狄拉克符号(Dirac)狄拉克符号(Dirac)
1狄拉克符号
量子体系状态的描述,前述波动力学和矩阵力学两种方法,其共同特点是:与体系有关的所有信息都有波函数给出;极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合,而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题:能否不从单一角度描述体系,而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念?狄拉克从数学理论方面,构造了一个抽象的、一般矢量--态矢,并引进了一套“狄拉克符号”,简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入
1.1.1 态空间
任何力学量完全集的本征函数系
作为基矢构成希...
狄拉克符号(Dirac)
1狄拉克符号
量子体系状态的描述,前述波动力学和矩阵力学两种方法,其共同特点是:与体系有关的所有信息都有波函数给出;极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合,而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问
:能否不从单一角度描述体系,而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念?狄拉克从数学理论方面,构造了一个抽象的、一般矢量--态矢,并引进了一套“狄拉克符号”,简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入
1.1.1 态空间
任何力学量完全集的本征函数系
作为基矢构成希尔伯特空间(以离散谱为例),微观体系的状态波函数
作为该空间的一个态矢,有
(1)
即为态矢
在基矢
上的分量,态矢
在所有基矢
上的分量
构成了态矢在
这个表象中的表示(矩阵)
(2)
微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应,故称该空间为态空间
注意:(1)式中的
只是表示某力学量的本征态,而抛开其具体表象;(2)式的右方是
的
表象
1.1.2 态空间中内积(标积)的定义
设态空间中两个任意态矢
与
在同一表象
中的分量表示各为
与
,则两态矢内积的定义为
(3)
注意:
1.1.3狄拉克符号的引入
态空间中的
与
在形式上具有明显的不对称性,狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间
伴随空间
引入符号
,称为右矢 [Ket矢,Bra矢(Bracket 括号
)]
微观体系的一个量子态
用
表示,
的集合构成右矢空间,
在右矢空间中的分量表示可记为矩阵
(4)
约定:右矢空间的态矢
一律用字母
表示
力学量的本征态矢一律用量子数
,或连续本征值
表示
引入符号
,称为左矢 微观体系的一个量子态
也可用
表示,但在同一表象中
与
的分量互为共轭复数
(5)
的集合构成左矢空间
引入狄拉克符号后,任意两个态矢
的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和
(6)
这里
仍为抽象的本征矢
1.2 基矢的狄拉克符号表示
1.2.1 离散谱
力学量完全集的本征函数
具有离散的本征值
时,对应的本征矢
或
等,构成正交归一化的完全系,可以作为矢量空间的基矢,作为基矢可表示为
……
第n行 (7)
(1)基矢具有正交归一性
(8)
(2)展开定理
(9)
两边同时左乘
得
(10)
说明展开系数是态矢在基矢上的分量
(3)封闭性 把
代入
中得,
所以
(11)
称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式
1.2.2 连续谱
当力学量本征值构成连续谱
时,对应的基矢记为
(1)正交归一性
(12)
(2)展开定理
(13)
(14)
(3)封闭性
(15)
注意:
只表示某力学量抽象的本征矢,例如
只表示本征值为
的力学量
的本征矢,而具体的基矢形式为:
表象中
,动量表象中
,同理
1.3 态矢在基矢下的形式
1.3.1 离散谱
基矢为
,态矢记为
或
,用基矢展开
(16)
展开系数
构成
在
表象中的分量,也可写成
(17)
相应的左矢
(18)
(19)
1.3.2 连续谱
(20)
或
(21)
1.3.3 注意:
只表示一个抽象的态矢,只有
为
表象的波函数;
为
表象的波函数
1.4 线性厄米算符的作用
1.4.1 离散谱
(1)算符作用在基矢上
(22)
算符矩阵元
(23)
(2)算符作用在态矢上(算符方程)
(24)
即有
(25)
或
(26)
注意:(24)式是抽象的算符方程,(25),(26)式是具体表象中的算符方程,
是算符作用前、后的态矢在
表象中的分量,
也是具体表象中的矩阵元。
1.4.2 连续谱
(1)算符作用在基矢
上
(27)
(28)
(2)算符作用在态矢
上(算符方程)
(29)
具体表象下
(30)
(31)
例如
即为
表象中方程
1.4.3 算符对左矢空间的作用
(1)算符对左矢空间的态矢从后向前作用,即
;
的共轭式应该是
,若考虑算符的厄米性
则有
(32)
(2)由
可得
(33)
最后列出几个常用的公式
例题1 求证在动量表象中,薛定谔方程
(34)可变为微分—积分方程
式中
是动量表象中的波函数
解:因
(35)
利用
式(34)可变为
(36)
因
(37)
而
(38)
将(38)代入(37)得
(39)
将(39)与(35)代入(36)得
2 关于一维线性谐振子的讨论
2.1 坐标表象
一维线性谐振子
算符及其本征函数在坐标表象中为
(40)
(41)
的本征值为
(42)
由厄米多项式的递推公式可导出对于谐振子在运算中常用关系式
(43)
(44)
2.2 能量表象
以
(或
)为基矢,为
自身表象
(45)
对角矩阵 对角元素即为
的本征值 由(43)有
故
(46)
由(44)得
故
(47)
由(46)(47)写出
矩阵如下
2.3 动量表象
以
(或
)为基矢,
2.3.1
在动量表象的矩阵元
(48)
实际上,动量表象中
直接可得上述结果。
2.3.2
在动量表象中的本征函数
式中
利用厄米多项式的母函数
构成
比较两边
的系数,得
根据厄米多项式的性质
得
最后得
(49)
2.4 占有数表象
2.4.1 引入新算符
(50)
可见
不是厄米算符(
),二者的对易关系为[可由
]
(51)
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