赣州市2009年暑假初中数学奥赛教练员培训专题D教程(林)方程、不等式、圆

赣州市2009年暑假初中数学奥赛教练员培训专D教程(林)方程、不等式、圆 赣州市初中数学奥赛培训专题D教程 主讲:林望春老师 课题一:不等式与不等式组 【知识概要】: 不等式是数学的主要内容～也是学习数学不可缺少的工具之一～且应用十分广泛(本课题主要介绍解不等式的一些方法与技巧～以及不等式的一些应用( 1、解不等式主要是根据不等式的性质与整式恒等变形的有关知识、方法与技巧( 不等式性质补充:,应用时～注意条件:, ,1, abbcac,,,,,.(传递性) 11(2)当 ababab、同号(即时,,,,0),.ab nn,3,当 abbabab,,,,,,0,时， nn同时有 abaan,,,(1.是大于的自然数) 22,4,当axaxaaxa,,,,,,,,0时，, 当a,0,时 xa,的解集是空集( 22同样当时，或;axaxaxaxa,,,,,,,,0 当a,0,时 xa,的解集是全体实数( 2、不等式的简单应用:代数式大小的比较、含字母系数方程的解的讨论、求代 数式的最值～以及应用题的求解等等( 【典型例题】: 21x,例1、解不等式: ,1.x，1 思路点拨:解分式不等式时～一般化为整式不等式组。 214xx,,解法一:原不等式化为于是得到: ,,,10;0.即xx，，11 xx,,,,40,40,,,故原不等式的解集为: 解得或xx,,,14.xx,,,14.或或,,xx，,，,10;10;,, x,4解法二:不等式的解，是由的符号确定的.为确定的xx，,14与xx，,14与,0x，1 符号，可令得;由的实数点，依次将数轴从xx，,,,1040,与xx,,,14与x,,14与 小到大分成了三部分，在每一部分均可确定每一个式子的符号;这种方法叫着“零点区间讨 - 1 - 论法”; 如图，在数轴上标出点A、B，将数轴分成了三部分MA，AB,AN:若从左至右，取第 x,4x,4一部分(MA)和第三部分(BN)，有符号为正;若取第二部分(AB),有符号 x，1x，1 为正;故原不等式的解集取第一部分或第三部分，即为 xx,,,14.或 点评:这种“零点区间法”用于解不等式或确BAx定某种数式的符号～不仅简单实用～而且直MN -1 0 1 2 3 4 观形象,特别适用于解多因式的不等式. 2例2、解不等式 (1)(2)<0.xx,， ;先求解:原不等式变形为(2)(1)(1)<0xxx，，, 出各因式的零点，依次得如图将xxx,,,,,2,1,1; 这些零点依次标在数轴上，将数轴分成了四部分，从左到右取第一部分(MA)和第三部分(BC),其积为负;因而原不等式的解集是:(此(2)(1)(1)xxx，，,xx<21,,,或-1法也称作“数轴标根法”. 2例3、解关于未知数x的不等式 ()<2(2).axax,, 2解:原不等式变形为这是一个关于x的含字母系数的一元一次不等(2)<(4);axa,,, 式( 现对未知数x的系数(a-2)进行分类讨论: (1)当，即时，不等式的解集为 (2)>0a,xa<(2);，a>2 (1)当，即时，不等式为其解集为空集; (2)=0a,0<0,xa=2 (1)当，即时，不等式的解集为( (2)<0a,xa>(2)，a<2 例4、解绝对值不等式:(上海市竞赛题) xx,,，,5231. 思路点拨:解绝对值不等式的关键～是去掉绝对值符号,一般是根据绝对值的定义～分情况讨论。 33解:令，可以得以将实数数轴23050xx，,,,与xx,,,或，5x,,或为界，522分成三个区间，依次对原不等式讨论——去掉绝对值符号，得到下列三个不等式组: 33,,x,,,,,,x5,,,(?) (?) 22,, ,,,,，，,(5)(23)1;xx,,,，,(5)(23)1;xx,, x,5,,(?) ,(5)(23)1;xx,,，,, - 2 - 1;解(?)得;解(?)得 ( 解(?)得x<7,x>5,x<53 1综合得到原不等式的解集为:或( x>x<7,3 332例5、是正数，比较与的大小。 3()aab,ab、ab, 思路点拨:比较两个代数式的大小～一般运用实数的基本性质～即,1, abab,,,;,2,(求出两个代数式的差～再与零比较～就能判断出大小了. abab,,,,0 233222 解、求差: 3()()3()()()aababaababaabb,,,,,,,，， 222222=== ()[3()]abaaabb,,，，()(2)abaabb,,,()(2)abab,， 2?是正数，?