初等数学研究第六章习题答案

初等数学研究第六章习题 第六章 习题六 1 解:按个位数分类，个位数是0，则十位数可从1,2,3,4,5,6,7,8,9,这九个数中的一个数来填， 1共有填法种，个位数是1，则十位数可从2,3,4,5,6,7,8,9这八个数中选一位来填，共有填p9 11法种，??????同理可得，当个位数是8时，则十位数只能填9，共有填法，因此符合pp81条件的两位数则有， 111111111(种) ppppppppp，，，，，，，，,12945，，，,123456789 2 解:按边长分类，要确定一个正方形必要选两条邻边，边长为1 的正方形，共有 211112ccn，,,1个;边长为2 的正方形，共有;边长为3 的正方形，共ccn，,个，，nn,,11nn 211112ccn，,,2个有;???????同理可得，当边长为n 时，共有; cc，,1个，，nn,,2211 12222故共有正方形个数为:。 1+2+ ????+1121nnnnn,，,，，个，，，，，，6 33 解:放球需要两步完成:第一步，从六个小球中任选3个放入必须放的盒子，放法有， p种6 3第二步，从剩下的5个盒子中选3个盒子放入余下的3个小球，放法有 p种5 33由乘法原理，符合题意的放法有: ppp,，,7200种65 4 解: 2法一:(排除法)从总的21本书中任取2本书的取法有c种，其中不符合条件的取法是从21 222相同国家的书中取2本，共有ccc，，种，故满足条件的取法有:975 2222cccc,，，,,,21067143(种) ，，21975 法二:(分类法) 11第一类 从中文书，英文书中各取1本，取法有cc，,63种 97 11第二类 从中文书，日文书中各取1本，取法有cc，,45种 95 11第三类 从英文书，日文书中各取1本，取法有cc，,35种 75 111111故总的取法有:cccccc，，，，，,143 (种) 979575 5 解: 321？,,,，21231m+6mmmmm236ppp,，(1) ，，，，，，mmm，1 m,0 2？,,,，，212316mmm ？,,,，,,2950,2150mmmm ，，，，，，，，，， 1 ？,,？,mmm5,()5舍，2 332？,，,,nnn322100(2) ？,,,nnn12210 p,210？,n7，，，，m 6 证明:(1) nppp,,nnn，1 ？,,1ppp121 2ppp,,232 3ppp,,343 nppp,,1nnn， ？，，，,,1231ppnpp231nn，(2) 2!123123nnnnnnn,，，，， ，，，，，，，，，， ,,135212462nn，， ，，，，，， n,,135212123nn，， ，，，，，， n,,135212!nn，， ，，，， 2!n，， ？,,13521n，，2!nn 7 解: 9!9!xx,2？6pp6 999!92!,,，xx，，，， 11？6 9!9!9192,,,，,，xxxx，，，，，，，， 6？1？,,10116xx ，，，，9192,，,，xx，，，， 2？,，xx211040 ？xx8,13()舍 又 xNx,,28且 ？,x2,3,4,5,6,7 8 解:能被25整除的特征是末两位数能被25整除，故满足条件的数可分为两类，一类是 2，另一类是末两位数是50. 其中末两位数是50的数有种，末两位数是25的数中，25p4 111千位数排列是从1,3,4这三个数中任选1个来排，百位数的排法有种，故共有个 ppp，333 211共有符合条件的四位数有个。 ppp，，,21433 19 解:要组成六位奇数，个位数只能从1，3，5这三个数中的任1个数来填，共有填法种，p3 1首位数码只能从除0外剩下的4个数码中任选1 个来填，共有填法种，剩下的四个数位p4 4可从剩下的4个数码中做全排列，共有填法种，由乘法原理，能组成满足条件的六位奇p4 114数共有个 pppp,，，,，，，，，,344321288344 410 解:(1)由2,3,4,5四个数码组成没有重复的四位数的个数有个，其中每个四位数的p4 2345，，，数字和都是，故所有这些数字的数字和为:，， 4p，，，，,，，，，,2345432114336 ，，4 3(2)每个数码做首位和剩下的3个数码搭配做四位数有个搭配方法，故所有四位数的和p3 3p23451101001000614111184111193324，，，，，，,，，,，,为: ，，，，3 11 解: (1)法一:排除法 98 没有限制的排法有p种，不符合条件的是a在前面和b在最后，其中a在前面的排法有p98 8种，b在最后的排法有p种。