2020年高考数学考点与题型全归纳--理科

微信公众号：数学研讨QQ群：8072378202020年高考数学考点题型全归纳（理）11第一章集合与常用逻辑用语11第一节集合12考点一　集合的基本概念13考点二　集合间的基本关系15考点三　集合的基本运算20第二节命题及其关系、充分条件与必要条件21考点一　四种命题及其真假判断22考点二　充分、必要条件的判断23考点三　根据充分、必要条件求参数的范围28第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词29考点一　判断含有逻辑联结词命题的真假30考点二　全称命题与特称命题31考点三　根据命题的真假求参数的取值范围37第二章数的概念与基本初等函数Ⅰ37第一节函数及其示37考点一　函数的定义域39考点二　求函数的解析式41考点三　分段函数49第二节函数的单调性与最值50考点一　确定函数的单调性区间52考点二　求函数的值域最值54考点三　函数单调性的应用61第三节函数的奇偶性与周期性al(考点一　函数奇偶性的判断)62al(考点二　函数奇偶性的应用)64al(考点三　函数的周期性)6572第四节函数性质的综合问题al(考点一　函数的单调性与奇偶性)72al(考点二　函数的周期性与奇偶性)7374考点三　函数性质的综合应用82第五节函数的图象al(考点一　作函数的图象)83al(考点二　函数图象的识辨)85al(考点三　函数图象的应用)8794第六节二次函数al(考点一　求二次函数的解析式)95al(考点二　二次函数的图象与性质)97105第七节幂函数al(考点一　幂函数的图象与性质)105al(考点二　比较幂值大小)107111第八节指数式、对数式的运算al(考点一　指数幂的化简与求值)112al(考点二　对数式的化简与求值)114118第九节指数函数al(考点一　指数函数的图象及应用)119al(考点二　指数函数的性质及应用)120127第十节对数函数al(考点一　对数函数的图象及应用)128al(考点二　对数函数的性质及应用)129135第十一节函数与方程al(考点一　函数零点个数、所在区间)136al(考点二　函数零点的应用)138143第十二节函数模型及其应用al(考点一　二次函数、分段函数模型)143al(考点二　指数函数、对数函数模型)145151第三章导数及其应用151第一节导数的概念及运算、定积分153考点一　导数的运算154考点二　导数的几何意义及其应用157考点三　定积分的运算及应用165第二节导数的简单应用166时　导数与函数的单调性al(考点一　求函数的单调区间)166al(考点二　判断含参函数的单调性)167178第二课时　导数与函数的极值、最值al(考点一　利用导数研究函数的极值)178al(考点二　利用导数研究函数的最值)180al(考点三　利用导数求解函数极值和最值的综合问题)182191第三节导数的综合应用191第一课时　利用导数解不等式191考点一　f(x)与f′(x)共存的不等式问题194考点二　不等式恒成立问题196考点三　可化为不等式恒成立问题202第二课时　利用导数证明不等式202考点一　单变量不等式的证明205考点二　双变量不等式的证明206考点三　证明与数列有关的不等式211第三课时　导数与函数的零点问题211考点一　判断函数零点的个数213考点二　由函数零点个数求参数219第四节导数压轴专项突破219第一课时　分类讨论的“界点”确定219考点一　根据二次项系数确定分类“界点”220考点二　根据判别式确定分类“界点”220考点三　根据导函数零点的大小确定分类“界点”221考点四　根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点”223第二课时　有关x与ex，lnx的组合函数问题223考点一　x与lnx的组合函数问题224考点二　x与ex的组合函数问题226考点三　x与ex，lnx的组合函数问题228考点四　借助ex≥x＋1和lnx≤x－1进行放缩230第三课时　极值点偏移问题230考点一　对称变换231考点二　消参减元233考点三　比(差)值换元235第四课时　导数零点不可求235考点一　猜出方程f′(x)＝0的根235考点二隐零点代换236考点三证——证明方程f′(x)＝0无根238第五课时　构造函数238考点一“比较法”构造函数证明不等式239考点二“拆分法”构造函数证明不等式240考点三“换元法”构造函数证明不等式241考点四“转化法”构造函数242第六课时　“任意”与“存在”问题242考点一单一任意与存在问题243考点二双任意与存在相等问题244考点三双任意与双存在不等问题246考点四存在与任意嵌套不等问题252第四章三角函数、解三角形252第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数al(考点一　象限角及终边相同的角)253al(考点二　三角函数的定义)255al(考点三　三角函数值符号的判定)256262第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式al(考点一　三角函数的诱导公式)263264考点二　同角三角函数的基本关系及应用272第三节三角函数的图象与性质273第一课时　三角函数的单调性al(考点一　求三角函数的单调区间)273al(考点二　求三角函数的值域最值)276277考点三　根据三角函数单调性确定参数284第二课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性al(考点一　三角函数的周期性)285al(考点二　三角函数的奇偶性)286al(考点三　三角函数的对称性)288297第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用298考点一　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式300考点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换al(考点三　三角函数模型及其应用)302311第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式al(考点一　三角函数公式的直接应用)311313考点二　三角函数公式的逆用与变形用al(考点三　角的变换与名的变换)315323第六节简单的三角恒等变换al(考点一　三角函数式的化简)323al(考点二　三角函数式的求值)324al(考点三　三角恒等变换的综合应用)327335第七节正弦定理和余弦定理336第一课时　正弦定理和余弦定理(一)336考点一　利用正、余弦定理解三角形a\vs4\al(考点二　判定三角形的形状)338344第二课时　正弦定理和余弦定理(二)a\vs4\al(考点一　有关三角形面积的计算)344a\vs4\al(考点二　平面图形中的计算问题)346349考点三　三角形中的最值、范围问题351考点四　解三角形与三角函数的综合应用359第八节解三角形的实际应用al(考点一　测量高度问题)359al(考点二　