只需对的符号进行分类讨论即可: (2)0;ab，,()ab,ab、 22233(1)当时，则，有; ()0,ab,,()(2)0abab,，,3()=()aabab,,ab= 22233(2)当时，则，有; ()0,ab,,()(2)0abab,，,3()>()aabab,,ab, 例6、为何值时,方程的解在2和10之间( a524xaaxx,,,, 24a,解、原方程变形为 当 (6)24.,,,axaax,,6时，6,a 24a,,2,,,24a,,6,a要使方程的解在2与10之间，应有 即解得210;,,,24a,6,a,,10;,6,a,46,,,a,16,综合得到:当时，原方程的解介于2和10之间( 4,,a16,aa,,6;或3,3, 【试题冲浪】: 1、已知则代数式的值等于( B )( bac,,,0,bbacaab,,,,，， A、 B、 C、 D、 cab,,.,,,abc.acb，,.abc，，.2、如果a,0,b,0,ab，,0,则下列各式中成立的是( D )( A、 B、 C、 D、abab,,,,,.,,,,,baab.,,,,,baba. abba,,,,,. 3、若a,0,,,,10,b则下列各式中成立的是( C )( 2222A、 B、 C、 D、 aabab,,.abaab,,.ababa,,.ababa,,. - 3 - x，2xx，，21 (2) 4、解不等式(组):(1),0;2113;,,,,21x,32 22) (2) 5、解不等式(组):(1xx，，,12.(6)(42)0.xxxx，,，,, 11,,226、(1)比较两个代数式的大小:; (1)(1)(1)xxxxxx，，，，，，和,,22,, xx12 (2)若比较分式的大小( ,,,,11,xx与1211，，xx12 7、求的值，使下列方程的解符合要求: m 41x,(1)的解为负; (2)的解x不大于 -1 ( (1)(2)1)()xxxxm，,,,，(,，m3x,1 1参考:1、B; 2、D; 3、C; 4、,1, (2) 5、(1),,,,255;x,,,2;x2 31原不等式的解集为:((2) xxx,,,,,5,32,6或-或,,,x;22 111,,22)6、(1 (1)(1)(1)0;xxxxxx，，，，，，,,-结论显然(,,222,, xx1112(2);=1-;,1-1111，，，，xxxx1122 xxxx()()11，,，111212 -=-,111111，，，，，,，xxxxxx()()122112 ()xx,12,,??且;) ,,,,11,xx()xx,,0()()10,10;，,，,xx,,0121212()()11，,，xx12 xx12?(7、,1,(2) ,,,,21;m01.,,m11，，xx12 课题二:一元二次不等式 【知识概要】: 22对于一元二次不等式， axbxcaxbxca，，,，，,,00(0)或其中假定可利用二次函数的图像与一元二次方程的根来求解,能因式分解时也可转化为 解一元一次不等式组再求解. fxfx()()(()()其中、都是整式)fxgx对于分式不等式,可化为,,00,或gxgx()() fxgx()(0,,)或)fxgx()(0,,求解,也可转化为不等式组来求解. - 4 - 12 10 8【典型例题】: y62例1、解不等式: xx,,,340. 4思路点拨:左边是可因式分解的二次三项式～得到一元二次方程 的两个实数根～结合二次函数的图像直观的得出原不等式的解集, 2也可分解因式之后转化为不等式组去求解. 2-3,x-4f，，x = xx解一:原不等式转化为 ? 一元二次方程 (1)(4)0.xx，,,-1O4-15-10-551015 2的两根是;?结合一元二次函数 xx,,,1,4xx,,,340-212 2-4的图像得到原不等式的解集为( yxx,,,34,,,14x -6它等价于下列 解二:原不等式转化为(1)(4)0.xx，,, 不等式组(1)、(2): -8xx,,,,40,40,,,;解不等式组(1)是空集，解不等式组(2)得:......(1)......(2)或,,-10xx，,，,10;10;,, ; ,,,14x 所以原不等式的解集为( ,,,14x 点评:利用一元二次函数图像解一元二次不等式,即图像法,较为直观简便,若采用转化为不等式组的方法来解～特别要注意转化的等价性( 22例2、已知有两个不相等的实数根;有两个相等xaxb+(6)60,，,,xaxb,，,,30 2的实数根;没有实数根;则的取值范围是( )((江苏xaxb+(4)50,，,,ab、 省竞赛题) A、 B、 C、 D、24,25.,,,,ab14,25.,,,,ab14,15.,,,,ab 24,15.,,,,ab 思路点拨:由根的判别式得到一个含有等式、不等式组成的混合组,求解过程中的等量代换以及代入消元法是关键～转化成不等式求解( 22,,ab,,,4(3)0,ab，,,4120, ,,22解:由题意得到 即 把(2)代入(1)aab,，,,12124;(6)4(6)0;,,,,aa,, ,,22aab,,，,8440.