全连续线性算子（3课时）（可编辑）

全连续线性算子（3课时）（可编辑） 全连续线性算子(3课时) ?4.3全连续线性算子(3课时) 教学内容与要求:理解和掌握全连续线性算子的定义和基本性质. 教学重点和难点:1、理解全连续线性算子的定义; 2、理解和掌握全连续线性算子的基本性质. 教学内容: Def 4.3.1: 设为赋范线性空间, 是线性算子, 若将中任一有界集映为中 列紧集, 则称为全连续线性算子. 例4.3.1 设,定义算子 , 为全连续线性算子. : 设是有界的, 即有. 又因为, 所以有. 因此 即为有界集. 另一方面, 由于是二元连续函数 , 所以 时, 有 因此对, 有 即 为中的等度连续集所以 为中的列紧集. 即 为全连续线性算子. 注1. 全连续线性算子的基本性质: 全连续线性算子必是连续的. 为全连续线性算子将中的闭球映为中的列紧集. Th4.3.2 设是全连续线性算子, 则是全连续线性算子. 证明: 1 为证明是全连续线性算子,只需证中任意有界集, 是中的列紧集. 在中任取一点列 由的全连续性知, 列紧, 从而有收敛子列. 又由的全连续性知, 列紧, 从而有收敛子列, 显然由为收敛点列知亦为收敛点列. 所以是的收敛点列. 因此列紧即是全连续线性算子. 同理可证也是全连续线性算子. Th4.3.3 设是赋范线性空间, 为Banach空间, 若,,是全连续线性算子, 且. 则为全连续性算子. 证明: 只需证中任一点列在之下的像为中的列紧集.可用对角线法在中取一收敛点列. 全连续收敛; 全连续收敛; „„全连续收敛; „„ 选取序列, , 都有收敛. 所以 0, ,. 设. 因为, 所以 0, ,. 因此 + . 又因为为完备的 , 所以为收敛列 注2:上述定理说明, 当为Banach空间时,全连续线性算子全体构成有界线性算子空间BX,Y的完备子空间. Th4.3.4设都是赋范线性空间, ,,若,中有一个是全连续线性算子,则 全连续线性算子. Th4.3.5设都是赋范线性空间,全连续线性算子, 为可分的. 证明: ,令则由为中的有界集及的全连续性知,为中的列紧集,因为列紧集必为可分集,所以为可分的,从而为可分的(补充:习与作业) 例1:设都是赋范线性空间,,若为有限的为全连续线性算子. 证明: 由于为有限的,不妨设 设A为中的任一有界集 ,则无穷点列为中的点列. 由于为有限的,所以 至少有一个取值不妨设为无穷次重复,把这个值对应的原像点记为,即,显然收敛. 即全连续线性算子 例2 (P149, 5) 证明过程可仿照Th4.2.3. ?4.4 Hahn-Banach延拓定理 教学目的与要求: 1. 理解和掌握Hahn-Banach延拓定理的定理和推论 2. 灵活运用 Hahn-Banach延拓定理 教学重点和难点:1. 理解和掌握 Hahn-Banach延拓定理的定理和推论 2.灵活运用 Hahn-Banach延拓定理 教学内容: 前面讨论了某些共轭空间中每个元素的表示形式.一般来说, 从理论上讲我们还不知道当时, 中是否确有非零元?然而,已知任意赋范线性空间都有有限 维子空间, 这样的子空间都有非零有界线性泛函. 本节将指出, 的子空间上的有界线性泛函可以延拓到全空间上, 且保持范数不变, 从而指出:对任意的赋范线性空间,中有足够多的元素. Th4.4.1 (Hahn-Banach延拓定理)设是赋范线性空间, 是的线性子空间, 则D上的任一有界线性泛函可以延拓到整个空间上, 并且保持范数不变, 即上的有界线性泛函F, 12 证明: 仅就为可分空间的情形证明.不可分的情形也成立,可参考有关文献. 设,, 先将延拓到包含与D的最小子空间上. 易证: 中任一元素的表示法唯一. 注意到中任一元素,这里的,都是由唯一确定的 事实上, 若又有 其中则,但是且,所以 即因此 对 ,. 所以. 令 , 所以,, 对 , 定义如下:现证明为上的有界线性泛函, 且 .的线性是显然的 又因为所以 4.4.1 另一方面, 设, 有 即 同理, 所以 而当0时, 同样可推得.0时, 上式显然成立.