测量距离问题)361al(考点三　测量角度问题)362366第五章平面向量366第一节平面向量的概念及线性运算al(考点一　平面向量的有关概念)368al(考点二　平面向量的线性运算)370al(考点三　共线向量定理的应用)371378第二节平面向量基本定理及坐标表示379考点一　平面向量基本定理及其应用al(考点二　平面向量的坐标运算)380al(考点三　平面向量共线的坐标表示)381386第三节平面向量的数量积al(考点一　平面向量的数量积的运算)388al(考点二　平面向量数量积的性质)391398第四节平面向量的综合应用al(考点一　平面向量与平面几何)398al(考点二　平面向量与解析几何)399al(考点三　平面向量与三角函数)400408第六章数列408第一节数列的概念与简单表示409考点一　由an与Sn的关系求通项an410考点二　由递推关系式求数列的通项公式al(考点三　数列的性质及应用)412419第二节等差数列及其前n项和al(考点一　等差数列的基本运算)420al(考点二　等差数列的判定与证明)421al(考点三　等差数列的性质及应用)422429第三节等比数列及其前n项和al(考点一　等比数列的基本运算)430al(考点二　等比数列的判定与证明)431al(考点三　等比数列的性质)433439第四节数列求和440考点一分组转化法求和441考点二裂项相消法求和443考点三错位相减法450第五节数列的综合应用450考点一　数列在实际问题与数学文化问题中的应用452考点二　等差数列与等比数列的综合计算461第七章不等式461第一节不等式的性质al(考点一　比较两个数（式）的大小)462al(考点二　不等式的性质及应用)463468第二节一元二次不等式及其解法al(考点一　一元二次不等式的解法)469al(考点二　一元二次不等式恒成立问题)471478第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题478考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域al(考点二　求目标函数的最值)481al(考点三　线性规划的实际应用)483491第四节基本不等式al(考点一　利用基本不等式求最值)491al(考点二　基本不等式的实际应用)494500第八章立体几何500第一节空间几何体的结构特征、三视图和直观图al(考点一　空间几何体的结构特征)502al(考点二　空间几何体的直观图)502al(考点三　空间几何体的三视图)504511第二节空间几何体的表面积与体积al(考点一　空间几何体的表面积)512al(考点二　空间几何体的体积)513al(考点三　与球有关的切、接问题)516524第三节空间点、直线、平面之间的位置关系al(考点一　平面的基本性质及应用)525al(考点二　空间两直线的位置关系)526532第四节直线、平面平行的判定与性质533考点一　直线与平面平行的判定与性质535考点二　平面与平面平行的判定与性质543第五节直线、平面垂直的判定与性质544考点一　直线与平面垂直的判定与性质al(考点二　面面垂直的判定与性质)546553第六节直线、平面平行与垂直的综合问题al(考点一　立体几何中的探索性问题)553al(考点二　平面图形的翻折问题)555562第七节空间角al(考点一　异面直线所成的角)562al(考点二　直线与平面所成的角)563565571第八节空间向量的运算及应用573考点一　空间向量的线性运算574考点二　共线、共面向量定理的应用575考点三　空间向量数量积及应用577考点四　利用向量证明平行与垂直问题585第九节利用空间向量求空间角al(考点一　异面直线所成的角)586al(考点二　直线与平面所成的角)588al(考点三　二面角)590603第十节突破立体几何中的3大经典问题al(考点一　存在性问题)603al(考点二　翻折与展开问题)607al(考点三　最值问题)611623第九章平面解析几何623第一节直线的倾斜角、斜率与直线的方程al(考点一　直线的倾斜角与斜率)624al(考点二　直线的方程)625al(考点三　直线方程的综合应用)627632第二节两直线的位置关系al(考点一　两条直线的位置关系)633al(考点二　距离问题)634al(考点三　对称问题)636642第三节圆的方程al(考点一　求圆的方程)642al(考点二　与圆有关的轨迹问题)645652第四节直线与圆、圆与圆的位置关系al(考点一　直线与圆的位置关系)652al(考点二　圆与圆的位置关系)655662第五节直线与圆的综合问题662al(考点二　直线与圆的综合问题)664672第六节椭圆673第一课时　椭圆及其性质al(考点一　椭圆的标准方程)673al(考点二　椭圆的定义及其应用)675al(考点三　椭圆的几何性质)676686第二课时　直线与椭圆的综合问题al(考点一　弦中点问题)686al(考点二　弦长问题)687al(考点三　椭圆与向量的综合问题)689698第七节双曲线al(考点一　双曲线的标准方程)699al(考点二　双曲线定义的应用)701al(考点三　双曲线的几何性质)703712第八节抛物线al(考点一　抛物线的定义及应用)713al(考点二　抛物线的标准方程及性质)714al(考点三　直线与抛物线的综合问题)716724第九节曲线与方程725考点一　直接法求轨迹方程725考点二　定义法求轨迹方程726考点三代入法(相关点)求轨迹方程736第十节　解析几何常见突破口736考点一利用向量转化几何条件737考点二角平分线条件的转化739考点三弦长条件的转化741考点四面积条件的转化747第十一节　解析几何计算处理技巧748考点一回归定义，以逸待劳749考点二设而不求，金蝉脱壳751考点三巧设参数，变换主元753考点四数形结合，偷梁换柱754考点五妙借向量，无中生有756考点六巧用“根与系数的关系”763第十二节　解析几何综合3大考点763考点一　定点、定值问题767考点二　最值、范围问题772考点三　证明、探索性问题781第十章统计与统计案例781第一节随机抽样al(考点一　简单随机抽样)782al(考点二　系统抽样)783al(考点三　分层抽样)784790第二节用样本估计总体al(考点一　茎叶图)791al(考点二　频率分布直方图)792al(考点三　样本的数字特征)794804第三节变量间的相关关系与统计案例805考点一　回归分析al(考点二　独立性检验)809819第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布819第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理819考点一分类加法计数原理820考点二分步乘法计数原理827第二节排列与组合827考点一排列问题829考点二组合问题831考点三分组、分配问题832考点四排列、组合的综合问题838第三节二项式定理al(考点一　二项展开式中特定项或系数问题)838al(考点二　二项式系数的性质及各项系数和)841al(考点三　