(4)(5)0.,,,,ab,, 和(3)分别得到两个关于未知数a的一元一次不等式，解出得且;即组合为a,2a,4 24;,,a 2由，得到，所以 故应选择A( ,,,，41212baa,,,,,2048b25.,,b 2例3、解关于x的不等式: axax,，，,(1)10. - 5 - 思路点拨:二次项系数为字母系数～要注意讨论,在二次三项式可分解是要尽力分解～减 少计算繁琐: ，原不等式变为:，则解集为 解:(1)当x,1;a=0,，,x10 1(2)当时，原不等式可化为; a,0(1)(1)0;()(1)0axxaxx,,,,,,即a 11若，就有，原不等式的解集为; a,101,,,,x1aa 11若，则有，原不等式的解集为; 01,,a01,,1,,xaa 若，原不等式解集为空集; a,1 11若，则有，原不等式的解集为( a,0,,01xx,,或1aa 1点评: 对于不等式的字母系数～假设为a～要格外关注符号的正负性～ a与a 1以及与0、1之间的大小关系( a、a 2222例4、已知实数满足且求t的取值范围((全国竞赛aabb，，,1,ab、tabab,,,(题) 思路点拨:由于两个等式可以求出的表达式～这样考虑从配方法入手～也应该思abab，, 考用根与系数关系构造方程去探索,这样就开阔了思维的空间. 2222解:将两式的左右相加,得出故21,abt,，aabb，，,1,ababt,,, 1，t ab,,2 t，3t，3222再由因而 到， t,,3,()ab，,,()()10,abaabbabab，,，，，,，,,22 tt，，312于是实数是关于x的方程为两根，所以??0;也即:ab、xx,，,022 tt，，3111，解得;即综合得到t的取值范围为. ,,,40t,,,,,,3t3223 例5、已知实数满足.(全国竞赛题) abc、、,abcabc，，,,2,4 (1) 求中最大者的最小值; abc、、 (2) 的最小值. abc++ 思路点拨:已知实数这是一个极好利用的条件:不妨假定实数中a最大～abc、、,abc、、 4就能计算出，去构造以为实数根的一元二次方程～通过??0bc、bcabc，,,,2,a - 6 - 来探求参数a的取值范围～并逐次解答( 中a最大，则 解:(1)不妨假定实数abaca,,,,,0;且abc、、 4?;?; abcabc，，,,2,4bcabc，,,,2,a 42?以为实数根的一元二次方程是， bc、xax,,，,(2)0a 42因此?=?0; (2)4,,，aa 322不等式两边同乘以a，即得到 aaaaa,，,,，,,44160,(4)(4)0;也即 解得 a,4( 当时，满足条件，故中最大者的最小值是4; abc,,,,4,1abc、、abc、、 (2)根据已知条件，只能一正两负;设则有 abc,,,0,0,0,abc、、 ，由(1)知道，故 abcabca++,,,,,22226;a,,a,4 当时，满足条件，且使得中的等号abc,,,,4,1abca++,,,226abc、、 成立; 故的最小值是6. abc++ 点评:本题成功的使用了构造法～解题者能成为一个好的:建筑师::一方面应当运用手头已有的:建筑材料:――即充分运用已知的条件信息,另一方面～也要向着自己要构建的:建筑物:方向努力――即不要忘记了数学命题需要符合条件的任务与要求(其实质就是构建一座从已知到达未知的:桥梁:( 例6、设m，n为正整数，且m ?2，如果对于一切实数t ，二次函数 2的图像与x轴的交点间的距离不小于，求m，n的值((20072tn，yxmtxmt,，,,(3)3 年全国联赛题) 思路点拨:从??0入手～发现?是一个完全平方式～则表明对应的一元二次方程的解可以求出并加以表达,利用函数图像与x轴交点的横坐标之差的绝对值不小于2tn，～可建立不等式～从不等式的解集对于任意的实数t均成立的特征～利用判别式法求出正整数m～n的值. 2解: 二次函数所对应的二次方程 (在m ?2，对于一切实数txmtxmt，,,,(3)30 时)， 22其根的判别式?=;所以??0( (3)43(3),,，,，mtmtmt是一个完全平方式 因而与x轴交点的横坐标xxmt,,,3，;故二次函数图像与x轴的交点间距离为12 - 7 - ， mt，3 22由题设得?，也即mt，32tn，,(3)(2)mttn，,， 222， (4)(64)90mtmntn,，,，,, 2此不等式在m ?2，即时，对于一切实数t恒成立，则有:(4)0m,, 2m,2,,m,,40,m,2,,,, 即 得 且m，n为正整,,,2222mn,6;(6)0;mn,,,,,,,,,(64)4(4)(9)0;mnmn,,,, 数; mnmn,,,,32;6,1，或(?