a在前面包括b在后面和b不在后面两种情形，b在后面包括8 a在前面和不在前面两种情形，因此a在前面b在后面的情形多算一次，故不符合条件的排 8798772pp,pppp,,,,25716374960种，因此符合条件的排法有: 种 法有:，，，，879877 22(2)a.b在中间7个数首排，有p种排法，其余7个人在7个位置排，有p种排法，故符77 22合条件的排法有:pp，,，,425040211680 77 2(3)从9个位置中任选两个位置使a在前b在后，选法有c种，其余7个人排7个位置，9 7277pcpp，,，,36181440排法有种，故符合条件 的排法有: 7977 1717pppp法二:a排在第一，b排法有，其余种，故此种排法有:种 8787 1717 a排在第二，b排法有，其余种，故此种排法有:种 pppp7777 1717 a排在第三，b排法有，其余种，故此种排法有:种 pppp6767 1717 a排在第八，b排法有，其余种，故此种排法有:种 pppp1717 7171717故符合条件的排法有:,，，，，，，，87654321p pppppp，，，，，7877717 7(种) ,,36181440p7 (4)从9各位置中选出相邻的5个位置作为一个整体，选法有5种在这固定的5个位置中 27a.b排在两头，排法有种，其他7个位置排法有种，故符合条件的排法有: pp27 27(种) 552504050400，，,，，,pp27 28(5)a.b在相邻位置的排法有(种) pp，28 27 a.b之间恰有1人的排法有(种) 7，，pp27 927277pppppp,，,,742211680故符合条件的排法有:(种) ，，927277 4412 解:(1) (个)，另解，把电报编码按大小顺序写出来:R,,101000010 0000,0001,0002，???，9999共可示成10000个汉字 76766 (2)RR,,,,，1010910 (个) 1010 13 解:满足条件可分为以下三类: 1第一类是万位数可从3，4，5中任选一个填，有p种填法，其余四个数位可从5个数码中3 4414选一个可重复的填，有R,5种填法，故共有填法:pR (种) 355 1第二类是万位数是2，千位数从4,5中选一个填，有p种填法，其余三个数位可从5个数中2 313任选3个数来重复的填，有R种填法，故共有pR，种填法 525 1第三类是万位数是2，千位数是3，百位数可从4,5中选一个来填，有p种填法，其余两个2 212RpR，数可从5个数码中任选2个数来重复填，有种填法，故共有种填法 525 432141312,，，，，，352525pRpRpR，，因此满足条件的总的填法有: 352525 22,，，，，535252,，，2575102,，,25872175(个) ，，，， 14 解:能被5整除的数的特征是个位数是0或5。 11.:个位数是0，千位数可从4,5,6,7这四个数中任选一个来填，有种填法，其余两位数p4 212可从剩下的8个数码中任选2个来填，有种填法，共有填法(种) ppp，848 12122:个位数是5，千位数有种其余数位的填法有种，共有填法(种) pppp，3838 1212因此满足条件的数字共有:(个) pppp，,3924838 1(2)法一 1:个位数是0，千位数可从4,5,，6,7这四个数中任选一个有种填法，其余两p4 212位数可从10个数码中选2个重复的排，有种填法，故有种填法 RpR10410 12 2:个位数是5，千位数有种填法，其余两位数的填法有种，共有填法pR41012种 pR，410 3:千位数是8，其余各位数上只能是0，即8000，有一种填法 因此满足条件的数共有: 1212 (个) pRpR，，,18014848 4000,8000法二 在内数字允许重复且能被5整除的数，恰成一个等差数列，其公差,, 8000400015,，,，nd,5，首次，末次.于是又 a,4000a,8000，，1n 解得， (个) n,801 15 解:从每一套书中取一本，这4套书没有顺序差别，所以是一个在6本不同的书籍中有 9!4重复的选取4本的组合问题，共有: (种) H,,12664!5! 法二:若把6本不同的书籍理解为盒子，4袋书理解为不可分辨的4个小球，一种盛球的方 4法对应一种选取的方法，所以一共有种不同的取法 H6 16 解:本题应分两种情况: (1)若采用有记名投票，从5名候选人选出一人的票的情况数等于从不同的5个元素中允 1515许重复选取15个元素，排成一排的排列数，因此选法有R,5(种) 5 (2)若采用无记名投票的方式时，选票的分布法等于从不同的 5个元素中允许重复的选取 15515个的重复组合数，因此选法为:Hc, (种) 520