二项展开式的应用)843848第四节随机事件的概率850考点一随机事件的关系852考点三互斥事件、对立事件概率公式的应用860第五节古典概型与几何概型al(考点一　古典概型)861al(考点二　几何概型)862871第六节离散型随机变量及其分布列872考点一离散型随机变量的分布列的性质874考点二超几何分布875考点三求离散型随机变量的分布列882第七节n次独立重复试验及二项分布al(考点一　条件概率)883al(考点二　相互独立事件的概率)884al(考点三　独立重复试验与二项分布)886896第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布al(考点一　离散型随机变量的均值与方差)897al(考点二　二项分布的均值与方差)899al(考点三　均值与方差在决策中的应用)901al(考点四　正态分布)903914第十二章复数、算法、推理与证明914第一节数系的扩充与复数的引入al(考点一　复数的四则运算)915al(考点二　复数的有关概念)916al(考点三　复数的几何意义)918924第二节算法与程序框图al(考点一　顺序结构和条件结构)925al(考点二　循环结构)927al(考点三　基本算法语句)931941第三节合情推理与演绎推理al(考点一　归纳推理)942al(考点二　类比推理)944al(考点三　演绎推理)945946952第四节直接证明与间接证明al(考点一　综合法的应用)953al(考点二　分析法的应用)954961选修4－4坐标系与参数方程961第一节坐标系962考点一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换al(考点二　极坐标与直角坐标的互化)963al(考点三　曲线的极坐标方程的应用)965971第二节参数方程al(考点一　参数方程与普通方程的互化)972al(考点二　参数方程的应用)973al(考点三　极坐标、参数方程的综合应用)975982选修4－5不等式选讲982第一节绝对值不等式al(考点一　绝对值不等式的解法)983al(考点二　绝对值不等式性质的应用)985al(考点三　绝对值不等式的综合应用)985992第二节不等式的证明al(考点一　比较法证明不等式)992al(考点二　综合法证明不等式)993al(考点三　分析法证明不等式)994第一章集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为eq\a\vs4\al(∈)；不属于，记为eq\a\vs4\al(∉).(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.AB⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A⊆B，,A≠B.))既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.两集合相等：A＝B⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A⊆B，,A⊇B.))A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.考点一　集合的基本概念[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．3　　　　　　　　　　B．2C．1D．0(2)已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019的值为(　　)A．1B．0C．－1D．±1[解析]　(1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.(2)由已知得a≠0，则eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.[]　(1)B　(2)C[提醒]　集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选A　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C．0D．0或eq\f(9,8)解析：选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意．当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的值为0或eq\f(9,8).3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为.解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5<k≤6.答案：（5，6］考点二　集合间的基本关系[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则(　　)A．B⊆A　　　　　　　　　B．A＝BC．ABD．BA(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为(　　)A．2B．3C．4D．8(3)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．[解析]　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又B⊆A，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4，故选C.(3)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}．若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m<m.))所以0<m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．[答案]　(1)C　(2)C　(3)(－∞，1][变透练清]1.eq\a\vs4\al((变条件))若本例(2)中A不变，C＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆B⊆C的集合B的个数为(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选D　因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.eq\a\vs4\al((变条件))若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．解析：若A⊆B，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≤－1，,m≥3))得m≥3，∴m的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此时B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三　集合的基本运算考法(一)　集合的运算[典例]　(1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝(　　)A．