符合条件的正整数m、n是: 点评:本题在求二次函数图像与x轴交点间距离时～也可由 2 xxxx,,,()2121 bc2～结合韦达定理,得到: ,，,,()4xxxx();xxxx，,,,,12122112aa 222bcbcbacbac444,,,22(,在bac,,40xx,,,,,,,,,()42122aaaaaaa 时～也叫着抛物线的交点弦, 【试题冲浪】: 1、如果那么成立的不等式是( ). ab,,0, 11aaA、 B、 C、 D、 ,1.,1.ab,1.,.bbab 2、若则方程的解集是 .(武汉市竞赛题) ab,,0,0,xaxbab,，,,, 90,xa,,,3、如果不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的的有序数对 ab,,80xb,,, (a、b)共有( ).(全国初中数学竞赛题) A、 B、 C、 D、 64.个72.个17.个81.个 24、若关于的方程有两个正数根，则得取值范围xxmxm，，，，,(2)50m是 ( 225、均为非零负实数，且已知，求证: xyz、、xyzxyzxyz，，,,,x,3. 226、已知求的最小值((2004年全国联赛abcbacbac,,,,,,0,0,0,42,且bac,4题) - 8 - 222的一元二次方程无相异两实根，则满7、已知关于xxabxab，，，，，，,2(23)4990 足条件的有序正整数组(a、b)有多少组,(2006年全国联赛题) 参考答案:1、D; 2、; 3、C; 4、 5、由已知得,,,,54;mbxa,, 3， yzxyzxxx，,,,, 2232且;建立以为实数根的一元二次方程得:;其根的判yz、yzx,TxxTx,,，,()0 2222222别式为?=，为非零负实数，满足??0的条件xxxxxx(1)4(1)(3)0,,,，,,x22为 6、7、两题请查阅《教程解题手册》( x,,30;即x,3. 课题三:一元二次方程根判别式与根的分布 【知识概要】: 2一、一元二次方程根的判别式:对于一元二次方程～axbxca，，,,0(0) 2其根的判别式为～是方程的两个根～则 xx,,,,bac412 2,,,bbac4方程有两个不相等的实数根: ,,,0x,;，122a b方程有两个相等的实数根: xx,,,;,,,0122a 方程没有实数根. ,,,0 2二、设一元二次方程～若有～则方程必有的两个axbxca，，,,0(0),,0 bc根～且满足,韦达定理, xx,xxxx，,,,,,;121212aa b,且两根为负,0,;,c,a由此得:当时～若两根同号 ,,0,,0,ab,且两根为正(,0,,a, b,且负根的绝对值较大,0,;,c,a若两根异号 ,0,,ab,且正根的绝对值较大(,0,,a, 三、其它 21、当时～方程必有实数根, axbxca，，,,0(0)ac,0 22、若则方程必有一根x,1;同理若axbxca，，,,0(0)abc，，,0， - 9 - abc,，,0， 2则方程必有一根 x,,1;axbxca，，,,0(0) 【典型例题】: 242例1、若方程的两根为也是的根，则 ( ,,、xpxq,，,0pq，,xx,，,310 思路点拨:由原方程可以判断两根的情况～利用与的数值～熟悉针对于 ,,、,,+,,,223344、、及等的恒等变形～间接地求出( ,,+,,+,,+,,,pq、 2解:由原方程知，所以是两个不相等的实数根，即,,、,,,,，，,,(3)41150 ;且依据韦达定理得:;变形得:,,,,,,,+,,3,1 2224244;对于方程依根据根的定义,,,,,,+,，,,,()27，xpxq,，,0,,+,47 4242得: ,,,，,pq0(1),,,,，,pq0(2); 222222变形(1)-(2)得:～其中因而 (,,,,,，,,)()0p(,,,,)0,p,7; 4422(1)+(2)得:,求的,从而pq，,8( q,1(,,,,，,，，,)()20pq 22例2、为给定的有理数，为何值时，方程的根总mxmxmmk，,，,，,4(1)3240k 是有理数根, 22解:对于原方程来说，其根的判别式: xmxmmk，,，,，,4(1)3240 22,,,,,，[4(1)]4(324)mmmk 22 2644),,,，(mmk 2要使为完全平方数，故此二次三项式的判别式?′=0,即得到: (mmk,,，644) 52, ,,,,,,，,？