习 题 详 解
2.1氢原子薛定谔方程中的能量E包含哪些能量?
答:氢原子薛定谔方程中的能量E包含电子相对于原子核的运动的动能、电子与原子核之间的吸引能。
2.2令
将单电子原子的薛定谔方程分解为3个方程。
解:将
带入定谔方程
{
+
+
=0 (1)
两边乘以
,且移项,得
令两边等于同一常数β,于是分解为两个方程:
+
(2)
(3)
再令
,带入方程(3)
两边除以Y,移项得
今两边等于同一常数,于是又可将方程(4)方程分解为下列两个方程
(5)
=
(6)
这样我们将关于
的方程(1),分解成
三个常微分方程(2),(5)和(6), 于是,解方程(1)归结为解方程(2),(5)和(6)。
2.3 氢原子薛定谔方程是否具有形为
的解?若有,求a、b和能量E。
证明如下:由于
只是r的函数,故
的本征值方程为
或者
式中
代入且除以
上式为恒等式,所以有:
(1)-(2)得:
,即
将b代入(2),
将b代入(3),
式中
,
2.4若取变分函数为
,式中
为变分参数,试用变分法求H原子的基态能量和波函数。
解:
根据积分公式
有
因为
,
将
归一化得到:
2.5取变分函数为
,式中
为变分参数,试用变分法求H原子的基态能量,并与其1s态能量对比。
解: 氢原子的哈密顿算符为
式中
按积分公式:
得:
所以:
,
按积分公式
得:
令
,得到:
因E<0,
<0 故E>
.
2.6 分别求氢原子1s电子和2s电子离核的平均距离
,并进行比较。
解:1s电子:
积分公式,
2s电子:
2.7求氢原子2p电子离核的平均距离
。
解:三个2p轨道上的电子离核的平均距离相等,下面用2pz求解
2.8波函数
有多少节面?用方程把这些节面表示出来。这些节面将空间分成几个区域?
解:径向节面:n-l-1=3-2-1=0;角度节面:l=2
,
,
,
这2个角度节面将空间分成3个区域。
2.9 验证氢原子波函数
和
是正交的,
和
也是正交的。
证明:(1)
和
是正交的:
(2)
和
是正交的:
2.10求氢原子2p和3d电子几率密度最大值离核的距离r。
解:(1)三个2p电子几率密度最大值离核的距离相同,下面用2pz求解。
(2)5个3p轨道离核的平均距离相同,下面用
求解。
2.11求氢原子2pz电子出现在
的圆锥的几率。
解:
2.12求氢原子
电子出现在
的圆锥内的几率。
解:
,
是归一化的,即
所以,
,
2.13比较氢原子中2px和2pz电子出现在相同半径圆球内的几率大小。
解:
函数的径向部分相同,所以出现在相同半径圆球内的几率大小相等。
2.14比较H中2s电子,He+中2s电子和He (1s12s1)中2s电子能量的大小。
解:
H的2s电子:
He+的2s电子:
He 的2s:
2.15求氦原子第2电离能。
解:
Z=2, n=1
eV
2.16实验测得O7+的电离能是867.09 eV,试与按量子力学所得结果进行比较。解:
计算值比实验值大3 eV, 约
2.17实验测得C5+的电离能是489.98 eV, 试与按量子力学所得结果进行比较。解:
误差:
2.18不查表,求
的角度部分。
解:
因为
只考虑角度部分
2.19不查表,给出下列氢原子波函数的角度部分Y(不需要归一化)
(1) 2px (2) 3s (3) 3px (4)
答:(1)
,
,
(2)3s ,
,
(3)3px ,
,
(4)
,
,
2.20求氢原子2px 电子出现在p1(r,π/3,π/4)和p2(r,π/6,π/8)两处的几率密度之比。
解:
2.21一H原子波函数有一个径节面,两个角节面,该波函数的主量子数n和角量子数l各是多少?
解:
2.22以p3组态为例,证明半充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。
证明:[方法一]:.