{－1,1}　　　　　　　　B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)A．{x|－2≤x<4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．[答案]　(1)C　(2)D考法(二)　根据集合运算结果求参数[典例]　(1)已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是(　　)A．(－4,3)B．[－3,4]C．(－3,4)D．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝(　　)A．3B．2C．2或3D．3或1[解析]　(1)集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.(2)∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.[答案]　(1)B　(2)A[题组训练]1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}解析：选C　因为集合B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，而A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lgx<2}，则(∁RA)∩B＝(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100))D．∅解析：选A　由题意得A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，B＝(0,100)，则∁RA＝(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，所以(∁RA)∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)).3．(2019·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a≤x≤2a－1))))，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　)A．[1，＋∞)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D．(1，＋∞)解析：选A　因为A∩B≠∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≥1，2a－1≥\f(1,2)a，))解得a≥1.eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．(2019·福州质量检测)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)A．1　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选B　依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝(　　)A．{2,6}B．{3,6}C．{1,3,4,5}D．{1,2,4,6}解析：选A　因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(　　)A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}解析：选B　∵全集为R，B＝{x|x≥1}，∴∁RB＝{x|x＜1}．∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是(　　)A．M∩N＝MB．M∪(∁RN)＝MC．N∪(∁RM)＝RD．M∪N＝M解析：选D　由题意可得，N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，所以M∪N＝M.5．设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤2x<\r(2)))))，B＝{x|lnx≤0}，则A∩B为(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．[－1,0)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D．[－1,1]解析：选A　∵eq\f(1,2)≤2x<eq\r(2)，即2－1≤2x<2，∴－1≤x<eq\f(1,2)，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x<\f(1,2))))).∵lnx≤0，即lnx≤ln1，∴0<x≤1，∴B＝{x|0<x≤1}，∴A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2))))).6．(2019·郑州质量测试)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，2]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选D　由A∩B＝A，可得A⊆B，又因为A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.7．已知全集U＝A∪B中有m个元素，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB))中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(　　)A．mnB．m＋nC．n－mD．m－n解析：选D　因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UA))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∁UB))中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．8．定义集合的商集运算为eq\f(A,B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，m∈A，n∈B))))，已知集合A＝{2,4,6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)－1，k∈A))))，则集合eq\f(B,A)∪B中的元素个数为(　　)A．