因此 对于, 均有 所以 结合4.4.1式可知, 至此, 完成了从到的保范延拓. 若可分, 则有稠密子集,依次将泛函延拓到, ,„上, 使得范数保持不变 当, 规定上的泛函与上的泛函一致, 将延拓成为上的线性子集上的有界线性泛函,且. 任取, 因在中稠密, 所以 , 使得 定义泛函如下:可以证明:这样的定义是合理的, 即与点列的选择无关. 则是在上的延拓,并且是线性的,再由 知又因为, 所以 注1: Hahn-Banach定理说明子空间上的有界线性泛函可以保范延拓到整个空间上.只是强调这种延拓的存在性,并未指出延拓一定是唯一的. 推论4.4.2 设是赋范线性空间, .则 且 , 必存在使得: 1 2 证明: 令.在上定义有界线性泛函如下: 则, 所以 由Hahn-Banach延拓定理知, 注2: 推论4.4.2说明只要,那么在上有足够多的非零有界线性泛函. 注3: 设是赋范线性空间中的元素, 若, 均有, 则必有. 推论4.4.3:设是赋范线性空间,则对 有. 证明:因为 所以另一方面,由推论4.4.2知, 所以 注意时也成立. 因此. 注4:推论4.4.3说明, 的性质的讨论可以转换为的相应命题的研究,即所谓的“对偶方法”,类似地有的共轭空间称之为的二次共轭空间. 考察与的关系是泛函分析的重要内容之一. 例1设为赋范线性空间,线性子空间. 若是上的有界线性泛函, 且在上为0, 则有 证明: 取一列, 使得, 则由范数的定义及在上为0, 得到 , 在上式中令即得结果. 例2. 设为赋范线性空间,线性子空间.且, 1; 2; 3. 证明: 考虑由与组成的最小线性子空间因为 , 所以 中的任一元素可唯一的表示为: 其中 令 易知为上的线性泛函,且,有. 为验证为上的有界线性泛函,估计如下: . 所以 又由Hahn-Banach延拓定理知, ;; 又 因为 ,故因此 , 结合前面的证明. ?4.5 共鸣定理(3课时) 教学目的与要求:1、理解和掌握共鸣定理内容及推论 2、灵活运用共鸣定理 3、了解共鸣定理的证明方法. 教学重点与难点:1、理解和掌握共鸣定理内容及推论 2、灵活运用共鸣定理 教学内容: Th4.5.1 1设为上的实值连续函数列; 2 , 有+. +. 证明:反证法 假若结论不真, 则闭区间及自然数, 1. 又因为 ?闭区间,1. 同理, 取闭区间, 令, 由以上类似的讨论方法, 可知 ,闭区间,. „„„„. 可得到一闭区间套. 及自然数列. ?由闭区间套定理知,由上式可导出 这与假设矛盾 Th4.5.2 共鸣定理 设为Banach空间, 是赋范线性空间.算子列 , 那么,只要则一定有 证明:因为, 所以,且 因此只需证明: 对于内某一闭球成立 则定理的结论就成立. 假若结论不成立, 则对内任一闭球,,由于的连续性可知, 同样, 取闭球 ,其中表示球的直径, , 及闭球,„„„ 继续进行下去,可得一闭球套,及自然数列注意到的完备性,可知, 这与假设矛盾 注1: 共鸣定理还有其他的证明方法, 比如有闭图像定理. 推论4.5.3: 设为Banach空间, 是赋范线性空间.算子列 , 若 .则有 对任意闭球 注2: 推论4.5.3表明由一序列的无界性与有关的元素列使无界可推出另一序列的无界性常元素列使得无界;另一方面,也表明这样的点在内是稠密的. 推论4.5.3:若为Banach空间到中的强收敛的有界线性算子列, 则有界. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 下面举例说明共鸣定理的应用. 例1.设对 , 级数都收敛.求证 证明:令, 则, 且. 由于对, 级数都收敛, 故存在, 特别地对,有界. 又因为是完备的 ,所以 由共鸣定理知即. 例2. Fourier级数的敛散性 令为定义在实轴上以为周期的连续函数全体构成的线性空间, 在中定义范 数 , 则为Banach空间. 对, 设的Fourier级数为 其中, , , ,则上述Fourier级数的前项部分和为 , 其中, 称为Dirichlet核. 