狄拉克符号(Dirac)

狄拉克符号（Dirac） 1狄拉克符号 量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。 问：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。 1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间 任何力学量完全集的本征函数系 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数 作为该空间的一个态矢，有 （1） 即为态矢 在基矢 上的分量，态矢 在所有基矢 上的分量 构成了态矢在 这个象中的表示（矩阵） （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间 注意：（1）式中的 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是 的 表象 1.1.2 态空间中内积（标积）的定义 设态空间中两个任意态矢 与 在同一表象 中的分量表示各为 与 ，则两态矢内积的定义为 （3） 注意： 1.1.3狄拉克符号的引入 态空间中的 与 在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间 伴随空间 引入符号 ，称为右矢    [Ket矢，Bra矢（Bracket  括号  ）] 微观体系的一个量子态 用 表示， 的集合构成右矢空间， 在右矢空间中的分量表示可记为矩阵 （4） 约定：右矢空间的态矢 一律用字母 表示 力学量的本征态矢一律用量子数 ，或连续本征值 表示 引入符号 ，称为左矢  微观体系的一个量子态 也可用 表示，但在同一表象中 与 的分量互为共轭复数 （5） 的集合构成左矢空间 引入狄拉克符号后，任意两个态矢 的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和 （6） 这里     仍为抽象的本征矢 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱 力学量完全集的本征函数 具有离散的本征值 时，对应的本征矢 或 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ……      第n行  （7） （1）基矢具有正交归一性                  （8） （2）展开定理                          （9） 两边同时左乘 得    （10） 说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性  把 代入 中得， 所以                                  （11） 称为基矢的封闭性  ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱 当力学量本征值构成连续谱 时，对应的基矢记为 （1）正交归一性                        （12） （2）展开定理                        （13） （14） （3）封闭性                              （15） 注意： 只表示某力学量抽象的本征矢，例如 只表示本征值为 的力学量 的本征矢，而具体的基矢形式为： 表象中 ，动量表象中 ，同理        1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱 基矢为 ，态矢记为 或 ，用基矢展开 （16） 展开系数 构成 在 表象中的分量，也可写成 （17） 相应的左矢                                （18） （19） 1.3.2 连续谱  （20） 或                              （21） 1.3.3 注意： 只表示一个抽象的态矢，只有 为 表象的波函数； 为 表象的波函数 1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱 （1）算符作用在基矢上 （22） 算符矩阵元                            （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程） （24） 即有                              （25） 或        （26） 注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程， 是算符作用前、后的态矢在 表象中的分量， 也是具体表象中的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 上 （27） （28） （2）算符作用在态矢 上（算符方程） （29） 具体表象下                      （30） （31） 例如 即为 表象中方程 1.4.3 算符对左矢空间的作用 （1）算符对左矢空间的态矢从后向前作用，即 ； 的共轭式应该是 ，若考虑算符的厄米性   则有 （32） （2）由 可得 （33） 最后列出几个常用的公式 例题1 求证在动量表象中，薛定谔方程 （34）可变为微分—积分方程 式中 是动量表象中的波函数 解：因            （35） 利用   式（34）可变为 （36） 因          （37） 而  （38） 将（38）代入（37）得 （39） 将（39）与（35）代入（36）得 2 关于一维线性谐振子的讨论 2.1 坐标表象 一维线性谐振子 算符及其本征函数在坐标表象中为 （40） （41） 的本征值为                        （42） 由厄米多项式的递推公式可导出对于谐振子在运算中常用关系式 （43） （44） 2.2 能量表象 以 （或 ）为基矢，为 自身表象              （45） 对角矩阵    对角元素即为 的本征值    由（43）有 故   （46） 由（44）得    故           （47） 由（46）（47）写出 矩阵如下 2.3 动量表象 以 （或 ）为基矢， 2.3.1 在动量表象的矩阵元 （48） 实际上，动量表象中     直接可得上述结果。 2.3.2 在动量表象中的本征函数 式中     利用厄米多项式的母函数  构成            比较两边 的系数，得 根据厄米多项式的性质        得 最后得        （49） 2.4 占有数表象 2.4.1 引入新算符 （50） 可见 不是厄米算符（ ），二者的对易关系为[可由 ] （51） 继续阅读