6B．7C．8D．9解析：选B　由题意知，B＝{0,1,2}，eq\f(B,A)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)))，则eq\f(B,A)∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)，2))，共有7个元素．9．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝________.解析：依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}10．已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}．答案：{x|－5≤x≤1}11．若集合A＝{(x，y)|y＝3x2－3x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则集合A∩B中的元素个数为________．解析：法一：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x2－3x＋1，,y＝x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(1,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))故A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，1，1))，所以A∩B中含有2个元素．法二：由集合的意义可知，A∩B表示曲线y＝3x2－3x＋1与直线y＝x的交点构成的集合．因为3x2－3x＋1＝x即3x2－4x＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A∩B中含有2个元素．答案：212．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__________．解析：由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，由于A⊆B，在数轴上标出集合A，B，如图所示，则a＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)；(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁UB＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁UB)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.故实数a的取值范围是(2,3)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.eq\x(一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.)　　　　　　　　　　　　　　　　2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一　四种命题及其真假判断[典例]　(2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是(　　)A．①②　　　　　　　　B．②③C．④D．①②③[解析]　①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案]　D[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D　命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q，则非p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．已知集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)，k∈Z))))，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)A．0B．1C．2D．4解析：选C　因为P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)，k∈Z))))，所以PQ，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二　充分、必要条件的判断[典例]　(1)(2019·湖北八校联考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的(　　)A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x∈R，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　(1)定义法当a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4时，a＋d＝b＋c，但此时a，b，c，d不成等差数列；而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”⇒“x3＜1”；由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))≥eq\f(1,2)，即“x3＜1”“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”．所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以非p：x＋y＝－2，非q：x＝－1且y＝－1，因为非q⇒非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[答案]　(1)B　(2)A　(3)A[提醒]　判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．[题组训练]1.eq\a\vs4\al([集合法])已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B　若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．2.eq\a\vs4\al([定义法])(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B　设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则eq\f(π,2)<θ<π，则cosθ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角&rdqu