下面将证明: , 的Fourier级数在点发散. 由于中的函数以为周期, 不失一般性, 可设. 对于, 作上的线性泛函: 其中, 显然, 是连续的. ?为有界的, 且. 事实上,一方面, ?. 另一方面, 令 ?, 且,?为可测的有限函数. ?由鲁津定理知,对,除去一个测度充分小的可测集外,有.我们可以适当修 改函数值, , 而且还可适当修改端点的函数值, ?对, ,, 且. ? ? ??. 下面估计积分. 事实上, . 即. ?由共鸣定理推论知,至少,发散. 即的Fourier级数在点发散. 注3: 上述例2说明找到了一个实值周期为连续函数,它的Fourier级数在给定的点处发散,即周期为的连续函数, 其Fourier级数不可能处处收敛. ?4.6 弱收敛(3课时) 教学目的与要求:1. 理解和掌握弱收敛的定义及其性质; 2. 理解各种收敛间的相互关系. 教学重点和难点:1. 弱收敛的定义及其性质; 2. 各种收敛间的相互关系. 教学内容: Def4.6.1 设为赋范线性空间,. 若, 有,则称弱收敛于点,记作 弱收敛意味着, 对每个, 数列收敛, 这体现了泛函分析中的一个基本方法: 对空间的研究常常代之以对其共轭空间的研究. 弱收敛具有如下性质: 1 弱收敛点列的极限是唯一的. 证明:设 ,. 则, 有 ,所以 , 即 ,故, 即. 2 弱收敛点列的每个子列也是弱收敛的,且弱收敛于同一极限. 3 若 弱收敛于有界. 证明:因为 , 所以有, 即为收敛数列所以有界, 即 定义上的泛函 如下: , 则且 即 , 为有界集. 由 的完备性及共鸣定理, 知有界. 下面证 显然, 只需证. 不妨设 由 Hahn-Banach延拓定理知, 所以 , 即 .所以 , 因此 有界 Th4.6.2 设为赋范线性空间,. 则 (1). (2)当时,弱收敛强收敛. 证明:(1)因为 , 所以 , 则有,即 (2)只需证 不妨设,为的一个基令 因为 ,所以 ,. 特别的, 我们取, 则,所以由,可得 , 故 即 注1:(1)的逆不一定成立. 例:设为Hilbert空间,为其直交系,则,由表示定理, 所以 由 不等式知,, 即 级数 收敛, 所以又因为是任意的,所以. 但 事实上, 因为, 所以不强收敛于0 Th4.6.3 设为赋范线性空间,, ,则 1 有界; 2稠密子集有 证明:“”显然 “”只需证, 有. 由1知, 由2知, , ,所以, 且由2知, 时有. 故对时 , 即 例1 设 若为全连续线性算子,把中的弱收敛点列映为中的强收敛点列. 证明:设. 假若不强收敛于,则 (1) 由于为全连续线性算子,而有界, 所以 中必有收敛子列,不妨设这个子列就是,且其极限为这样在(1)式中令 , 就有 (2) 另一方面,, 所以与(2)式矛盾, 故不强收敛于. ?4.7闭图象定理和逆算子(3课时) 教学目的与要求:1.理解和掌握闭算子的定义及其性质2. 理解和掌握闭图象定理的证明方法及其定理内容3. 理解和掌握逆算子定理、开映射定理 教学重点和难点:1闭算子的定义及其性质. 闭图象定理的证明方法及其相关推论(逆算子定理、开映射定理). 灵活运用闭图象定理及其推论. 教学内容: 设,为同一数域的赋范线性空间, 在上定义运算: , , ; , ; 且 , , 则易验证: 1为赋范线性空间. 2 中点列依范数收敛于在中依范数收敛于,在中依范数收敛于. 3 若,为Banach空间,则为Banach空间. 证明:2因为 ,所以 命题得证. 3设 为中的Cauchy列, 因为 所以 ,分别为,中的Cauchy列。 又因为 为Banach空间, 所以 , 因此 Def4.7.1 闭算子 ,为赋范线性空间, 线性算子, 若的图象 为中的闭集, 则称为闭线性算子, 简称闭算子. Th4.7.2闭算子的特征性质 线性算子为闭算子, 若, 则必有, 且. 证明:: 设为闭算子,即是中的闭集. 因为 , 则 , 所以 , 即 且 : .所以 由条件知. 