无零因子环的特点[指南]
第 19 讲
?4 无零因子环的特征 (Characteristic of the ring
without zero-division)
本讲的教学目的和要求:环中有二个运算,关于加法做,,R,,成一个加群。所以群中元素自然存在阶的概念。本讲是在元素的阶的基础上,定义了环的“特征”的概念,与教材不同的是:本讲中不只是讨论无零因子环的特征,而是将一般环的特征做了介绍。而将无零因子环的问
只是作为一种特例。这里要求:
(1) 对一般环的特征的定义要真正弄明的,特别是
与中元素的阶的本质区别。,,,,chRR,,
R(2) 无零因子环中的特征的几个性质的证明应该
掌握。
(3) 对讲义中最后的几个练习,需要领会其内涵。
一、环的特征的定义
a,R定义 : 设为任意环,如果存在自然数,使得任意Rn
na,0都有,那么称这样的最小的自然数为环R的特n
征,记为。如果不存在这样的自然数,则称的,,ChR
为无穷大,记 ,,ChR,,.
例1( 整数环Z中上述定义的自然数不存在. =.,,nChR?,
不仅如此,还可知 ,,,,,,,,ChFx,,,ChMF,,.n
例2. 在模4的乘余类环中,,当取 ,,,,,,,,,,,,Z,i,Z,0,1,2,344
时,都有而最小的显然是4 ,,,,,,ni,0?ChZ,4n,4,8,12,16,?4
明示1: 模剩余类环而言,,, ChZ,m.m
R注意1:1?如果环的加群中有一个元素的阶为无穷,由,,ChR
的定义知 必有. ,,ChR,,
R 2? 如果的加群,,中每个元素都是有限阶而最R,,
大的阶若为,,.譬如中;最大者是 n,ChR,nZ,
,,,,,,,,0,1,17,3,42,2,,, , 4,ChZ,4. ,
a1,n,,,,结论1. 若ChR,n,那么,加群R,,中每个元素a,都有.
明示2. 在此,我们要强调二点:
R,,R,, ? 确定存在这样的环,使得其加群中既有无
穷阶的元素又有有限阶的元素.
设是两个循环加群,又设而.b,,,c,n,,,,G,b,G,c12
所以
,,G,hb,h,Z,且 hb,0,h,0.1
. ,,G,kc,k,Z,且 kc,0,nk2
现令 ,,,,并规定中加法“+”:RR,G,G,hb,kc,h,k,Z12
,,,,,,hb,kc,hb,kc,hb,hb,kc,kc11221212
乘法“?”: 。 ,,,,,,hb,kchb,kc,0,01122
可以验证 是一个环,但在加群中,,,,,R,,,,R,,
,,,,b,0,,,0,c,n 而 .
R ? 确定存在这样的环:其加群中每个元的阶,,R,,
都不得有限,但不存在最大的阶.
nRR,, 设,xx,C,存在n,N使x,1 ,在中规定加法
x,y,xy“+”:,和规定乘法“?”:. xy,1易证,,是个环,而加群,,中的零元为1.且群中每个元都R,,,,R,,
有限,但阶数可任意大.(不存在最的阶).
,,ChRl 结论2. 若R,,,,,1是一个非零环,那么.RR
l,,,,ChR,, 证明: 设:由附注1的1?知.R
l,n,,,? nk,0, 而,a,R 设 则RR
由的任意性 ,,,,na,nl,,nla,0a,0,aRR
知 , (若 与矛盾).l,n,,,,ChR,nChR,m,n,ml,0,RR
例3. 若环的特征为素数,且可变换,则有RRp
ppb . ,a,b,R,,a,b,a,b,
证明: 因是交换环, R
pp1p,12p,22p,1p,1p ,,a,b,a,cab,cab,?,cab,b?ppp
k显然,当时,我们有(!,)=1,又因 p1,k,p,1
kkkkk,,,,!c,pp,1?p,k,1,pk!c,进而 ca,0. pc,?pppp
ppp 于是 ,,a,b,a,b.
2Ra,a 例4. 若中每个元都有(称为幂等元)且.,,aaR,0.R那么必为特征是2的交换环.
,a,R2a,R 证明: , , ?
22 由于?,,2a,2a,4a,4a,2a,2a,2a,0.
,,,, 由的任意性,,R,0,ChR,1.a,ChR,2.
,a,R,2a,0.即a,,a ,a,b,R.?
222 但,,a,b,a,b,a,b,ab,ba,,ab,ba,
a,,a,ab,baR 即是可交换的.
二、无零因子环的特征
RR 设是一个无零因子环,那么关于的特征问题就有一种
“新的感觉”.
定理1. 设是无零因子环,那么加群中每个非零元的阶都R,,R,,
是一致的.
本定理已在?2中论证过.
上述定理告诉我们:非零的无零因子环R中元素的阶只有
二类:一类是零元0( 0的阶永远为1).而其余元素为另
一类,它们或者都是无穷大,或都是同一个自然数. n
定理2. 若非零无零因子环R的特征 ,那么必,,ChR,n,,n
是一个素数.
本定理在?2中也已证过.
由于整环,除环和域都是无零因子环,所以都满足上述
性质,综合而言:
推论:任一个整环,除环和域的特征或是无限大,或是一
p 个素数.
下面介绍几个练习,以此作为结束本讲的内容.
如果说本讲开始对环的特征的介绍,使人感到“高深莫测”的话,那下面的命题也许会让你踏实些.
0,a,R,,,ChR,aa练习1: 设.如果不是零因子 .
a,,,,,ChR,,证明: 若 ,由本讲附注.
若 ( 未必是无零因子环 未必是素数)Ra,nn??
na,0 ,那么 而不是左,,,,,b,R.. anb,nab,0b,0.a?
,nb,0零因子.由于.由特征的定义.a,n,,,ChRn
上练习提醒我们:非零环的特征就是任一个非零因子的阶.( 本讲结论是显而易见的) ?
练习2. 若域F的阶为偶数,即 ,那么 F,2n,,ChR,2.
证明: (反证法) 若.那么 ,,ChF,p,2,a,0,b,0,F且a,b
F 则 . 显然中这样的阶循环子群只有p,,,,,,a:b,0
m,1m,1有限个.不好?没有个.那么这个子群所含的中元素
,2共有个.即 =偶数.但不可能,,,,,,p,mp,1p,mp,1np,mp,1是偶数,矛盾.