为1的等差数列 ba,,,11{}11bn
11?,即(---------------------------------------------------------------4分 b,,nnnbn
111(2)? S,,,,,1nn23
11111111?, TSS,,1(1),,,,,,,,,,,,nnn2231223nnnn,
111,---------------------------------------------------------6分 ,,,nnn,,122
111111证法1:? TT,,,,,,,,,()nn,1nnnnnn,,,,,2322122
111111 ,, ,,,0,,2122(21)(22)nnnn,,,,21221nnn,,,
?(--------------------------------------------------------------------------8分 TT,nn,1
11证法2:? ? 2122nn,,,,2122nn,,
111? TT,,,,,0nn,1nnn,,,22221
?(----------------------------------------------------------------------------8分 TT,nn,1
(3)用数学归纳法证明:
n1111 ?当时,不等式成立;-----------9分 n,111,1,1,,,,,,,,Snn222222
,?假设当(,)时,不等式成立,即 nk,k,1kN,
k1,那么当时 nk,,11,,,,Skk222
111k11k11 S,,,,,,,,,,,,,,,,111k,1kk,1kk,1kk,,112,2222212222
k个2
k1k,1-----------------------------------------------------------------12分 ,,,1,,1222
111111111 S,,,,,,,,,,,k,,,,,k1k,1kk,1kk,1kk2,2222222212
k2个
1 , ,,(1)k2
?当时,不等式成立 nk,,1
,由??知对任意的,不等式成立(-----------------------------------------------14分 nN,
7、(本题满分13分)
2已知数列的前项和为,且(数列为等比数列,且,( {}b{}aSb,1b,8nSn,nnn14n(?)求数列,的通项公式; {}b{}ann
(?)若数列满足,求数列的前项和( {}c{}cca,Tnnnbnnn
2知数列的前项和为,且(数列为等比数列,且,( {}b{}aSb,1b,8nSn,nnn14n(?)求数列,{}b的通项公式; {}ann
(?)若数列{}c满足,求数列{}c的前项和( ca,Tnnnbnnn
2解:(?)? 数列的前项和为,且, {}anSSn,nnn
22? 当时,( ……………2分 aSSnnn,,,,,,,(1)21n,2nnn,1当时,亦满足上式, aS,,1n,111
*故()( ……………4分 an,,21nN,n
{}b 又数列为等比数列,设公比为, qn
3? ,, ?( ……………6分 b,1bbq,,8q,2141
n,1*? ()( ……………8分 b,2nN,n
n(?)( ……………10分 cab,,,,,2121nbnn
Tcccc,,,,nn123
n,2(12)12n12n( ,,n,,,,,,,(21)(21)(21),,,,(222)n,12
n,1所以 ( ………………13分 Tn,,,22n