故 ,所以 为闭集 , 即 为闭算子 例4.7.1. 微分算子虽然无界,但却是闭算子. 证明:设, 且,. 注意到上述收敛就是上连续函数列的一致收敛. 故对 , 有 , 所以 即, 且因此是闭算子 Th4.7.3闭图像定理 为Banach空间, 线性算子, 则有界为闭算子. 定理表明, 定义在整个Banach空间上而在另一Banach空间上取值的任一线性算子, 它的闭性与有界性等价. 证明:“”: 由Th4.7.2知, , 所以 且, 因此为连续的, 即为有界的. “”: 设是闭算子, 要证有界。 分三步进行: (1) 令, 则. 因为完备, 由Baire纲定理, 某个 为非疏朗集.即中含有空间的某个邻域,即 满足.从而易知. 若对任意集合, , 记, 则. 令, 则.类似地可以证明: 都有 4.7.1 2 设, 任取,从而必有, 由4.7.1知, 重复刚才的过程, 对于取出的而言, 利用的闭性, 所以, 从而有,使得。 依此方法继续下去,可得 满足: a ; b ; c 由b知,由c知, 收敛因为为完备的,可设. 由于为闭算子, 易知, 且故 , (3) 则由2知, ,因此. 即为有界的 注1: 闭图像定理告诉我们, 在 Banach空间中, 判断线性算子有界连续性问题可转化为闭性问题, 且在许多场合往往闭性容易验证. 事实上, 若线性算子,对于下面三条: 1 ;2 ;3通常验证在点连续需要 1 2 3; 而验证闭算子需要 1 2 3 就是说, 验证为闭算子比验证为连续算子多了一个条件而少了一个结论, 当然要方便得多. 例1:(P149,10) 为赋范线性空间, 有界线性算子,为的闭线性子空间为闭算子. 证明: 设 ,且 , .由 的闭性知. 再由的连续性知:,所以 为闭算子 例2(P149,11)为赋范线性空间,为Banach空间. 有界线性算子, 为闭算子 为闭集. 证明:设且, 下面说明即可. 因为 为闭算子 , 所以 .因此 Th4.7.4 Banach有界逆算子定理 为Banach空间, 线性算子,且为上的映射为上的有界线性算子. 证明: 因为 为映射 , 所以 存在 且为线性算子. 事实上 1 , 由 为映射 , 所以, 即 , 因此 另一方面 , 所以因此 2 同理对 , 有, 又. 所以 为上的有界线性算子. 下面验证为闭算子. 设 且 , 则由的连续性, , 所以因此 , 即且. 因此为闭算子. 有界连续中任一开集在之下的原像为中的开集. 这相当于把中任一开集映为中开集. Def4.7.5 为距离空间, 为的子空间,映射,若中任一开集的像为中的开集,则称为开映射. 对于映射,由逆算子定理可知: Th4.7.6 为Banach空间, ,若, 则为开映射. 注: 1. 不是映射时, 本定理也成立. 2. 逆算子定理表明有界线性算子, 且,连续. ?4.8 自反空间与共轭算子(6课时) 教学目的与要求:1. 理解和掌握二次共轭空间的性质及推论 ; 2. 理解和掌握自反空间的定义及性质; 3.理解共轭算子的定义及性质,并掌握共轭算子的求法教学重点和难点:1. 二次共轭空间的性质; 2.自反空间的定义及性质; 3. 共轭算子的定义及性质,并能熟练计算出共轭算子. 教学内容: 4.8.1二次共轭空间与自反空间设为赋范线性空间, 由于的共轭空间也是赋范线性空间, 所以也有共轭空间, 把它记为, 称是的二次共轭空间. 类似的, 还可以定义的三次共轭空间,等等. 用表示的次共轭空间,显然,这些空间之间自然是有联系的. 下面我们来考察与的关系. ,作上的泛函:(4.8.1) 显然,是上的线性泛函,又因为, 所以,是有界泛函,即,并且. 称泛函是由生成的,并称的映射为自然嵌入映射. Th4.8.1 设为赋范线性空间,自然嵌入映射是到的保范的线性算子, 即 (1) ; (2) 证明:(1), 由于 . 所以(1)式成立. (2)只需证就可以了. 