,,(6)4(4)20160, ;kkk4 5当时，原方程的根式有理数根( k,,4 2点评:对于二次方程～要使方程有abc、、为有理数时，axbxca，，,,0(0) ,,,有理数根～则应使是完全平方数～即所得的的二次三项式的判别式′=0 即可( 2xa，例3、已知方程(其中为实数)有两个绝对值相等但符号相反的实数根，,xab、xb， 求的取值范围( ab、 思路点拨:这是一个可化为一元二次方程的分式方程～需注意转化的的条件,依据根与系 - 10 - 数的关系来对特殊实数根作出条件限制～从而寻求答案( 2xa，2的两个实数根为，由题意有:; 解:设方程xx,xxxxx，,,,,0，,x1212120xb， 2原方程可化为: xbxaxb，,,,，,(2)0, (0) 2由韦达定理:; xxbxxax，,,,,,,,,,(2)0，12120 2? bbaxa,,,,,202; ,0;，即则0 又? xbbxa，,,,,0,2; 24;则，即有 ?的取值范围是 aab,,,0,4,2.且ab、 近几年，国内外数学竞赛常常出现“含有参数的且研究根的性质的一元二次方程的问 题”，如:奇偶根、素数根、整数根、公共根等的判断以及根的大小比较等.解决这类问题需 要较强的综合分析问题的能力. 2例4、求满足下列条件的所有的值:使得关于方程的xkxkxk，，，,,(1)(1)0k 根都是整数.(江苏省竞赛题) 思路点拨:方程的二次项含有参数,要注意分类讨论; k 解:当时，所给的方程为一次方程 xx,,,10,1有整数根;k,0 当时，所给的方程为二次方程，设其两个整数根为 xx，;k,012 k，11,xx，,,,,,1,(1)12,,kk则有: 由(1)-(2)得: ()2,xxxx，,,,,,1212k,11,xx,,,1;(2)12,kk, xxxx,,,,,,,,,,11,11,13,13,,,,,1111;?均得()xx,,,,，1)(1313,,,,12xxxx,,,,,,,,,,13;13;11;11;2222,,,, 可. 11? 代入 xxxx，,，,,62，或;,,,,,,,1612; ，或1212kk 122 又? ,,，,,,，，,(1)4(1)3610;kkkkk ,1;解得或kk,,,7 1当时,都有. kk,,,,1和,,07 1综上所说:满足要求的的值有， k,0kkk,,,,1.或7 点评:本题从韦达定理入手～寻求参数间的关系～或者确定参数范围～再根 据不定方程的整数解～求出所有的参数值( 223例5、求使得关于x方程有整数根的所有整数a. (1)(1)(26)0axaxa，,，，,, - 11 - ,要注意分类讨论,本题依然从韦达定理入手～寻求参思路点拨:方程的二次项含有参数k 数间的关系～所采用的方法是紧扣整数根与整数参数这两个条件,包含运用数的整除的xa 知识. 解: 当时，所给的方程为一次方程 ,,,,,280,4xx此时，有整数根;a,,1 2a，12当时，设方程其两个整数根为 则 xx，;a,,1xxa，,,,，11212aa，，11 22思考也要是整数,从数的整除性出发, 得 a,,,0,1,2,3时是整数，, a，a，12 以下分别检验: 则也是整数xx，;12 2当时，原方程为 xxxx,,,,,60,2解得有整数根，=3;a,012 2当时，原方程为 2240,12xxxx,,,,,解得有整数根，=;a,112 2当时，原方程为 a,,2,,,,xx5220,方程没有实数根; 2当时，原方程为 a,,3,,,,210600,xx方程没有实数根; 综合得到: 时，方程有整数根 当，，a,,101x,,,,4,2312、，、( 2例6、方程有一根不小于 -1，另一根不大于1.(江苏省竞赛题) xmxm，,，,,(21)(6)0 (1) 求的取值范围; m (2) 求方程两根平方和得最大值与最小值 22解: 其根的判别式:必有两个相异实数,,,,,,,，,(21)4(6)41)210,mmm( 根; 2(1)设二次函数，则有: yxmxm,，,，,(21)(6) fm(1)0,4,,,,,,, ,,,,,42.m,,fm(1)0;2;,,,, 33222(2)设方程两个实数根为由韦达定理求得; xx，,xxm，,,，4()10121244 333222设立新函数,函数T的对称轴为 m,;xxTm，,,,，4()1012444 对于允许的取值范围而言，分跨其对称轴两侧， m,,,42m 计算T(4)101,,获得最大值，计算T(2)17,，获得最小值. 点评:方程与函数有着紧密的联系～函数与坐标轴的交点个数、位置常 与方程的解得个数、根的分布有着直观的呈现～从而建立不等式或新的参数 关系等式(应该在体验与思考中灵活运用( - 12 - 【试题冲浪】: 21、?ABC的一边长为5，另外两边长恰是则的取值范围2120xxm,，,的两根;m ( 是 2222、已知均为整数,且满足,.