[方法二]
2.23以p6组态为例,证明全充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。
证明方法参考2.22题。
2.24证明对于仅是r的函数的s态
,径向分布函数
可以写作
证明:
2.25 求处于1s态的H原子中的电子势能平均值。
解:
,
积分公式
2.26 试求氢原子波函数
的
(1)径向分布函数极大值的半径;
(2)几率密度极大值半径;
(3)节面半径。
解:(1)
,即
,
(2)
即
,
,为极值而非极大值,应删去,故极大值为
。
(3)使
得到:
2.27画出氢原子轨道
的角度分布图。
解:
(1)节面:令
,
由
,得
,
由
,得
,
,
(2)极大值:
,
,
(3)作图:按
算出不同
值时的
值,如下表所示
(度)
0
180
15
165
30
150
39.2
140.8
45
135
60
120
63.4
116.6
75
105
90
270
2
1.608
0.650
0
0.353
0.875
0.894
0.689
0
1
0.804
0.325
0
0.177
0.438
0.447
0.345
0
在xz平面上作图,所得之图形如下图所示
2.28画出原子轨道
的角度分布图在xy平面上的截面图。
解:
在xy平面上,
,
(1)节面:
(2)极大值:
,
(3)作图:按
算出不同
值时的
值,如下表所示
0
22.5
337.5
45
315
67.5
292.5
90
270
112.5
247.5
135
225
157.5
202.5
180
1
0.924
0.707
0.383
0
-0.383
-0.707
-0.924
-1
在xoy平面上作图,所得之图形为相切于原点的两个圆,如下图所示
x
2.29 画出原子轨道
的角度分布图.
解:
2.30求角动量
的3个分量在直角坐标系中的算符
、
、
。
解:
=
,
=
,
=
在量子力学中,把动量算符化
=
,
=
,
=
=
,
=
,
=
。
2.31氢原子中处于
的电子,其角动量在x轴和y轴上的投影是否具有确定值?若有,求其值;若没有,求其平均值。
解:
角动量在x轴和y轴上的投影均没有确定值。
2.32 氢原子中处于
的电子,其角动量在x轴和y轴上的投影是否具有确定值?若有,求其值;若没有,求其平均值。
解:
所以,角动量在x轴上有确定值,
。
所以,角动量在y轴上无确定值。
角动量在z轴上无确定值.
2.33 氢原子中处于
的电子,测量其角动量z分量,得什么结果?
解:
状态
出现的几率均为
,所以测量其角动量z分量,得不到确定值,得到
和-
的几率各位50%.
2.34氢原子中处于
的电子,测量其角动量z分量,得什么结果?
解:
无确定值,得到2
和-2
的几率各位50%.
2.35氢原子中处于
(
都是归一化的)电子,其
和L2有无确定值?若有,求其确定值;若没有,求其平均值。
解:
无确定值,其平均值为
有确定值,
2.36 氢原子中,函数
(
都是归一化的)所描述的状态,请给出其
(1)能量的平均值(以R为单位),能量
出现的几率;
(2) 角动量的平均值(以
为单位),角动量
出现的几率;
(3) 角动量z分量的平均值(以
为单位),角动量z分量
出现的几率。
解:(1)
能量
出现的几率:
(2)角动量
出现的几率为
,
由于
是归一化的,所以
即角动量
出现的几率为1.
(3)
角动量z分量
出现的几率为0。
2.37氢原子中,函数
(
都是归一化的)所描述的状态,请给出其
(1) 能量的平均值(以R为单位),能量
出现的几率;
(2) 角动量的平均值(以
为单位),角动量
出现的几率;
(3) 角动量z分量的平均值(以
为单位),角动量z分量
出现的几率。
解:(1)
, 能量
出现的几率为
。
(2)角动量
出现的几率为
,
由于
是归一化的,所以
即角动量
出现的几率为1.
(3)
由此看出,角动量平均值为零,z分量
出现的几率为0。
2.38
和
中哪些是
的本征函数,哪些是
的本征函数,哪些是
的本征函数。
答: 全部是
的本征函数;全部是
的本征函数;
是
的本证函数。
2.39 函数
,
是否是算符
的本征函数?若是,本征值是多少?
解:
函数
,
均是算符
的本征函数,其本征值分别为
和-
.
2.40 求氢原子中处于
的电子,其角动量
与z轴的夹角。
解:
,n=3, l=2, m=1
,
;
,
,
2.41求氢原子3p电子的总角动量
与z轴的夹角。
解:
,
2.42氢原子中l=2的电子的自旋角动量与轨道角动量的相对方向有哪些?
解:l=2,
,
,
2.43用氦原子变分法结果求Li原子的第2电离能。
解:用变分法得到氦原子的能量为
eV
2.44由氦原子基态能量的实验结果为-79.0 eV,求1s电子间的屏蔽系数。
解:He:1s2
=-79.0 eV
2-
=
=1.70
=0.30
2.45解:用斯莱特规则求Be原子基组态能量。
Be基组态为1s22s2
,
eV
2.46求N原子第1电离能。
解:
N+ 组态为1s22s22p2