据有界线性泛函延拓定理及其推论,必有, 使得, 且, 因此, 注1:Th4.8.1说明了与的子空间保范线性同构,即可以通过自然嵌入映射嵌入二次共轭空间中,今后为简单起见,我们往往对和不加区别,即把与看作同一空间,从而把视为的子空间(特别当是Banach空间时,可把视为的闭子空间),并简单地记作. 更一般的把视作的子空间,并简单的记为. Def4.8.2 设是赋范线性空间,如果到的自然嵌入映射是满射,则称是自反空间 赋范线性空间称为自共轭的,是指,如果既是自共轭的,又是自反的,则称是自共轭的自反空间 注2:从Def4.8.2可以看出,若是自反空间,则与保范线性同构,可简单记作 由此根据需要, 把可视为中的元素, 也可把视为中的泛函. 注3:自反空间是Banach空间,但Banach空间不一定是自反的. 例如,都是Banach空间,但它们都不是自反的.(证明见本节的例4.8.2,例4.8.3) 例4.8.1 , , 都是自反空间,其中还是自共轭的自反空间. 为了说明和不是自反空间,我们先给出下面的定理. Th4.8.3 设是赋范线性空间,如果是可分的,则也是可分的. 证明:由于是可分的,所以中存在着可数的稠密集,不妨设 取,则是的单位球面的可数的稠密子集. 事实上,对任意,有的子列,使得. 从而所以且在中稠密. , 由于,所以,使得. 记,由于中有限个向量的有理系数(当是复空间时,指系数的实部和虚部)的线性组合全体在中稠密,所以是可分的. 假若不可分,则必然,取,由于是的闭子空间,从而,故,使得. 然而 . 这与在中稠密矛盾,因此是可分的 注4:Th4.8.3启发我们用共轭空间的性质可以研究原来的赋范线性空间的某些性质. 例4.8.2 不是自反的. 证明:反证法. 假若是自反的,则由于是可分的,从而是可分的,但. 而是不可分的,这就产生了矛盾,因此是不反的. 例4.8.3不是自反的,这可以类似例4、8、2来证明(留做习题和作业) 4.8.2共轭算子 Def4.8.4设是两个赋范线性空间, , 如果有算子, 使, , 成立 , 4.8.3 则称是的共轭算子或伴随算子. Th4.8.5 设都是数域上的赋范线性空间. 1 ; 2映射是由到的保范线性算子; 3 这里,分别是, 上的单位算子; 4 如果.,则;4.8.4 5 如果是正则的, 则也是正则的, 而且. 4.8.5 证明:1 , 由于, 所以泛函是上的有界线性泛函, 把它记作. 则,并且 4.8.6 显然, 是线性的, 所以,而且满足4.8.3式的算子4.8.3显然是由唯一确定的. 2 先证映射是保范的. 由4.8.6式得到. 现在证明. 当 零算子 时,不等式显然成立. 不妨设, 如果, 如果, ,,,于是 上式对使的自然成立. 由此得到 , 从而 , 即映射是保范的. 再证映射是是线性的. , 由,和的线性就得到 即. 4.8.7 所以 是线性算子. 3 ,, 由4.8.3式 , 即对成立, 所以. 4 ,因为, 所以,,即4.8.4成立. 5 由于, 所以 , 由此是正则的, 而且. 自然映射将中的向量嵌入二次共轭空间, 自然也可以把算子”嵌入” 二次共轭空间. 设是两个赋范线性空间, , 是的共轭算子, 即, 且由Th4.8.5的1, 也有共轭算子, 把它记作, 则且. 于是当时, 由此得到. 如果把嵌入, 嵌入, 那么上式可以写成. 这样便得到下面的定理: Th4.8.6 设是两个赋范线性空间, ,那么分别嵌入时,便是算子的延拓, 而且. 例4.8.4 设是矩阵, 这里是实数, 下标表示行, 下标表示列. 由矩阵定义一个维欧几里得空间到的算子: 其中 .显然.现求的共轭算子存在唯一的有序数组, 使得 ,记,由上式知可以由中的来表示. 于是, 如果把中的元与中的元视为同一, 则 可以写成 这表明由的转置矩阵唯一确定. 例4.8.5 设是的可测函数且满足定义从以为核的积分算子为 , 则是到的有界线性算子. 事实上, 记, 由Fubini定理和H?llder不等式得到 所以 , 且, , 即. 现在求的共轭算子:, . 所以可以由函数来表示.于是, 如果与视为同一, 则可以写成 ,. 可见是以为核的积分算子.