则以为根的一abc,,abcb，,,abc，，，3abbc，，32 元二 次方程是( )( 222(A) (B) (C) xx,，,320xx，,,280xx,,,450 2 (D)xx,,,230 332223、方程的两根为,且,则有序实数组xx,xxxxxx，,，,，,xaxb，，,012121212 共 (,)ab 有 个. 24、已知实数、、z满足及，求的值( x，y,4x，2y，3zxyxy,z，4 25、试求出所有这样的正整数使得关于的二次方程至少axaxa，,，,,2(21)4(3)0ax 有一个整数根. 22的图像与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧, 6、函数y=x+(2k-1)x+k 若是，请说明理由;若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围, 11 参考答案:,、;2、 ,,m182 5、 ,、解:以为根的二次方程x,y 22，5、 t,4t，z，4,0 22其中 ,,16,4(z，4),,4z,0 所以 ，代入求得 x,y,2z,0 则 x，2y，3z,6 6、解:不一定;例如: 当k=0时，函数的图像与x轴的交点为 (0，0) 和(1，0)，不都在直线x=1的 右侧; 设函数与x轴的两个交点的横坐标为x，x，12 2 则x+x= -(2k-1)，x?x=k1212 当且仅当满足如下条件: ?,0, ,()(),x-1，x-20 时， ,12 ,()),x-1(x-2012, - 13 - 抛物线与x轴的两交点都在直线x=1的右侧， 1,k,,224,(2k-1),4k,0,1,,-2k-1,0解之k,- 由,,2,,2k，2k,0,,或,k-2k0, ,, ?当k,-2时，抛物线与x轴的两个交点在直线x=1的右侧( 特殊方程的求解 【知识概要】: 一、解方程的基本思想:1、化无理方程为有理方程,2、化分式方程为整式方程,3、化高次方程为一次或二次方程,4、化多元方程为一元方程,总之～最后转化为一元一次或一元二次方程求解. 二、解方程的基本方法: 整式方程:一般采用消元,加减消元、代入消元、因式分解消元、换元消元等,、降次,换元降次、因式分解降次、辅助式降次等,等方法, 分式方程:一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法, 无理方程:一般采用两边乘方、根式定义或性质、换元、构造、三角函数等方法, 解各种类型方程在一般情况下～没有固定的模式～需要根据各题的自身的特点～灵活运用不同的方法完成解题任务,还需特别注意检验～以防增根和失根,在方程变形过程中～可能扩大或缩小了未知数原有的取值范围,( 【典型例题】 2例,、解关于x的方程: (2)(2)(2)0cabxabcxbca，,，，,，，,, 思路点拨:含字母系数的方程要逐项对字母系数进行讨论, 解:(1)当时， (2)(2)0cababc，,,，,,(即:)abc,, 2原方程变化为;所以此时方程的根x为任意实数; 0000xx，，, (2)当时，原方程可化为(2)0(2)0cababc，,,，,,，且 (2)(2)0abcxbca，,，，,,， bca，,2所以此时方程的根为; x,abc，,2 (3)当时，原方程是一元二次方程，但各项系数之和等于零，则必有一个(2)0cab，,, bca，,2根为从而可求得另一根为((此时它的求解方法用韦达定理更简便) x,1;x,1cab，,2 2例2、解方程: (67)(34)(1)6.xxx，，，, 思路点拨:解高次整式方程～主要方法是通过因式分解或换元法来达到“降次”的目的. 2解:原方程等价于也可写成: (67)(68)(66)612.xxx，，，,， 22 (368449)(368448)72.xxxx，，，，, 2解法一:令，则tt(1)720，,,可解; txx,，3684 - 14 - 12解法二:设，则可得 yyy(1)(1)72,，,,yxxxx,，，，，，,，[(67)(68)(66)](67)3 2522还原得 解之得yy,,,98或;xx,,,,，.1233 432例3、解方程: 2316320.xxxx，,，，, 1122解:?可用去除方程的各项，得:整理为: x,0,2;xxx，,，,，,,3163202xx 11112222令得 2(23200;tt，,,xx，，，,,)3()160;txxt,，，,,,()2;则22xxxx 5解之得:代入还原得原方程的四个解:tt,,,4,;122 1 xxxx,,，,,,,,23,23;2,.12312 点评:此方程与首末两项等距离的项的系数相等～则称为“倒数方程”～此类方程有 1以下性质:1、倒数方程没有的根,2、若是方程的根～则也是方程的根, xm,x,0x,m 4322例4、解方程: xxaxabxaaa,,,，，，，,,,102(11)2(5)20.(9)其中为常数a，思路点拨:这是一个关于的四次方程且系数中含有字母～显然直接求解很困难,“反客为主” 将方程看成是以的为未知数,暂时作为参数,的二次方程～这样就会容易多了: ax 2222解:原方程等价于 axxaxxxx,,,，,,,,2(51)(6)(42)0. 22解之得:再以为未知数解得:axxaxx,,,,,6,42.xxaxa,,，,,，39,26. 1,23,4 例5、解绝对值方程:的实数解( xx，，,,1224 思路点拨:解绝对值方程～一般情况下是脱去绝对值～一般方法是:1、找零点,2、划区 ABx间, M -1 0 1 2 3 N3、脱去绝对值,转化成为一般方程来求解. 解:令 xxxx，,,,,,,102012及得零点及，; 分三个区间: xxx,,,,,1, 22-1，; 求解:(1)当时， x,,1 (2)当时， ,,,12x (3) 当时， x,2 综合得:原方程的实数解为: 2x例6、关于的方程仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围是( )( xa,ax,1 (A) (B) (C) (D)(2006年全国初中数学竞赛a,0a,424,,a04,,a 题) 解:当时，方程没有实数解;当时，仅有一个实数解; a,0a,0x,0 2x,,a当时，原方程变为，整理为:a,0x,1 - 15 - 22 xaxaxaxa,，,，,,0(1),0(2).或 2?方程(2)的(已知的)，?原方程一定有两个不同的实数根; ,,,aa+40a,02 2推断方程(1)必须没有实数根，要求，解得;故选择(D). ,,,aa-4004,,a1 【试题冲浪】 2,、求解方程所有根的和( xx,,,,2140 22n，2、满足的整数n的值是 ( ()nn,,,11 223、求的值，使得两个一元二次方程与有相同的根，并xxk，，,,(2)0xkx，,,10k 求解这两个方程的所有根( 2224、解方程 xxxxx,，,，，,,()()323322. 225(关于x，y的方程的整数解(x，y)的组数为( )( xxyy，，,229 (A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组 6、若关于x的方程xa,,,21有三个整数解，则a的值是多少,并求出这三个整数解. 参考答案: 1、分别求出适合原方程的的两个根得: 2、 n,,,2,1,0,2.xx,,,,16,3.12 ,，，15153、当时，两方程相同，有两个相同的根当时，前k,1k,0xx,,,,;1222 ,,一方程的根后一方程的两根为;公共根为 xx,,1,1;xx,,,2,1x,1.1212 224、令，则原方程变形为:，再利用因式分解，解yxx,，,()32xyy,，,()32xx,,,,,,13,22.得 1,23,4 225、解:可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为( xyxy，，,,(229)0x 由于该方程有整数根，则判别式,?，且是完全平方数( 0 1162222由?，解得 ?(于是 y,,,,,,，yyy4(229)71160,16.577 20 1 4 9 16 y 116 109 88 53 4 , 2,,4显然，只有时，是完全平方数，符合要求( y,16 - 16 - 2当时，原方程为，此时; y,4xx,,,,1,3xx，，,43012 2当y,,4时，原方程为，此时( xx,,1,3xx,，,43034 所以，原方程的整数解为 x,1,x,,1,x,,3,x,3,,,,,3124 【答】C( ,,,,y,4;y,4;y,,4.y,,4;,1,,234, 6、若原方程无解;所以;由定义可知，再分类讨论: a,0,xa,,,,21a,1 (1)若(2)若;综合对比知道: 此时原方程有a,1,时a,1,x,,4,0,201,,,a时 三个整数解( 和圆有关的问题 【知识概要】: 圆是平面几何的一个重要内容～圆和直线型图形可以组成一些多变的几何问题:如直线与圆的位置关系、多边形与圆的组合关系、圆与圆的组合关系等～其证明与计算的方法也是很灵活的～在许多的竞赛题中常见～通过例题来介绍一些技巧和方法(还有一些在圆中的专门定理～还需老师们今后去研究理解( 【典型例题】 例1、如图，?,的直径AB与弦PQ的延长线交于圆外一点M，且?AMP=20?，?PAQ=40?, 求?AQP的度数.P思路点拨:由于点P在圆上,联想直径考虑构造半圆上的 Q圆周角. 解:设?AQP=α,再不妨设?QPB=?QAB=x,利用代数方法MA较容易列出一系列等式，求解?AQP=35?. OB RS例2、如图，ABCD是?,的内接正方形，PQRS是半圆的 DC内接正方形，那么SS:, ( 正方形正方形PQRSABCD 解:设正方形PQRS 的边长为a, ?,半径r，则 POQa422222222; OPPSOSarar，,,，,,,()25 42222B; SarSrr,,,,,A,(2)2正方形正方形PQRSABCD5 则( SS:2:5,正方形正方形PQRSABCD - 17 - 例3、如图，在?ABC中,AD是?BAC的角平分线, 分别以BD、CD为半径作?B、?C， A2两园与直线AD交于E、F，求证: ADAEAF,, 12AEAD2思路点拨:; ADAEAF,,,,FADAF 如何证明:?ADB??AFC, B 如何证明:?ABE??ACD, DC证明: E 例4(如图所示，一个半径为的圆过一个半径为2的圆的圆心， 2? ? 则图中阴影部分的面积为 ( (第4题) 4、解:如图，两圆的公共弦恰为小圆的直径，故阴影部分面积为 半个小圆的面积减去大圆的一个弓形(所含圆心角为90º)的面积， ? ? 111222( ,,,,,,,(2)(22)2242 (第4题) 例5、?ABC中，AB,7，BC,8，CA,9，过?ABC的内切圆圆心I 作DE?BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为 。 A 解:如图，设?ABC的三边长为， abc,, 内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则 ha 11h a， I ahSabcr,,，，()aABC,D E 22 r ra所以 ， ,B C habc，，a(第9题答案图) hr,DEa因为?ADE??ABC，所以它们对应线段成比例，因此 ,,hBCa hr,raabc()，a所以DE, ,,,,,,aaa(1)(1)hhabcabc，，，，aa 8(79)16，，16A 故DE,( ,答, ,E 38796，， O 【试题冲浪】 B 1. 如图，点A，B，C，D，E均在?O上，?A=30?，?O=48?， D C 则?E= ?. 1题 - 18 - 1. 连结BO，则?BOC = 2?A =60?， 111??E=?BOD=(?BOC+?COD)= ×(60?+48?)=54?. 222 2( 如图，?O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45?， 22若=8，则AB=________( PE，PF 2(作E关于AB的对称点G，则PG=PE，PG?PE， 22222.但FG所对 PE，PF,PG，PF,FG,8,FG,22 的圆周角为45?，所以FG所对的圆心角为90?，圆的半径为2( AD3(如图，在矩形ABCD中，AB,3，BC,2，以BC为直径在矩形内 作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE,( D )( sin， 62110A.. B. . C. . D. . E33103 4、如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和 BCDEFG都是正方形，其中C、D、E在AB上，F、N在 半圆上(若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形 DEFG的面积之和是( ) AB2550 DC30,,50,2, 4、解答:A 5、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB, a ,1，以AB为一边在圆O内作正?ABC，点D为圆O AB,上不同于点A的一点，且DB,，DC的延长线 a 交圆O于点E，则AE的长为( )。 O E C 53A、 B、1 C、 D、 aaD 22 5、解:如图，连接OE，OA，OB，设?D,，则 aA B (第5题答案图) ?ECA,120?,,?EAC a 11又因为?ABO, ，,:，:,,:,ABDaa(601802)12022 所以 ?ACE??ABO，于是AE,OA,1(,答,B BF6、如图,BC是半圆O的直径,EF?BC于点F，=5，又AB=8，AE=2，则AD的长为( B ). FCA 1，33DEA.1+ B. C. D. 1+ 3222 7(如图，O为圆心，若已知圆心角?AOC = x?， BFC则?CBD为 ( C )( - 19 - 11 (A)180?– x? (B)90?– x? (C) x? (D)90?– x? 22 解:同样构造一个动态的圆内接四边形MABC，显然 1x:( ?CBD=?M=，,AOC22 - 20 -